廣東省揭陽(yáng)市惠來(lái)鰲江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

廣東省揭陽(yáng)市惠來(lái)鰲江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在我國(guó)明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學(xué)名題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增；共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)頂層幾盞燈？”（“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增）．根據(jù)此詩(shī)，可以得出塔的頂層和底層共有（）A．3盞燈 B．192盞燈 C．195盞燈 D．200盞燈參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由題意設(shè)頂層的燈數(shù)為a1，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)a1=3，從而能求出第7項(xiàng)的值，由此能求出塔的頂層和底層共有幾盞燈．【解答】解：由題意設(shè)頂層的燈數(shù)為a1，則有=381，解得a1=3，∴=3×26=192，∴a1+a7=195．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．2.已知平面截一球面得圓M，過(guò)圓心M且與成，二面角的平面截該球面得圓N.若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為

(A)

(B)

(c)

(D)參考答案：D本題主要考查了球的性質(zhì)和二面角的概念，難度較高。

球心與截面圓的圓心連線垂直于截面，如圖

由題意球半徑,圓M半徑為2，所以

又因?yàn)閳A面M與圓面N成的二面角為60°，所以

則，所以圓N的半徑為，圓N的面積為.3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足，若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. B.C. D.參考答案：C【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有六個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)的解析式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的變化情況，由函數(shù)圖像即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與有6個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，的極大值為：，作出函數(shù)的圖象如下圖，與的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，須，表示為區(qū)間形式即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)圖像的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4.奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f(x+2)為偶函數(shù)，則f(1)=1,則f(8)+f(9)=(

)A.－2

B.－1

C.0

D.1參考答案：D5.已知平面四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，，，點(diǎn)E在四邊形ABCD上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A.－4 B.－3 C.－1 D.3參考答案：B【分析】根據(jù)平面圖形的對(duì)稱性，只需討論點(diǎn)在邊上的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用共線向量和向量的加減運(yùn)算，化簡(jiǎn)為，再求最小值，同理可得到當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值，【詳解】由題意可知，四邊形是關(guān)于直線對(duì)稱的圖形，故點(diǎn)在四邊形的四條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，僅需考慮點(diǎn)在邊上的運(yùn)動(dòng)情況，易知，所以，①當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，,當(dāng)時(shí)，取得最小值-1；②當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值-3,綜上：的最小值是-3.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，本題以四邊形為載體，將向量知識(shí)遷移到幾何情景中考查，突出考查了直觀想象和運(yùn)算能力，本題的難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化向量，即，后面的問(wèn)題迎刃而解.6.若A,則，就稱A是合作關(guān)系集合，集合A=的所有非空子集中,具有合作關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為

（▲）A.

B.

C.16

D.15參考答案：D略7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M為AB的中點(diǎn)，將△ADM沿DM翻折．在翻折過(guò)程中，當(dāng)二面角A—BC—D的平面角最大時(shí)，其正切值為

A．

B．

C．

D．參考答案：B

取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，因?yàn)闉榈妊切危?，同理，，所以有平面．因?yàn)槠矫?，故平面平面．在四棱錐中過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，再過(guò)作的垂線，垂足為，連接．因?yàn)?，平面，平面平面，故平面．因?yàn)槠矫妫?，又，，故平面，又平面，故，所以為二面角的平面角．設(shè)，則，，，所以，其中．令，則，令且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，故，故選B．

8.（5分）命題“?x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（）A．?x∈R，x3﹣2x+1≠0

B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0C．?x∈R，x3﹣2x+1=0

D．?x∈R，x3﹣2x+1≠0參考答案：考點(diǎn)：命題的否定．專題：閱讀型．分析：因?yàn)樘胤Q命題“?x∈R，x3﹣2x+1=0”，它的否定：?x∈R，x3﹣2x+1≠0即可得答案解答：“?x∈R，x3﹣2x+1=0”屬于特稱命題，它的否定為全稱命題，從而答案為：?x∈R，x3﹣2x+1≠0．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全稱命題，和特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題，應(yīng)當(dāng)掌握．9.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，一學(xué)生到達(dá)該路口時(shí)，見(jiàn)到紅燈的概率是(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：幾何概型．專題：計(jì)算題．分析：本題是一個(gè)那可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是總的時(shí)間長(zhǎng)度為30+5+40秒，滿足條件的事件是紅燈的時(shí)間為30秒，根據(jù)等可能事件的概率得到答案．解答： 解：由題意知本題是一個(gè)那可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是總的時(shí)間長(zhǎng)度為30+5+40=75秒，設(shè)紅燈為事件A，滿足條件的事件是紅燈的時(shí)間為30秒，根據(jù)等可能事件的概率得到出現(xiàn)紅燈的概率．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，是一個(gè)由時(shí)間長(zhǎng)度之比確定概率的問(wèn)題，這是幾何概型中的一類題目，是最基礎(chǔ)的題．10.右圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(，)圖像的一部分．為了得到這個(gè)函數(shù)的圖像，只要將y＝sinx(x∈R)的圖像上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變.B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變.C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變.D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集是

.參考答案：12.．若函數(shù)對(duì)定義域的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．給出以下命題：①是“依賴函數(shù)”；②是“依賴函數(shù)”；③是“依賴函數(shù)”；④是“依賴函數(shù)”；⑤，都是“依賴函數(shù)”，且定義域相同，則是“依賴函數(shù)”．其中所有真命題的序號(hào)是________________．參考答案：②③略13.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為_(kāi)___．參考答案：14.將函數(shù)f（x）=2sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，所得函數(shù)的解析式為．參考答案：y=﹣2cos4x【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)f（x）=2sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的圖象；再將圖象上每一點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，所得函數(shù)的解析式為y=﹣2cos4x的圖象，故答案為：y=﹣2cos4x．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．15.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意都有，當(dāng)時(shí)，，則＝

。參考答案：16.已知滿足,則的最大值為

參考答案：317.我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》用“更相減損術(shù)”求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是一個(gè)偉大創(chuàng)舉.這個(gè)偉大創(chuàng)舉與古希臘的算法—“輾轉(zhuǎn)相除法”實(shí)質(zhì)一樣.如圖的程序框圖即源于“輾轉(zhuǎn)相除法”，當(dāng)輸入時(shí)，輸出的a=_____.參考答案：3【分析】解法一：按照程序框圖運(yùn)行程序，直到時(shí)，輸出結(jié)果即可；解法二：根據(jù)程序框圖的功能可直接求解與的最大公約數(shù).【詳解】解法一：按照程序框圖運(yùn)行程序，輸入：，則，，，不滿足，循環(huán)；則，，，不滿足，循環(huán)；則，，，不滿足，循環(huán)；則，，，滿足，輸出解法二：程序框圖的功能為“輾轉(zhuǎn)相除法”求解兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)因?yàn)榕c的最大公約數(shù)為

本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出結(jié)果、程序框圖的功能問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）袋中有大小相同的四個(gè)球，編號(hào)分別為1、2、3、4，從袋中每次任取一個(gè)球，記下其編號(hào)；若所取球的編號(hào)為偶數(shù)，則把該球編號(hào)改為3后放回袋中繼續(xù)取球；若所取球的編號(hào)為奇數(shù)，則停止取球．（Ⅰ）求第二次取球后才“停止取球”的概率；（Ⅱ）求停止取球時(shí)所有被記下的編號(hào)之和為的概率．參考答案：解：（Ⅰ）記第二次取球后才“停止取球”為事件A．．答：第二次取球后才“停止取球”的概率為．

………6分（Ⅱ）記停止取球時(shí)所有被記下的編號(hào)之和為為事件．記下的編號(hào)為2、4、1為事件，記下的編號(hào)為4、2、1為事件，記下的編號(hào)為4、3為事件，互斥，；；；；．………12分答：停止取球時(shí)所有被記下的編號(hào)之和為的概率為．19.已知數(shù)列{log2（an﹣1）}（n∈N*）為等差數(shù)列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明++…+＜1．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；不等式的證明．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{log2（an﹣1）}的公差為d．根據(jù)a1和a3的值求得d，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{log2（an﹣1）}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得an．（2）把（1）中求得的an代入++…+中，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得++…+=1﹣原式得證．【解答】（I）解：設(shè)等差數(shù)列{log2（an﹣1）}的公差為d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．所以log2（an﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即an=2n+1．（II）證明：因?yàn)?=，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得證．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．屬基礎(chǔ)題．20.(本小題滿分12分)已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，點(diǎn)在拋物線上；各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記,求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，

數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，又各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足

解得，

……5分(2)由題得

①

②①-②得

………………12分21.（本小題滿分14分）如圖，直線，拋物線，已知點(diǎn)在拋物線上，且拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為．[來(lái)源:學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)gkstk]（1）求直線及拋物線的方程；[來(lái)源:gkstk.Com]（2）過(guò)點(diǎn)的任一直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（1）（法一）點(diǎn)在拋物線上，．

……2分設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由得，，由，得，則直線方程為．兩直線、間的距離即為拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離，有，解得或（舍去）．直線的方程為，拋物線的方程為．…………6分（法二）點(diǎn)在拋物線上，，拋物線的方程為．……2分設(shè)為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)圖象，有，，，的最小值為，由，解得．因此，直線的方程為，拋物線的方程為．…6分（2）直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由

得，設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，