廣東省梅州市葉塘中學高三數學理模擬試卷含解析

廣東省梅州市葉塘中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等比數列{an}的公比q=2，其前4項和S4=60，則a2等于（）A．8 B．6 C．﹣8 D．﹣6參考答案：A【考點】等比數列的性質．【分析】由題意可得，，解方程可得a1，再代入等比數列的通項公式可求．【解答】解：由題意可得，∴a1=4，a2=8故選A2.已知函數f（x）為奇函數，且當x＞0時，f（x）=x2+，則f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2參考答案：D【考點】函數奇偶性的性質；函數的值．【專題】函數的性質及應用．【分析】由條件利用函數的奇偶性和單調性的性質可得f（﹣1）=﹣f（1），運算求得結果．【解答】解：∵已知函數f（x）為奇函數，且當x＞0時，f（x）=x2+，則f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，故選D．【點評】本題主要考查函數的奇偶性的應用，屬于基礎題．3.已知實數x，y滿足約束條件，若函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則8a+16b的最小值為（）A． B．4 C．2 D．參考答案：A【考點】基本不等式；簡單線性規(guī)劃．【分析】可以作出不等式的平面區(qū)域，根據目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，得到3a+4b=1，進而用基本不等式解答即可得出8a+16b的最小值．【解答】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過直線x﹣y+1=0與直線2x﹣y﹣2=0的交點A（3，4）時，目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大1，∴3a+4b=1．∴8a+16b≥2=2=2，則8a+16b的最小值為2．故選A．4.若，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：,所以，故選A.考點：指數、對數函數的性質.5.設集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合{y|y=x2﹣2}，則M∪N=（）A．（﹣2，﹣1） B．[﹣2，﹣1） C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，+∞）參考答案：D【考點】1D：并集及其運算．【分析】解不等式得集合M、求值域得集合N，再計算M∪N．【解答】解：集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}=（﹣2，﹣1），集合N={y|y=x2﹣2}={y|y≥﹣2}=[﹣2，+∞），則M∪N=[﹣2，+∞）．故選：D．6.若，則的解集為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C試題分析：函數的定義域為，所以，解得.考點：導數與不等式.7.已知復數滿足，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D8.函數f（x）=與g（x）=|x+a|+1的圖象上存在關于y軸對稱的點，則實數a的取值范圍是（）A．R B．（﹣∞，﹣e] C．[e，+∞） D．?參考答案：C【考點】函數的圖象．【分析】作出f（x）關于y軸對稱的函數h（x）和g（x）的函數圖象，根據h（x）與g（x）有交點得出a的范圍．【解答】解：設y=h（x）與y=f（x）的圖象關于y軸對稱，則h（x）=f（﹣x）=，作出y=h（x）與y=g（x）的函數圖象如圖所示：∵f（x）與g（x）圖象上存在關于y軸對稱的點，∴y=h（x）與y=g（x）的圖象有交點，∴﹣a≤﹣e，即a≥e．故選C．9.已知在三棱錐P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積是（）A．π B．3π C． D．2π參考答案：B【考點】球的體積和表面積．【分析】求出P到平面ABC的距離為，AC為截面圓的直徑，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面積．【解答】解：由題意，AC為截面圓的直徑，AC=，設球心到平面ABC的距離為d，球的半徑為R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距離為．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面積為4πR2=3π．故選：B．10.已知命題：“若，則”，則下列說法正確的是（

）（A）命題的逆命題是“若，則”

（B）命題的逆命題是“若，則”

（C）命題的否命題是“若，則”（D）命題的否命題是“若，則”參考答案：【知識點】四種命題A2C解析：“若p則q”的逆命題是“若q則p”，否命題是“若則”，故選C.【思路點撥】將原命題的條件和結論互換位置即可得到逆命題，分別寫出條件和結論的否定為否命題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各參加其中一個小組，且他們參加各個興趣小組是等可能的，則甲、乙兩位同學參加同一個興趣小組的概率為

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．參考答案：略12.對于，以點為中點的弦所在的直線方程是_____．參考答案：試題分析：，圓心為（1,0），故所求直線的斜率為，直線方程為即考點：直線方程13.已知某算法的流程圖如圖所示，若將輸出的（x，y）的值依次記為（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若程序運行中輸出的一個數組是（t，﹣8），則t為．參考答案：81考點：循環(huán)結構．3794729專題：圖表型．分析：由已知中程序框圖，我們可以模擬程序的運行結果，并據此分析出程序運行中輸出的一個數組是（t，﹣8）時，t的取值．解答：解：由已知中的程序框圖，我們可得：當n=1時，輸出（1，0），然后n=3，x=3，y=﹣2；當n=3時，輸出（3，﹣2），然后n=5，x=32=9，y=﹣2×2=﹣4；當n=5時，輸出（9，﹣4），然后n=7，x=33=27，y=﹣2×3=﹣6；當n=7時，輸出（27，﹣6），然后n=9，x=34=81，y=﹣2×4=﹣8；當n=9時，輸出（81，﹣8），故t=81．故答案為：81．點評：本題考查循環(huán)結構，在解決程序框圖中的循環(huán)結構時，常采用利用框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結果，找規(guī)律．14.已知函數（、為實數，，），若，且函數的值域為，則的表達式__________．當時，是單調函數，則實數的取值范圍是__________．參考答案：解：∵，，∴①，又∵，②，聯立①②解出，，∴．15.在△ABC中，，，，則______．參考答案：3【分析】通過余弦定理求出，然后利用向量的數量積求解即可．【詳解】解：在中，，，，可得，則.故答案為：3．【點睛】本題考查三角形的解法，余弦定理以及向量的數量積的應用，考查計算能力．16.已知函數，設，若，則的取值范圍是____________.參考答案：略17.已知函數f（x）滿足：f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），則f（814）=

．參考答案：【考點】抽象函數及其應用．【專題】函數的性質及應用．【分析】利用賦值法，分別求出f（1）…f（9）得出f（x）的周期是6，故求出答案．【解答】解：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），令x=1，y=0，則4f（1）f（0）=f（1）+f（1），∴f（0）=，再令x=y=1，得f（2）=﹣，再令x=2，y=1，得f（3）=﹣，再令x=2，y=2，得f（4）=﹣，再令x=3，y=2，得f（5）=，再令x=3，y=3，得f（6）=，再令x=4，y=3，得f（7）=，再令x=4，y=4，得f（8）=，再令x=5，y=4，得f（9）=﹣，由此可以發(fā)現f（x）的周期是6，∵2014÷6=135余4，．∴f（814）=f（135×6+4）=f（4）=．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查了抽象函數及其應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線。(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于A、B兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理由。參考答案：解：（I）由得直線是拋物線的一條切線。所以所以橢圓…………5分（Ⅱ）當直線l與x軸平行時，以AB為直徑的圓方程為當直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓方程為所以兩圓的交點為點（0，1）猜想：所求的點T為點（0，1）.…………8分證明如下。當直線l與x軸垂直時，以AB為直徑的圓過點（0，1）當直線l與x軸不垂直時，可設直線l為：由得設則所以，即以AB為直徑的圓過點（0，1）所以存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點T.……13分略19.已知函數為偶函數，且其圖象上相鄰最高點、最低點間的距離為（1）求函數的表達式（2）若已知，求的值參考答案：解：（1）因為函數為偶函數，所以，設最小正周期為，由題可的得，所以，，所以（2）因為，所以

所以原式=

略20.（本小題滿分12分）已知是拋物線上的點，是的焦點，以為直徑的圓與軸的另一個交點為.（Ⅰ）求與的方程；（Ⅱ）過點且斜率大于零的直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，的面積為，證明：直線與圓相切.參考答案：(Ⅰ)為圓的直徑，則，即，把代入拋物線的方程求得，即，；………………3分又圓的圓心是的中點，半徑，則：.………………5分(Ⅱ)設直線的方程為，,，由得，則

…7分設的面積為,則……………9分解得：，又，則∴直線的方程為，即又圓心到的距離，故直線與圓相切.……12分21.某出版社新出版一本高考復習用書，該書的成本為5元一本，經銷過程中每本書需付給代理商m元的勞務費，經出版社研究決定，新書投放市場后定價為x元一本，，預計一年的銷售量為萬本.（Ⅰ）求該出版社一年的利潤L（萬元）與每本書的定價x的函數關系式；（Ⅱ）若m=2時，當每本書的定價為多少元時，該出版社一年利潤L最大，并求出L的最大值.參考答案：略22.已知A（﹣2，0）、B（2，0），點C、點D依次滿足．（1）求點D的軌跡方程；（2）過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點，線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與點D的軌跡相切，求該橢圓的方程．參考答案：【考點】軌跡方程；橢圓的標準方程．【分析】（1）設C、D點的坐標分別為C（x0，y0），D（x，y），欲求點D的軌跡方程，即尋找x，y之間的關系式，利用向量間的關系求出P點的坐標后代入距離公式即可得；（2）設橢圓方程為，根據圓的切線性質及中點條件，利用待定系數法求出待定系數a，b即可．【解答】解：（1）設C、D點的坐標分別為C（x0，y0），D（x，y），則），，則，故．又代入中，整理得