線性代數(shù)概念的幾何意義

關于線性代數(shù)概念的幾何意義第一頁，共三十頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容二元、三元線性方程組的幾何意義二階、三階行列式的幾何意義平面上線性變換的幾何意義二階矩陣特征值的幾何意義中向量組的線性相關性的幾何意義第二頁，共三十頁，2022年，8月28日二元、三元線性方程組的幾何意義

二元一次方程在幾何上表示的是一條直線，則含兩個二元一次方程的方程組在幾何上則表示兩條直線的位置關系：

相交====〉有唯一解平行====〉無解重合====〉無窮多解第三頁，共三十頁，2022年，8月28日

例1

求解下列四個線性方程組第四頁，共三十頁，2022年，8月28日

以方程組（1）為例：在MATLAB的M文件編輯器中，輸入

symsx1x2

%定義x1、x2為符號變量

U1=rref([1,2,5;2,-3,-4])

%把增廣矩陣通過初等行變換

%變?yōu)樽詈嗠A梯矩陣

subplot(2,2,1)

%準備畫2×2個圖形中的第一個

ezplot('x1+2*x2=5')

%繪制直線x1+2*x2=5

holdon

%保留原來圖形

ezplot('2*x1-3*x2=-4')

%再繪制直線2*x1-3*x2=-4

title('x1+2*x2=52*x1-3*x2=-4')

%在圖上標注x1+2*x2=52*x1-3*x2=-4

gridon

%顯示網(wǎng)格第五頁，共三十頁，2022年，8月28日繪制圖形如圖1所示：第六頁，共三十頁，2022年，8月28日

方程組（1）的解為；

方程組（2）的通解為：；

方程組（3）和方程組（4）這兩個方程組無解。從運行結果可以看出:第七頁，共三十頁，2022年，8月28日

方程組（1）的兩條直線有一個交點，故有唯一解（適定）；方程組（2）的兩條直線重合，則有無窮組解（欠定）；方程組（3）的兩條直線相平行，永遠沒有交點，即無解；方程組（4）的三條直線不共點，則也無解（超定），可求最小二乘解。從圖1中可以形象地看出:AX=b最小二乘解命令：x=pinv(A)*b

x=A\b第八頁，共三十頁，2022年，8月28日

三個三元一次方程構成的方程組：若三個平面只有一個交點，即方程組有唯一解；若三個平面相交于一直線，即方程組有無窮多解；若三個平面沒有交點或交線，即方程組無解。

三元一次方程組的幾何表示

第九頁，共三十頁，2022年，8月28日

例2

求解下列線性方程組，并畫出三維圖形來表示解的情況。第十頁，共三十頁，2022年，8月28日利用MATLAB的M文件編輯器繪圖可得：

圖2

三元線性方程組解的幾何意義第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日方程組（1）的解為三個平面的交點，故該方程組有唯一解；方程組（2）的三個平面剛好相交于同一條直線，該齊次線性方程組有無窮多解，且其對應的解空間是一維的；方程組（3）的三個平面沒有共同的交點，即方程組無解；方程組（4）也無解。從圖2中可以看出：第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日

二階、三階行列式的幾何意義

二維情形：

在平面上有一個平行四邊形OACB，A、B兩點的坐標分別為：、，如下圖所示，求平行四邊形OACB的面積。

分析：過點A做x軸垂線，交x軸于點E；過點B做平行x軸直線與過點C做平行y軸直線相交于點D。顯然可以得到三角形CDB和三角形AEO全等，則有：第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日

根據(jù)二階行列式的定義，該平行四邊形的面積剛好是以A、B兩點坐標所構成的二階行列式:二階行列式的幾何意義

一般情況下也可以證明：過原點的兩條直線(向量)，如構成的一個平行四邊形的面積為A、B兩點坐標所構成的二階行列式的絕對值。第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日

三維情形已知三個向量

由這三個向量所構成的平行六面體的體積即為

三階行列式的絕對值（如圖）

第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日平面上線性變換(y=Ax)的幾何意義例3已知向量及矩陣

請分析經(jīng)過線性變換后，向量與原向量的幾何關系。

第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日繪制圖形如下圖所示：

圖3線性變換的幾何意義第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日

例4.設二維平面上第一象限中的一個單位方塊，其四個頂點的數(shù)據(jù)可寫成

把不同的A矩陣作用于此組數(shù)據(jù)，可以得到多種多樣的結果Ci=

AiB。令B=（X1，X2，X3，X4），則

AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=（AiX1，AiX2，AiX3，AiX4）第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日

用MATLAB程序進行計算，并畫出B及C圖形：

B=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1),fill([B(1,:),0],[B(2,:),0],'r') A1=[-1,0;0,1],C1=A1*B subplot(2,3,2),fill([C1(1,:),0],[C1(2,:),0],'g')第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日

繪制幾何圖形可得：第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日對二維空間（平面），行列式的幾何意義實際上是兩個向量所構成的平行四邊形的面積。一個變換所造成的圖形的面積變化，取決于該變換矩陣的行列式,A1,A4和A5的行列式絕對值都是1，所以變換后圖形的面積不改變。而A2和A3的行列式分別為1.5和0.5，變換后圖形的面積的增加或減少倍數(shù)等于對應行列式的絕對值。平面上線性變換的幾何意義第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日圖像變換中的示例在二維的圖像變換模型中，最基本的圖像變換有平移、旋轉(zhuǎn)、縮放（包括各向同性和各向異性）、反射和錯切。由這些基本的圖像變換組合，可以得到剛性變換、相似變換、仿射變換、透視變換等復合變換。第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日二階矩陣特征值的幾何意義

例5.已知矩陣求它們的特征值和特征向量，并繪制特征向量圖，分析其幾何意義。解：在MATLAB命令窗口輸入：

A1=[-1,3;2,5];[V1,D1]=eig(A1)eigshow(A1)A2=[1,-2;-1,5];[V2,D2]=eig(A2)eigshow(A2)

A3=[1,2;2,4];[V3,D3]=eig(A3)eigshow(A3)A4=[2,-1;3,2];[V4,D4]=eig(A4)eigshow(A4)第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日

當用鼠標拖動向量順時針旋轉(zhuǎn)時，也開始旋轉(zhuǎn)。向量的軌跡為一個圓，而向量的軌跡一般情況為一個橢圓。同理，可以對其它三個矩陣進行同樣的操作，繪制圖形如圖5所示。繪制圖形如圖所示圖5特征值及其演示第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日

函數(shù)eigshow(A)描述了向量隨向量的變換關系：當向量在旋轉(zhuǎn)的過程中，如果向量與向量共線(包括同向和反向)，則有等式為一實數(shù)乘子，為正表示兩個向量同向，為負表示兩個向量反向。人們把向量與向量共線的位置稱為特征位置，其中實數(shù)就稱為矩陣的特征值，而此時的即為矩陣的屬于的特征向量。

特征值表示線性變換Ax在特征向量x方向上的放大(縮小)量。第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日針對矩陣，當向量順時針旋轉(zhuǎn)時，向量逆時針旋轉(zhuǎn)，則矩陣存在(一正一負)兩個特征值(四個特征位置);針對矩陣，當向量勻角速度順時針旋轉(zhuǎn)時，向量也順時針旋轉(zhuǎn)，其角速度一會變大，一會變小，存在四個特征位置(兩個特征值均為正)；針對矩陣，當向量勻角速度順時針旋轉(zhuǎn)時，向量沿一條過圓心的直線運動，此時矩陣有一個特征值為零；針對矩陣，當向量順時針旋轉(zhuǎn)時，向量也順時針旋轉(zhuǎn)，但它永遠也追不上向量，它們之間總保持著一定的角度，則矩陣沒有實特征值。第二十七頁，共三十頁，2022年，8月2