線性代數(shù)概念的幾何意義

關(guān)于線性代數(shù)概念的幾何意義第一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日主要內(nèi)容二元、三元線性方程組的幾何意義二階、三階行列式的幾何意義平面上線性變換的幾何意義二階矩陣特征值的幾何意義中向量組的線性相關(guān)性的幾何意義第二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日二元、三元線性方程組的幾何意義

二元一次方程在幾何上表示的是一條直線，則含兩個(gè)二元一次方程的方程組在幾何上則表示兩條直線的位置關(guān)系：

相交====〉有唯一解平行====〉無(wú)解重合====〉無(wú)窮多解第三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

例1

求解下列四個(gè)線性方程組第四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

以方程組（1）為例：在MATLAB的M文件編輯器中，輸入

symsx1x2

%定義x1、x2為符號(hào)變量

U1=rref([1,2,5;2,-3,-4])

%把增廣矩陣通過(guò)初等行變換

%變?yōu)樽詈?jiǎn)階梯矩陣

subplot(2,2,1)

%準(zhǔn)備畫(huà)2×2個(gè)圖形中的第一個(gè)

ezplot('x1+2*x2=5')

%繪制直線x1+2*x2=5

holdon

%保留原來(lái)圖形

ezplot('2*x1-3*x2=-4')

%再繪制直線2*x1-3*x2=-4

title('x1+2*x2=52*x1-3*x2=-4')

%在圖上標(biāo)注x1+2*x2=52*x1-3*x2=-4

gridon

%顯示網(wǎng)格第五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日繪制圖形如圖1所示：第六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

方程組（1）的解為；

方程組（2）的通解為：；

方程組（3）和方程組（4）這兩個(gè)方程組無(wú)解。從運(yùn)行結(jié)果可以看出:第七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

方程組（1）的兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)，故有唯一解（適定）；方程組（2）的兩條直線重合，則有無(wú)窮組解（欠定）；方程組（3）的兩條直線相平行，永遠(yuǎn)沒(méi)有交點(diǎn)，即無(wú)解；方程組（4）的三條直線不共點(diǎn)，則也無(wú)解（超定），可求最小二乘解。從圖1中可以形象地看出:AX=b最小二乘解命令：x=pinv(A)*b

x=A\b第八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

三個(gè)三元一次方程構(gòu)成的方程組：若三個(gè)平面只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程組有唯一解；若三個(gè)平面相交于一直線，即方程組有無(wú)窮多解；若三個(gè)平面沒(méi)有交點(diǎn)或交線，即方程組無(wú)解。

三元一次方程組的幾何表示

第九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

例2

求解下列線性方程組，并畫(huà)出三維圖形來(lái)表示解的情況。第十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日利用MATLAB的M文件編輯器繪圖可得：

圖2

三元線性方程組解的幾何意義第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日方程組（1）的解為三個(gè)平面的交點(diǎn)，故該方程組有唯一解；方程組（2）的三個(gè)平面剛好相交于同一條直線，該齊次線性方程組有無(wú)窮多解，且其對(duì)應(yīng)的解空間是一維的；方程組（3）的三個(gè)平面沒(méi)有共同的交點(diǎn)，即方程組無(wú)解；方程組（4）也無(wú)解。從圖2中可以看出：第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

二階、三階行列式的幾何意義

二維情形：

在平面上有一個(gè)平行四邊形OACB，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：、，如下圖所示，求平行四邊形OACB的面積。

分析：過(guò)點(diǎn)A做x軸垂線，交x軸于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)B做平行x軸直線與過(guò)點(diǎn)C做平行y軸直線相交于點(diǎn)D。顯然可以得到三角形CDB和三角形AEO全等，則有：第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)二階行列式的定義，該平行四邊形的面積剛好是以A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)所構(gòu)成的二階行列式:二階行列式的幾何意義

一般情況下也可以證明：過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(向量)，如構(gòu)成的一個(gè)平行四邊形的面積為A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)所構(gòu)成的二階行列式的絕對(duì)值。第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

三維情形已知三個(gè)向量

由這三個(gè)向量所構(gòu)成的平行六面體的體積即為

三階行列式的絕對(duì)值（如圖）

第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日平面上線性變換(y=Ax)的幾何意義例3已知向量及矩陣

請(qǐng)分析經(jīng)過(guò)線性變換后，向量與原向量的幾何關(guān)系。

第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日繪制圖形如下圖所示：

圖3線性變換的幾何意義第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

例4.設(shè)二維平面上第一象限中的一個(gè)單位方塊，其四個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)據(jù)可寫(xiě)成

把不同的A矩陣作用于此組數(shù)據(jù)，可以得到多種多樣的結(jié)果Ci=

AiB。令B=（X1，X2，X3，X4），則

AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=（AiX1，AiX2，AiX3，AiX4）第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

用MATLAB程序進(jìn)行計(jì)算，并畫(huà)出B及C圖形：

B=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1),fill([B(1,:),0],[B(2,:),0],'r') A1=[-1,0;0,1],C1=A1*B subplot(2,3,2),fill([C1(1,:),0],[C1(2,:),0],'g')第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

繪制幾何圖形可得：第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)二維空間（平面），行列式的幾何意義實(shí)際上是兩個(gè)向量所構(gòu)成的平行四邊形的面積。一個(gè)變換所造成的圖形的面積變化，取決于該變換矩陣的行列式,A1,A4和A5的行列式絕對(duì)值都是1，所以變換后圖形的面積不改變。而A2和A3的行列式分別為1.5和0.5，變換后圖形的面積的增加或減少倍數(shù)等于對(duì)應(yīng)行列式的絕對(duì)值。平面上線性變換的幾何意義第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D像變換中的示例在二維的圖像變換模型中，最基本的圖像變換有平移、旋轉(zhuǎn)、縮放（包括各向同性和各向異性）、反射和錯(cuò)切。由這些基本的圖像變換組合，可以得到剛性變換、相似變換、仿射變換、透視變換等復(fù)合變換。第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日二階矩陣特征值的幾何意義

例5.已知矩陣求它們的特征值和特征向量，并繪制特征向量圖，分析其幾何意義。解：在MATLAB命令窗口輸入：

A1=[-1,3;2,5];[V1,D1]=eig(A1)eigshow(A1)A2=[1,-2;-1,5];[V2,D2]=eig(A2)eigshow(A2)

A3=[1,2;2,4];[V3,D3]=eig(A3)eigshow(A3)A4=[2,-1;3,2];[V4,D4]=eig(A4)eigshow(A4)第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)用鼠標(biāo)拖動(dòng)向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，也開(kāi)始旋轉(zhuǎn)。向量的軌跡為一個(gè)圓，而向量的軌跡一般情況為一個(gè)橢圓。同理，可以對(duì)其它三個(gè)矩陣進(jìn)行同樣的操作，繪制圖形如圖5所示。繪制圖形如圖所示圖5特征值及其演示第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

函數(shù)eigshow(A)描述了向量隨向量的變換關(guān)系：當(dāng)向量在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，如果向量與向量共線(包括同向和反向)，則有等式為一實(shí)數(shù)乘子，為正表示兩個(gè)向量同向，為負(fù)表示兩個(gè)向量反向。人們把向量與向量共線的位置稱(chēng)為特征位置，其中實(shí)數(shù)就稱(chēng)為矩陣的特征值，而此時(shí)的即為矩陣的屬于的特征向量。

特征值表示線性變換Ax在特征向量x方向上的放大(縮小)量。第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日針對(duì)矩陣，當(dāng)向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則矩陣存在(一正一負(fù))兩個(gè)特征值(四個(gè)特征位置);針對(duì)矩陣，當(dāng)向量勻角速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，向量也順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其角速度一會(huì)變大，一會(huì)變小，存在四個(gè)特征位置(兩個(gè)特征值均為正)；針對(duì)矩陣，當(dāng)向量勻角速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，向量沿一條過(guò)圓心的直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)矩陣有一個(gè)特征值為零；針對(duì)矩陣，當(dāng)向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，向量也順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，但它永遠(yuǎn)也追不上向量，它們之間總保持著一定的角度，則矩陣沒(méi)有實(shí)特征值。第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月2