高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明 評(píng)估驗(yàn)收卷(二)

評(píng)估驗(yàn)收卷(二)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1．自然數(shù)是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù)．以上“三段論”推理()A．正確B．推理形式不正確C．兩個(gè)“自然數(shù)”概念不一致D．“兩個(gè)整數(shù)”概念不一致解析：三段論中的大前提、小前提及推理形式都是正確的．答案：A2．用反證法證明命題“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一個(gè)能被7整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是()A．x，y都不能被7整除B．x，y都能被7整除C．x，y只有一個(gè)能被7整除D．只有x不能被7整除解析：用反證法證明命題時(shí)，先假設(shè)命題的否定成立，再進(jìn)行推證．“x，y至少有一個(gè)能被7整除”的否定是“x，y都不能被7整除”．答案：A3．下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6×7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)解析：用特值法：當(dāng)k＝1時(shí)，顯然只有3(2＋7k)能被9整除．答案：D4．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(（n＋3）（n＋4）,2)(n∈N*)時(shí)，第一步驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：當(dāng)n＝1時(shí)，右邊＝eq\f(（1＋3）（1＋4）,2)＝10，所以左邊＝1＋2＋3＋4＝10.答案：D5．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋aC．a(chǎn)1a2a3…a9＝2×9 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知選項(xiàng)D答案：D6．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0所以ab＋bc＋ca＝－eq\f(a2＋b2＋c2,2)≤0.答案：D7．已知f(x)＝sinx＋cosx，定義f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算，f1(x)＝cosx－sinx，f2(x)＝－sinx－cosx，f3(x)＝－cosx＋sinx，…，照此規(guī)律，則f100(x)＝()A．－cosx＋sinx B．cosx－sinxC．sinx＋cosx D．－sinx－cosx解析：根據(jù)題意，f4(x)＝[f3(x)]′＝sinx＋cosx，f5(x)＝[f4(x)]′＝cosx－sinx，f6(x)＝[f5(x)]′＝－sinx－cosx，…，觀察知fn(x)的值呈周期性變化，周期為4，所以f100(x)＝f96＋4(x)＝f4(x)＝sinx＋cosx.答案：C8．下列各圖中線段的條數(shù)用an表示，如a1＝1，a2＝5，若如此作下去，則第8個(gè)圖中的線段條數(shù)a8＝()A．508B．509C．511D．512解析：由題圖知，a1＝1，a2＝1＋22，a3＝1＋22＋23，a4＝1＋22＋23＋24，…，所以a8＝1＋22＋23＋…＋28＝(2＋22＋23＋…＋28)－1＝eq\f(2（1－28）,1－2)－1＝509.答案：B9．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199解析：記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案：C10.如圖所示，半徑為1的圓O內(nèi)有n個(gè)半徑相等的圓依次相切且都與圓O相切，若n＝10，則這些等圓的半徑為()\f(sin\f(π,5),1＋sin\f(π,5)) \f(sin\f(π,10),1＋sin\f(π,10))\f(cos\f(π,5),1＋cos\f(π,5)) \f(cos\f(π,10),1＋cos\f(π,10))解析：如圖所示，設(shè)相鄰兩圓的圓心分別為O1，O2，圓半徑為r，連接OO1，OO2，O1O2，作OA⊥OO2于點(diǎn)A，則A為OO2的中點(diǎn)，因?yàn)檫@樣的圓有10個(gè)，所以∠O1OO2＝eq\f(2π,10)＝eq\f(π,5)，所以∠O1OA＝eq\f(π,10)，在Rt△O1OA中，sin∠O1OA＝eq\f(O1A,OO1)＝eq\f(r,1－r)，即sineq\f(π,10)＝eq\f(r,1－r)，解得r＝eq\f(sin\f(π,10),1＋sin\f(π,10)).答案：B11．請(qǐng)閱讀下列材料：若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2滿足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝1，求證：a1＋a2≤eq\r(2).證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤eq\r(2).根據(jù)上述證明方法，若n個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2，…，an滿足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝n時(shí)，你能得到的結(jié)論是()A．a(chǎn)1＋a2＋…＋an≤2nB．a(chǎn)1＋a2＋…＋an≤n2C．a(chǎn)1＋a2＋…＋an≤nD．a(chǎn)1＋a2＋…＋an≤eq\r(n)解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋n，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2＋…＋an)2－4n2≤0，所以a1＋a2＋…＋an≤n.答案：C12.如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，Pi(i＝1，2，3，…)分別是所在線段的中點(diǎn)，則線段P7P8的長(zhǎng)為()\f(\r(10),8) \f(\r(10),6)\f(\r(5),8) \f(\r(5),6)解析：因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，又P1，P2，P3分別是BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以P1P2⊥P2P3，且P1P2＝P2P3＝eq\f(\r(2),2)，所以P2P5＝eq\f(\r(2),4)，連接P3P5，則P3P5＝eq\r(P3Peq\o\al(2,5)＋P2Peq\o\al(2,3))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(10),4)，連接P7P8，因?yàn)镻7，P8分別是P3P4，P4P5的中點(diǎn)，所以P7P8∥P3P5，且P7P8＝eq\f(1,2)P3P5＝eq\f(\r(10),8).答案：A二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．“因?yàn)锳C，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，所以AC，BD互相垂直且平分．”補(bǔ)充以上推理的大前提是____________________．解析：大前提是“菱形的對(duì)角線互相垂直且平分”．答案：菱形的對(duì)角線互相垂直且平分14．我們知道，圓的面積的導(dǎo)數(shù)為圓的周長(zhǎng)，即：若圓的半徑為r，則圓的面積S(r)＝πr2，S′(r)＝2πr為圓的周長(zhǎng)．通過(guò)類比，有以下結(jié)論：①正方形面積的導(dǎo)數(shù)為正方形的周長(zhǎng)；②正方體體積的導(dǎo)數(shù)為正方體的表面積；③球體的體積的導(dǎo)數(shù)為球體的表面積．其中正確的是________(填序號(hào))．解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則正方形的面積為S(a)＝a2，而S′(a)＝2a≠設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為V(a)＝a3，而V′(a)＝3a2≠設(shè)球體的半徑為r，則V(r)＝eq\f(4,3)πr3，而V′(r)＝4πr2＝球體的表面積．所以只有③正確．答案：③15．?dāng)?shù)列{an}的前六項(xiàng)是－2，1，6，13，22，33，則a20＝________.解析：由數(shù)列的前五項(xiàng)知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n2－3，所以a20＝202－3＝397.答案：39716．非零自然數(shù)有一個(gè)有趣的現(xiàn)象：①1＋2＝3；②4＋5＋6＝7＋8；③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；….按照這樣的規(guī)律，則108在第________個(gè)等式中．解析：每個(gè)式子中的數(shù)依次列出成等差數(shù)列，第一個(gè)式子中有3個(gè)數(shù)，第二個(gè)式子中有5個(gè)數(shù)，…，第n個(gè)式子中有2n＋1個(gè)數(shù)，則第一個(gè)式子到第n個(gè)式子共有eq\f(n（3＋2n＋1）,2)＝n(n＋2)個(gè)數(shù)．當(dāng)n＝9時(shí)，第一個(gè)式子到第9個(gè)式子共有9×11＝99個(gè)數(shù)，當(dāng)n＝10時(shí)，第一個(gè)式子到第10個(gè)式子共有10×12＝120個(gè)數(shù)，而108是第108個(gè)數(shù)，所以108在第10個(gè)等式中．答案：10三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立．(1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交；(2)如果兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行．解：(1)類比為：如果一個(gè)平面和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必和另一個(gè)相交．結(jié)論是正確的，證明如下：設(shè)α∥β，且γ∩α＝a，則必有γ∩β＝b，若γ與β不相交，則必有γ∥β.又α∥β，所以α∥γ，與γ∩α＝α矛盾，所以必有γ∩β＝b.(2)類比為：如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行，結(jié)論是錯(cuò)誤的，這兩個(gè)平面也可能相交．18．(本小題滿分12分)已知A＋B＝eq\f(π,3)，且A，B≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．求證：(1＋eq\r(3)tanA)(1＋eq\r(3)tanB)＝4.證明：由A＋B＝eq\f(π,3)得tan(A＋B)＝taneq\f(π,3)，即eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\r(3)，所以tanA＋tanB＝eq\r(3)－eq\r(3)tanAtanB.所以(1＋eq\r(3)tanA)(1＋eq\r(3)tanB)＝1＋eq\r(3)(tanA＋tanB)＋3tanAtanB＝1＋eq\r(3)(eq\r(3)－eq\r(3)tanAtanA)＋3tanAtanB＝4.故原等式成立．19．(本小題滿分12分)已知△ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)，求證：(1)cosA是有理數(shù)；(2)對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA和sinA·sinnA是有理數(shù)．證明：(1)由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)是有理數(shù)．(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)．①當(dāng)n＝1時(shí)，由(1)知cosnA是有理數(shù)，從而有sinA·sinnA＝1－cos2②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，coskA和sinA·sinkA都是有理數(shù)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①和歸納假設(shè)，知cos(k＋1)A和sinA·sin(k＋1)A都是有理數(shù)．即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．綜合①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)．20．(本小題滿分12分)已知a，b，c都是不為零的實(shí)數(shù)，求證：a2＋b2＋c2＞eq\f(4,5)(ab＋bc＋ca)．證明：要證a2＋b2＋c2＞eq\f(4,5)(ab＋bc＋ca)，只需證5(a2＋b2＋c2)＞4(ab＋bc＋ca)，只需證5a2＋5b2＋5c2－(4ab＋4bc＋4ca只需證(a2－4ab＋4b2)＋(b2－4bc＋4c2)＋(c2－4ca＋4a2)＞0，只需證(a－2b)2＋(b－2c)2＋(c－2因?yàn)?a－2b)2≥0，(b－2c)2≥0，(c－2a)2≥且這三個(gè)不等式中等號(hào)不可能同時(shí)成立(若同時(shí)成立等號(hào)，則必有a＝b＝c＝0)，所以(a－2b)2＋(b－2c)2＋(c－2a)2所以原不等式成立．21．(本小題滿分12分)(2023·陜西卷)如圖①所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.圖①圖②(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1-BCDE的體積為36eq\r(2)，求a的值．(1)證明：在圖①中，因?yàn)锳B＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC，即在圖②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，從而B(niǎo)E⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱錐A1-BCDE的高．由圖①知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2.從而四棱錐A1-BCDE的體積V＝eq\f(1,3)×S·A1O＝eq\f(1,3)a2·eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3.由eq\f(\r(2),6)a3＝36eq\r(2)，得a＝6.22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,2x－1)，如果數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝f(an)，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，恒有an＜2成立．證明：法一(直接證明)由an＋1＝f(an)得an＋1＝eq\f(aeq\o\al(2,n),2an－1)，所以eq\f(1,an＋1)＝－eq\f(1,aeq\o\al(2,n))＋eq\f(2,an)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))eq\s\up12(2)＋1≤1，所