廣東省梅州市南磜中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省梅州市南磜中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，則（

）A.為的極大值點(diǎn)

B.為的極小值點(diǎn)C.為的極大值點(diǎn)

D．為的極小值點(diǎn)參考答案：D2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a（a＞1），動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱CD，AD上，若EF=1，A1F=x，DP=y，DQ=z（x，y，z均大于零），則四面體PEFQ的體積（）A．與x，y，z都有關(guān) B．與x有關(guān)，與y，z無(wú)關(guān)C．與y有關(guān)，與x，z無(wú)關(guān) D．與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān)參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】△EFQ的面A1B1CD面積的，當(dāng)P點(diǎn)變化時(shí)，會(huì)導(dǎo)致四面體體積的變化．由此求出四面體PEFQ的體積與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān)．【解答】解：從圖中可以分析出：△EFQ的面積永遠(yuǎn)不變，為面A1B1CD面積的，而當(dāng)P點(diǎn)變化時(shí)，它到面A1B1CD的距離是變化的，因此會(huì)導(dǎo)致四面體體積的變化．故若EF=1，A1F=x，DP=y，DQ=z（x，y，z均大于零），則四面體PEFQ的體積與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān)．故選：D．4.在極坐標(biāo)系中，曲線關(guān)于（）

A.直線軸對(duì)稱(chēng)BB．直線軸對(duì)稱(chēng)D．

C.點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

D.極點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)參考答案：B將原極坐標(biāo)方程，化為：ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，化成直角坐標(biāo)方程為：x2+y2+2x﹣2y=0，是一個(gè)圓心在（﹣，1），經(jīng)過(guò)圓心的直線的極坐標(biāo)方程是直線軸對(duì)稱(chēng)．故選B．5.若橢圓C1：（a1＞b1＞0）和橢圓C2：（a2＞b2＞0）的焦點(diǎn)相同且a1＞a2．給出如下四個(gè)結(jié)論：①橢圓C1和橢圓C2一定沒(méi)有公共點(diǎn)；②；③a12﹣a22=b12﹣b22；④a1﹣a2＜b1﹣b2．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】探究型．【分析】利用兩橢圓有相同焦點(diǎn)，可知a12﹣a22=b12﹣b22，由此可判斷①③正確；利用a1＞b1＞0，a2＞b2＞0可判斷④正確【解答】解：由題意，a12﹣b12=a22﹣b22，∵a1＞a2，∴b1＞b2，∴①③正確；又a12﹣a22=b12﹣b22，a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，∴④正確，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．6.已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，fn（x）=fn﹣1′（x），則f2015（x）等于（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx參考答案：D【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】對(duì)函數(shù)連續(xù)求導(dǎo)研究其變化規(guī)律，可以看到函數(shù)解析式呈周期性出現(xiàn)，以此規(guī)律判斷求出f2015（x）【解答】解：由題意f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…由此可知，在逐次求導(dǎo)的過(guò)程中，所得的函數(shù)呈周期性變化，從0開(kāi)始計(jì)，周期是4，∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=﹣cosx故選：D7.已知為實(shí)數(shù)，條件，條件，則是的（

）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B8.函數(shù)的圖象大致是（

） 參考答案：D9.已知，，則的值為（）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.直線(cos)x+（sin）y+2＝0的傾斜角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則q=__________.參考答案：2因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，，故答案為2.12.不等式對(duì)一切都成立.則k的取值范圍_______．參考答案：【分析】根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)的圖像進(jìn)行分析即可得到答案。【詳解】令，對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，，大致圖像如下圖：所以要使不等式對(duì)一切都成立，則：（1）或（2）；當(dāng)時(shí)顯然不滿足條件舍去；解（1）得：無(wú)解，解（2）得：，所以的取值范圍【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的取值范圍問(wèn)題，結(jié)合圖像進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。13.已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足f（x）+f（x+）=0，若f（1）＞1，f（2）=a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a＜﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】首先，根據(jù)f（x+）=﹣f（x），得到f（x）是周期為3的函數(shù)，然后，得到f（1）=﹣a，再結(jié)合f（1）＞1，得到答案．【解答】解：∵f（x）+f（x+）=0，∴f（x+）=﹣f（x），∴f（x+3）=f（x），∴f（x）是周期為3的函數(shù)，∵f（2）=f（3﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=a∴f（1）=﹣a又∵f（1）＞1，∴﹣a＞1，∴a＜﹣1故答案為a＜﹣1．14.過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是

．參考答案：y=X

略15.復(fù)數(shù)的值是.參考答案：－1略16.命題：“若，則”的逆否命題是_______________.參考答案：若x≥1或x≤－1，則x2≥1略17.設(shè)是直線上的點(diǎn)，若對(duì)曲線上的任意一點(diǎn)恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），∥，⊥．（1）求向量，，；（2）求向量（+）與（+）所成角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；向量法；空間向量及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示與∥，且⊥，列出方程組求出x、y、z的值即可；（2）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，利用公式求出（+）與（+）所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），且∥，⊥，∴，解得x=﹣1，y=﹣1，z=1；∴向量=（﹣1，1，2），=（1，﹣1，﹣2），=（3，1，1）；（2）∵向量（+）=（2，2，3），（+）=（4，0，﹣1），∴（+）?（+）=2×4+2×0+3×（﹣1）=5，|+|==，|+|==；∴（+）與（+）所成角的余弦值為cosθ===．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．19.設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為線段PD上一點(diǎn),且，(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被軌跡C所截線段的長(zhǎng)度.參考答案：（Ⅰ）設(shè)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，由已知得，

因?yàn)樵趫A上，所以

，即的方程為.

—————6分（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與的交點(diǎn)為。將直線方程代入的方程，得，即。所以，.所以線段的長(zhǎng)度為.（或用弦長(zhǎng)公式求）

—————12分20.（本小題14分）某投資公司投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn)分別是（億元）和（億元），它們與投資額（億元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式，,其中，今該公司將5億元投資這兩個(gè)項(xiàng)目，其中對(duì)甲項(xiàng)目投資（億元），投資這兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的總利潤(rùn)為（億元）．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式：(2)怎樣投資才能使總利潤(rùn)的最大值？參考答案：解：(1)根據(jù)題意，得：∈[0，5]，．……4分(2)令，則且

…………8分當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)12分

答：當(dāng)時(shí)，甲項(xiàng)目投資億元，乙項(xiàng)目投資億元，總利潤(rùn)的最大值是億元；當(dāng)時(shí)，甲項(xiàng)目投資億元，乙項(xiàng)目投資不投資，總利潤(rùn)的最大值是億元……………14分略21.已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．參考答案：（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【分析】（1）求出定義域以及導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合（1）可得極值點(diǎn)，為的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出，的關(guān)系式，代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，可知要證，即證，令函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值，即可證明.【詳解】(1)，

令，對(duì)稱(chēng)軸為，①當(dāng)，即時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸小于等于0，又，所以在上恒成立，故，在上單調(diào)遞增．②當(dāng)，即時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸大于0．令，，令，得或（i）當(dāng)時(shí)，，，從而，此時(shí)在上單調(diào)遞增．

（ii）當(dāng)時(shí)，，令，解得，由于當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（其中，）；當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)．(2)證明：∵，若，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，則由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根為，，則：而故欲證原不等式等價(jià)于證明不等式：，因?yàn)?，所以也就是要證明：對(duì)任意，有．令，由于，并且，當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)；則在上有最大值，所以在上恒成立，即在上恒成立，故原不等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性以及不等式恒成立的問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，有一定難度。22.已知直線（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的直