2022-2023學年山西省部分學校高三年級上冊學期期末考試數(shù)學試題【含答案】

山西省部分學校2022-2023學年高三上學期期末考試數(shù)學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則A. B. C. D.2.在復平面內(nèi)，對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動力來源（或使用常規(guī)的車用燃料、采用新型車載動力裝置），綜合車輛的動力控制和驅(qū)動方面的先進技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進、具有新技術(shù)，新結(jié)構(gòu)的汽車.新能源汽車包括混合動力電動汽車（HEV）、純電動汽車（BEV，包括太陽能汽車）燃料電池電動汽車（FCEV）、其他新能源（如超級電容器、飛輪等高效儲能器）汽車等.非常規(guī)的車用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是2022年我國某地區(qū)新能源汽車的前5個月銷售量與月份的統(tǒng)計表：月份代碼12345銷售量（萬輛）0.50.611.41.5由上表可知其線性回歸方程為，則的值是A.0.28 B.0.32 C.0.56 D.0.644.已知，則的值為A. B. C. D.5.的展開式中，的系數(shù)是A.5 B.15 C.20 D.256.已知函數(shù)（，），若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的最大值是A. B. C. D.7.在四棱錐中，底面為正方形，且平面，，則直線與直線所成角的余弦值是A. B. C. D.8.設，，，則A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，則下列不等式成立的是A. B. C. D.10.已知點，均在圓外，則下列表述正確的有A.實數(shù)的取值范圍是B.C.直線與圓不可能相切D.若圓上存在唯一點滿足，則的值是11.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對任意，且都有成立，，，，則下列說法正確的是A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.D.函數(shù)在處取到最大值12.已知過拋物線的焦點的直線交于，兩點，為坐標原點，若的面積為4，則下列說法正確的是A.弦的中點坐標為 B.直線的傾斜角為30°或150°C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為，則____________.14.已知向量，滿足，，則_____________.15.在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積是________________.16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，，它們的離心率分別為，，點為它們的一個交點，且，則的取值范圍是________________.四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，求證：.18.（本小題滿分12分）某大型工廠有6臺大型機器，在1個月中，1臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修.每臺機器出現(xiàn)故障的概率為.已知1名工人每月只有維修2臺機器的能力（若有2臺機器同時出現(xiàn)故障，工廠只有1名維修工人，則該工人只能逐臺維修，對工廠的正常運行沒有任何影響），每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時能及時得到維修，就能使該廠每月獲得10萬元的利潤，否則將虧損2萬元.該工廠每月需支付給每名維修工人1萬元的工資.（1）若每臺機器在當月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人進行維修（例如：3臺大型機器出現(xiàn)故障，則至少需要2名維修工人），則稱工廠能正常運行.若該廠只有1名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；（2）已知該廠現(xiàn)有2名維修工人.（?。┯浽搹S每月獲利為萬元，求的分布列與數(shù)學期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應再招聘1名維修工人？19.（本小題滿分12分）在中，角，，的對邊分別為，，.已知點在邊上（不含端點），.（1）證明：；（2）若，，求的面積.20.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.21.（本小題滿分12分）已知橢圓的左、右頂點分別為，，，且過點.（1）求的方程；（2）若直線與交于，兩點，直線與相交于點，證明：點在定直線上，并求出此定直線的方程.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的最小值為，求的值；（2）若存在，且，使得，求的取值范圍.高三數(shù)學參考答案、提示及評分細則1.D，故，所以.故選D.2.C，故對應的點為，位于第三象限.故選C.3.A由表中數(shù)據(jù)可得，，將代入，即，解得.故選A.4.A由，得，所以，所以，所以，所以.故選A.5.B因為，的展開式通項為，的展開式通項為，由可得因此的展開式中，的系數(shù)為.故選B.6.C，令，，.又函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，所以，解得，，所以，，，，所以的最大值是.故選C.7.D連接交于點，取的中點，連接，.不妨設.因為四邊形是正方形，所以是的中點，又是的中點，所以.所以直線與直線所成角即為（或其補角）.因為平面，又，平面，所以，.在中，，，，所以；在中，，，，所以，所以；在中，，，，所以，即直線與直線所成角的余弦值是.故選D.8.B令，，則，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，即.令，，易得在上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以.故選B.9.BD由不等式的基本性質(zhì)，可得A錯誤，B正確；取，，則，從而，則C錯誤；因為，所以冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則由，即得，則D正確.故選BD.10.ABD據(jù)題設分析知，，，當時，直線與圓相切.∵，∴點在以線段為直徑的圓上.又，，∴點在圓上.又∵點在圓上，點，均在圓外，∴圓與圓外切，且點為切點，∴，∴.故選ABD.11.BC根據(jù)題意，函數(shù)是上的偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；又由對任意，且都有成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù)，所以在處取得最小值；，，，又由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，易知，所以.故選BC.12.BCD設直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，則，，又，所以，解得，所以直線的傾斜角為30°或150°，，弦的中點坐標為，即，.故選BCD.13.3由已知得，因為，所以.14.因為，所以，所以，即，則，所以.15.如圖，將三棱錐放入長方體中，設該長方體的長、寬、高分別為，，，則，解得，設三棱錐的外接球的半徑為，則，所以.所以三棱錐的外接球的表面積.16.設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，焦距，點為橢圓與雙曲線在第一象限的交點，則，，解得，，如圖：在中，根據(jù)余弦定理可得，整理得，即，設，，則有，，所以，即有，所以，所以，設，則，且，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，所以.17.（1）解：當時，，即；當時，由，得，兩式相減得.又，所以，所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.所以.（2）證明：由（1）知，所以，，兩式相減得，所以.又，所以.18.解：（1）因為該廠只有1名維修工人，所以要使工廠正常運行，最多只能出現(xiàn)2臺大型機器出現(xiàn)故障，故該工廠能正常運行的概率為.（2）（?。┑目赡苋≈禐?4，46，58，，，，則的分布列為344658故.（ⅱ）若該廠有3名維修工人，則該廠獲利的數(shù)學期望為萬元.因為，所以該廠應再招聘1名維修工人.19.（1）證明：若時，則點與點重合，不滿足題意，故，因為，所以，所以，由正弦定理及余弦定理得，即，所以，因為，所以，所以，所以.（2）解：由及，，得，由（1）知，所以，所以，整理得，令得：，即，解得，，（舍去），由，得，而舍去，故所以.20.（1）證明：取的中點，連結(jié)，.則，且，，且.所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，，則，，，，，所以，.因為，所以，所以.又，，設平面的一個法向量，則所以，令，則，，所以；又平面的一個法向量，所以，所以，解得，所以.又，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角為.21.（1）解：因為，所以，解得.因為過點，所以，解得.所以的方程為.（2）證明：設，，所以，.由，整理得則，解得且，，.由得，所以點在定直線上.22.解：（1）由題意知函數(shù)的定義域為，.當時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，無最小值.當時，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.所以，即.設，則，所以為上的增函數(shù)，又，所以.（2）由，得，即，又，所以，得.令，則，令，故問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有零點.，其中.因為函數(shù)的對稱軸的方程為，且當時，，故當，則在上恒成立，所以