高中數(shù)學人教A版第二章平面向量平面向量的基本定理及坐標表示 全國一等獎

課題名稱：2．平面向量基本定理課程模塊及章節(jié)：第二章備課時間：2023學科：數(shù)學備課組：高一數(shù)學主備教師：張秋花備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國彪。教師二次備課教學背景分析1.了解基底的含義，理解平面向量基本定理，會用基底表示平面內任一向量．(重點)2.掌握兩個向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義．(難點)3.兩個向量的夾角與兩條直線所成的角．(易混點)教學目標通過作圖，歸納得出平面向量基本定理教學重點和難點重點：平面向量的基本定理難點：平面向量基本定理的理解與應用教學準備、教學資源和主要教學方法問題學習法、自主學習與合作探究相結合。教學過程教學環(huán)節(jié)教師為主的活動學生為主的活動設計意圖導入新課1．基底向量具有哪些特征？【提示】不共線，不唯一．2．如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？【提示】不一定，當a與e1共線時可以表示，否則不能表示．學生思考、回答。創(chuàng)設情境，激發(fā)學生的求知欲。目標引領把目標板書在黑板的右上角，并引領學生進行解讀。一起朗讀目標。以目標引領學習的全過程?；顒訉W1．定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.兩向量的夾角與垂直【問題導思】平面中的任意兩個向量都可以平移至起點，它們存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？【提示】存在夾角，不一樣．1.夾角：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角(如圖2－3－1所示)．圖2－3－1(1)范圍：向量a與b的夾角的范圍是0°≤θ≤180°.(2)當θ＝0°時，a與b同向；當θ＝180°時，a與b反向．2．垂直：如果a與b的夾角是90°，則稱a與b垂直，記作a⊥b.例1.如圖所示，已知?ABCD中，E、F分別是BC、DC邊上的中點，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，試以a、b為基底表示eq\o(DE,\s\up12(→))、eq\o(BF,\s\up12(→)).圖2－3－2【思路探究】eq\x(平面向量基本定理)→eq\x(基底不共線)→eq\x(向量共線定理)→eq\x(線性表示)【自主解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC、DC邊上的中點，∴eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＝2eq\o(BE,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))＝2eq\o(CF,\s\up12(→))，∴eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)a.∴eq\o(DE,\s\up12(→))＝eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＝－eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＝－b＋a＋eq\f(1,2)b＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝b－eq\f(1,2)a.學生閱讀課本。學生自己動手嘗試。學生自己動手嘗試。當堂評價1．下列關于基底的說法正確的是()①平面內不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．A．①B．②C．①③D．②③【解析】零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，故②錯，①③正確．【答案】C2．在等邊三角形ABC中，eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(BC,\s\up12(→))的夾角等于()A．60° B．90°C．120° D．150°【解析】由向量夾角定義知，eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(BC,\s\up12(→))的夾角為120°.【答案】C課堂小結：1.基底的含義，平面向量基本定理，會用基底表示平面內任一向量．2.掌握兩個向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義．3.兩個向量的夾角與兩條直線所成的角．學生合作交流。學生自己檢測自己的學習效果。通過練習讓學生鞏固新知，達成目標。板書設計平面向量基本定理平面向量基本定理例1兩個向量夾角的定義教學反思課題名稱：2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示及平面向量的坐標運算課程模塊及章節(jié)：第二章備課時間：2023學科：數(shù)學備課組：高一數(shù)學主備教師：張秋花備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國彪。教師二次備課教學背景分析1.掌握平面向量的坐標表示及其坐標運算．(重點)2.理解平面向量坐標的概念．(難點)3.向量的坐標與平面內點的坐標的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點)教學目標理解平面向量的正交分解方法掌握平面向量的坐標表示及其坐標運算教學重點和難點重點：平面向量的坐標運算難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性教學準備、教學資源和主要教學方法問題學習法、自主學習與合作探究相結合。教學過程教學環(huán)節(jié)教師為主的活動學生為主的活動設計意圖導入新課【問題導思】1．在平面內，一個向量的分解是唯一的嗎？【提示】不唯一．2．在平面內，規(guī)定e1，e2為基底，那么一個向量對e1，e2的分解是唯一的嗎？【提示】唯一．3．點的坐標與向量坐標有何區(qū)別？【提示】(1)向量a＝(x，y)中間用等號連接，而點的坐標A(x，y)中間沒有等號．(2)平面向量的坐標只有當起點在原點時，向量的坐標才與向量終點的坐標相同．(3)在平面直角坐標系中，符號(x，y)可表示一個點，也可表示一個向量，敘述中應指明點(x，y)或向量(x，y).學生思考、回答。創(chuàng)設情境，激發(fā)學生的求知欲。目標引領把目標板書在黑板的右上角，并引領學生進行解讀。一起朗讀目標。以目標引領學習的全過程。活動導學1.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底．對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，a＝(x，y)就叫做向量的坐標表示．顯然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).例題分析：課本例2【問題導思】一個向量平移后，始點坐標和終點坐標發(fā)生了變化，該向量的坐標變化嗎？【提示】一個向量平移后，該向量的坐標不變，因為向量坐標是終點坐標與始點坐標的差．1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即兩個向量和的坐標等于這兩個向量相應坐標的和．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即兩個向量差的坐標等于這兩個向量相應坐標的差．3．若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)，即實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘以原來向量的相應坐標．4．向量坐標的幾何意義：在平面直角坐標系中，若A(x，y)，則eq\o(OA,\s\up12(→))＝(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up12(→))＝(x2－x1，y2－y1)．如圖所示．講解課本例396頁學生閱讀課本。學生自己動手嘗試。學生自己動手嘗試。當堂評價1.已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求：(1)3a＋4b；(2)eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b.【解】(1)原式＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．(2)原式＝eq\f(1,2)(2,1)－eq\f(1,4)(－3,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，－\f(1,2)))學生合作交流。學生自己檢測自己的學習效果。通過練習讓學生鞏固新知，達成目標。板書設計平面向量的正交分解及坐標表示及平面向量的坐標運算正交分解例2例3練習坐標表示坐標運算教學反思課題名稱：2.3.4平面向量共線的坐標表示課程模塊及章節(jié)：必修4第二章備課時間：2023學科：數(shù)學備課組：高一數(shù)學主備教師：張秋花備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國彪。教師二次備課教學背景分析1.用坐標表示兩向量共線．(重點)2.根據(jù)平面向量的坐標判斷向量共線．(難點)3.兩直線平行與兩向量共線的判定．(易混點)教學目標(1)理解兩向量共線的坐標表示．(2)會用兩向量共線的坐標表示解決向量共線、點共線、直線平行等問題．教學重點和難點重點：用坐標表示兩向量共線．難點：兩向量共線坐標表示的靈活應用．教學準備、教學資源和主要教學方法問題學習法、自主學習與合作探究相結合。教學過程教學環(huán)節(jié)教師為主的活動學生為主的活動設計意圖導入新課復習平面向量的坐標運算學生思考、回答。創(chuàng)設情境，激發(fā)學生的求知欲。目標引領把目標板書在黑板的右上角，并引領學生進行解讀。一起朗讀目標。以目標引領學習的全過程?；顒訉W【問題導思】已知下列幾組向量：(1)a＝(0,2)，b＝(0,4)；(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；(3)a＝(－1,4)，b＝(2，－8)；(4)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).1．上面幾組向量中，a，b有什么關系？【提示】(1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－2a，(4)中b＝－2．以上幾組向量中a，b共線嗎？【提示】共線．3．如果兩個非零向量共線，你能通過其坐標判斷它們是同向還是反向嗎？【提示】能．將b寫λa形式，λ>0時b與a同向，λ<0時，b與a反向．1．設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a、b共線，當且僅當存在實數(shù)λ，使a＝λb.2．如果用坐標表示可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a、b(b≠0)共線．注意：對于2的形式極易寫錯，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對的，因此要理解并記熟這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減．例1.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？【思路探究】由向量a，b的坐標，求出ka＋b與a－3b的坐標，由向量共線的條件列方程(組)，求k的值．從而進一步判定向量是同向還是反向．【自主解答】法一ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)．得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq\f(1,3).當k＝－eq\f(1,3)時，ka＋b與a－3b平行，這時ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，∵λ＝－eq\f(1,3)<0，∴ka＋b與a－3b反向．法二由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b與a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3).故ka＋b與a－3b反向．學生閱讀課本。學生自己動手嘗試。學生自己動手嘗試。當堂評價1．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，則下列結論成立的是()A．a(chǎn)－c與b共線B．b＋c與a共線C．a(chǎn)與b－c共線 D．a(chǎn)＋b與c共線【解析】因為b－