廣東省梅州市農(nóng)業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣東省梅州市農(nóng)業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a2+a6=3，a6+a10=12，則a8+a12=（）A．12 B．24 C．24 D．48參考答案：B【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出q2=2，再求值即可．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且q≠0，∵a2+a6=3，a6+a10=12，∴q4=4，∴q2=2，∴a8+a12=q6（a2+a6）=24故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，以及整體代換思想，屬于基礎(chǔ)題．2.“Inx>1”是“x>l"的A．充要條件

B．必要非充分條件C．充分非必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C3.已知，且ab>0，則下列不等式不正確的是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B4.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，如果目標(biāo)函數(shù)的最大值為3，則m的值為（）A．3 B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)列式求得m值．【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由目標(biāo)函數(shù)的最大值為3，可知直線的最小截距為﹣3，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)可行域的邊界點(diǎn)（m﹣1，1）時(shí)，zmax=3，∴3=，解得m=．故選：B．6.設(shè)集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，則A∩B=（）A．? B．（2，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】分別化簡(jiǎn)集合A，B，容易計(jì)算集合A∩B．【解答】解：∵A={x|y=log2（x﹣2）}=（2，+∝），B={x|x2﹣5x+4＜0}=（1，4），∴A∩B=（2，4）．故選B．7.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（A）

（B）

（C） （D）參考答案：B略8.已知圓的直徑為,為圓上任意一點(diǎn),則=.

參考答案：2略9.已知命題p:x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,則p是 （）A．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0

B．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0C．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0D．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0參考答案：C略10.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿(mǎn)足對(duì)?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函數(shù)y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】由題意可得函數(shù)f（x）的周期為2，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=loga（x+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)g（2）＞f（2），求得a的取值范圍．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0則有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為2的偶函數(shù)．當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函數(shù)f（x）的圖象為開(kāi)口向下、頂點(diǎn)為（3，0）的拋物線．∵函數(shù)y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，令g（x）=loga（x+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)的圖象，如圖所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函數(shù)y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則有g(shù)（2）＞f（2），即loga（2+1）＞f（2）=﹣2，∴l(xiāng)oga3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空,樣本數(shù)據(jù)落在范圍[10,14]內(nèi)的頻數(shù)為_(kāi)_______．

參考答案：3612.(2009山東卷理)不等式的解集為

.參考答案：解析：原不等式等價(jià)于不等式組①或②或③不等式組①無(wú)解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集為.13.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），則c=．參考答案：2【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】畫(huà)正態(tài)曲線圖，由對(duì)稱(chēng)性得c﹣1與c+1的中點(diǎn)是2，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到c的值．【解答】解：∵N（2，32）?，，∴，解得c=2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布，正態(tài)曲線有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)；（2）在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1．14.已知雙曲線（>0，>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為_(kāi)___________.參考答案：略15.若行列式，則

．參考答案：116.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是

參考答案：17.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，）到極軸的距離為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)(a，b均為正常數(shù)).（1）求證：函數(shù)f(x)在(0，a+b]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)函數(shù)在處有極值，①對(duì)于一切，不等式恒成立，求b的取值范圍；②若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：（1）證明：，所以，函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（2）由已知得：所以a=2，所以f（x）=2sinx﹣x+b①不等式恒成立可化為：sinx﹣cosx﹣x＞﹣b記函數(shù)g（x）=sinx﹣cosx﹣x，，所以在恒成立函數(shù)在上是增函數(shù)，最小值為g（0）=﹣1所以b＞1，所以b的取值范圍是（1，+∞）②由得：，所以m＞0令f′（x）=2cosx﹣1＞0，可得∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（）上是單調(diào)增函數(shù)，∴∴6k≤m≤3k+1∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1

∴k=0

∴0＜m≤1略19.（本小題滿(mǎn)分13分）已知圓：，點(diǎn)，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)分別是曲線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第三象限，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率；(3)過(guò)點(diǎn)，且斜率為的動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：解:(1)因?yàn)榈拇怪逼椒志€交于點(diǎn).所以所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓

……………2分設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……4分(2)設(shè)，則

①因?yàn)閯t

②由①②解得

……………7分所以直線的斜率

……………8分(3)直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得:

得 …………9分由題意知：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓必交與兩點(diǎn)，設(shè)則假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，滿(mǎn)足題設(shè)，則因?yàn)橐詾橹睆降膱A恒過(guò)點(diǎn),則，即:

(*)因?yàn)閯t(*)變?yōu)椤?1分由假設(shè)得對(duì)于任意的,恒成立，即解得……13分因此，在軸上存在滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.………………13分20.已知橢圓E：的離心率e=，左頂點(diǎn)為A（﹣2，0）．（1）求橢圓E的方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B，C是橢圓E上的兩點(diǎn)，連接AB的直線平行OC交y軸于點(diǎn)D，證明：|AB||成等比數(shù)列．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由，a=2得，，即可得出．（2）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），OC：y=kx，則AB：y=k（x+2），將y=k（x+2）代入橢圓方程整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式可得：|AB|，|AD|．將y=kx代入，整理得（1+2k2）x2﹣4=0，可得|OC|2．可得|AB|?|AD|=2|OC|2，即可證明．【解答】解：（1）由，a=2得，故橢圓C的方程為．證明有：（2）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），OC：y=kx，則AB：y=k（x+2），將y=k（x+2）代入，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，∴，得，，，．將y=kx代入，整理得（1+2k2）x2﹣4=0，得，．故|AB|?|AD|=2|OC|2，所以，成等比數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21.四面體及其三視圖如圖所示，過(guò)棱的中點(diǎn)作平行于，的平面分別交四面體的棱于點(diǎn).（I）證明：四邊形是矩形；（II）求直線與平面夾角的正弦值.參考答案：

（1）省略 （2） （1）（2）22.已知△ABC的面積為S，且?=S，|﹣|=3．（Ⅰ）若f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的圖象與直線y=2相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離為2，且f（）=1，求△ABC的面積S；（Ⅱ）求S+3cosBcosC的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（Ⅰ）由條件利用余弦函數(shù)的圖象特征求出ω，可得f（x）的解析式，再根據(jù)f（）=1求得B，再利用條件求得A，從而△ABC是直角三角形，從而計(jì)算△ABC的面積S．（Ⅱ）利用正弦定理求得△ABC的外接圓半徑R，再化減S+3cosBcosC為3cos（B﹣C），從而求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的圖象與直線y