高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程 全國(guó)獲獎(jiǎng)

第三課時(shí)建立實(shí)際問題的函數(shù)模型一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)（1）．能用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)解決如復(fù)利、人口增長(zhǎng)等與增長(zhǎng)率有關(guān)的問題，（2）．提高學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系的能力.2．基礎(chǔ)預(yù)探常見實(shí)際問題的函數(shù)模型（1）設(shè)原有人口人，人口的自然增長(zhǎng)率為，則經(jīng)過年后，人口數(shù)為；（2）復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，在計(jì)算下一期的利息；（3）本金為元，每期利率為，設(shè)本利和為，存期為，則本利和隨存期變化的函數(shù)式為（4）放射性元素剩流量為所需要的時(shí)間叫做半衰期。二、基本知識(shí)習(xí)題化1.復(fù)利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再計(jì)算下一期的利息．（就是人們常說的“利滾利”）．設(shè)本金為，每期利率為，存期為，則本金與利息和．2.單利在計(jì)算每一期的利息時(shí)，本金還是第一期的本金．設(shè)本金為，每期利率為，存期為，則本金與利息和．3．在實(shí)際問題中，常常遇到有關(guān)平均增長(zhǎng)率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，可以用公式表示．三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)待定系數(shù)法服務(wù)函數(shù)模型（指、對(duì)數(shù)）待定系數(shù)法服務(wù)函數(shù)模型（指、對(duì)數(shù)）實(shí)際問題（增長(zhǎng)率）函數(shù)模型的結(jié)果2、解函數(shù)應(yīng)用的基本步驟：第一步：閱讀理解，審清題意讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹觯斫鈹⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，在此基礎(chǔ)上，分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型一般設(shè)自變量，函數(shù)，必要時(shí)可引入其他相關(guān)輔助變量，并用和輔助變量表示各相關(guān)量，然后根據(jù)已知條件運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型。第三步：利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，得到結(jié)果；第四步：將所得的結(jié)論轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答。四、典例導(dǎo)析1、指、對(duì)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：例1：物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述:設(shè)物體的初始溫度是,經(jīng)過一定時(shí)間后的溫度是,則,其中表示環(huán)境溫度,稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用熱水沖的速容咖啡,放在的房間中,如果咖啡降到需要,那么降溫到時(shí),需要多長(zhǎng)時(shí)間?思路導(dǎo)析：根據(jù)題設(shè)條件，常設(shè)變量，用變量表達(dá)函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)知識(shí)求解。解析：由題意知,即,解之,得,故,當(dāng)時(shí),代入上式,得,即，兩邊取對(duì)數(shù),用計(jì)算器求得因此,約需要,可降溫到規(guī)律總結(jié):本題是利用已知的函數(shù)模型來解決物理問題，需由已知條件先確定函數(shù)式，然后再求解.本題的實(shí)質(zhì)為已知自變量的值，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的數(shù)學(xué)問題，由于運(yùn)算比較復(fù)雜，要求學(xué)生借助計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算.變式練習(xí)1、現(xiàn)有某種細(xì)胞個(gè)，其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由個(gè)細(xì)胞分裂成個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：）.2、有關(guān)復(fù)利計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用：例2、某公司擬投資萬元，有兩種獲利的可能可供選擇：一種是年利率，按單利計(jì)算，年后收回本金和利息；另一種是年利率，按每年復(fù)利一次計(jì)算，年后收回本金和利息．哪一種投資更有利？這種投資比另一種投資年可多得利息多少元？參考數(shù)據(jù)：，思路導(dǎo)析：可分別根據(jù)復(fù)利與單利的計(jì)算方法，分別計(jì)算出本息和，再進(jìn)行比較，判斷優(yōu)劣．解析：本金萬元，年利率，按單利計(jì)算，年后收回的本息和是萬元，本金萬元，年利率，按每年復(fù)利一次計(jì)算，年后收回的本息和是萬元，因此，按年利率的復(fù)利一次計(jì)算要比按年利率的單利計(jì)算更有利，年后多得利息萬元．規(guī)律總結(jié)：我國(guó)現(xiàn)行的定期儲(chǔ)蓄中的自動(dòng)轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)是一種類似復(fù)利計(jì)息的儲(chǔ)蓄．變式練習(xí)2、銀行進(jìn)行整存整取的定期儲(chǔ)蓄，當(dāng)?shù)狡跁r(shí)，銀行會(huì)將本息和進(jìn)行自動(dòng)轉(zhuǎn)存，某人年月日在銀行存入元的一年定期，年利為，若他暫時(shí)不取這筆錢，當(dāng)?shù)侥暝氯諘r(shí)，該筆存款的本息和為多少元？（精確到元）3、已知鐳經(jīng)過年剩留原來質(zhì)量的，計(jì)算經(jīng)過多少年剩留原來質(zhì)量的一半？五、隨堂練習(xí)1、某廠年的產(chǎn)值為萬元，預(yù)計(jì)產(chǎn)值每年以遞增，則該廠到年的產(chǎn)值（萬元）為（）2、某新型電子產(chǎn)品年初投產(chǎn)，計(jì)劃到年初使其成本降低，那么平均每年應(yīng)降低成本().4、有元存款，儲(chǔ)蓄一年后從利息中取出元，其余的錢加到本金里再儲(chǔ)蓄一年，第二年的年利率比第一年高，利息比第一年多元，則第一年的年利率為．5、某城市現(xiàn)在人口總數(shù)為萬人，如果每年自然增長(zhǎng)率為，試解答下列問題：（1）寫出該城市人口總數(shù)（萬人）與年份（年）的函數(shù)關(guān)系式；（2）計(jì)算年以后該城市人口總數(shù)（精確到萬人）；（3）計(jì)算大約多少年以后該城市人口將達(dá)到萬人（精確到年）.六、課后作業(yè)1、某債券市場(chǎng)發(fā)行的三種債券：種面值元，一年到期本利共獲元；種面值元，半年到期，本利共獲元；種面值為元，但買入時(shí)只需付元，一年到期拿回元．則三種投資收益比例從小到大排列為（）2、已知鐳經(jīng)過年，剩留原來質(zhì)量的，設(shè)質(zhì)量為的鐳經(jīng)過年后的剩留量為，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是．3、已知年底世界人口達(dá)到億，若世界人口的年平均增長(zhǎng)率為，到年底全世界人口為億，則與的函數(shù)關(guān)系是.4、通過電子郵件傳播的計(jì)算機(jī)病毒，在開始爆發(fā)后的個(gè)小時(shí)內(nèi)，每小時(shí)有臺(tái)計(jì)算機(jī)被感染，從第小時(shí)起，每小時(shí)被感染的計(jì)算機(jī)以增長(zhǎng)率為的速度增長(zhǎng)，則每小時(shí)被感染的計(jì)算機(jī)數(shù)與開始爆發(fā)后（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為.5、甲、乙兩人于同一天分別攜款萬元到銀行儲(chǔ)蓄.甲存五年期定期儲(chǔ)蓄，年利率為（不記復(fù)利）；乙存一年期定期儲(chǔ)蓄，年利率為，并在每年到期時(shí)將本息續(xù)存一年期定期儲(chǔ)蓄.按規(guī)定每次記息時(shí)，儲(chǔ)戶須交納利息的作為利息稅.若存滿五年后兩人同時(shí)從銀行________7、公司為了實(shí)現(xiàn)萬元的利潤(rùn)的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在銷售利潤(rùn)達(dá)到萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金（單位：萬元）隨銷售利潤(rùn)（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求.第三課時(shí),建立實(shí)際問題的函數(shù)模型答案解析一、課前準(zhǔn)備2．基礎(chǔ)預(yù)探常見實(shí)際問題的函數(shù)模型（1）（3）（4）一半二、基本知識(shí)習(xí)題化1.解析：由題意得，2.解析：由題意得3．解析：由題意得四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)1、解析：小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為;可見，細(xì)胞總數(shù)與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：，由，得，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得，∴，∵，∴.答：經(jīng)過小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)超過個(gè).2、（1：元.（2）解析：設(shè)經(jīng)過乘年后剩留原來質(zhì)量的一半，依題意，有，兩邊取對(duì)數(shù)，得，解得.（年）.答：約經(jīng)過年剩留原來質(zhì)量的一半.五、隨堂練習(xí)1、解析：由題意得。2、解析：設(shè)平均每年應(yīng)降低，則，故選B。答案：，；4、答案：5、解析：（1）年后該城市人口總數(shù)為；（2）年以后該城市人口總數(shù)為（3）設(shè)年后該城市人口將達(dá)到萬人，即（年）所以，年后該城市人口將達(dá)到萬人.六、課后作業(yè)1、B2、答案：3、答案：4、答案：5、解析：6、解析：作出函數(shù)，的圖象，觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間上，模型的圖象都有一部分在直線的上方，只有模型的圖象始終在直線的下方，這說明只有按照模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合公司