高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)模型及其應(yīng)用

第三章3.A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列函數(shù)中，增長速度最慢的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175026)(B)A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x[解析]由函數(shù)的特征可知，對數(shù)函數(shù)y＝log6x增長速度最慢．2．以下四種說法中，正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175027)(D)A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對任意的x＞0，xn＞logaxC．對任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，當(dāng)x＞x0時，總有ax＞xn＞logax[解析]對于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度受冪指數(shù)及一次項系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項系數(shù)不確定，增長幅度不能比較；對于B，C，當(dāng)0＜a＜1時，顯然不成立．當(dāng)a＞1，n＞0時，一定存在x0，使得當(dāng)x＞x0時，總有ax＞xn＞logax，但若去掉限制條件“a＞1，n＞0”，則結(jié)論不成立3．如圖，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自變量x的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175028)(D)A．x＞0 B．x＞2 C．x＜2 D．0＜x＜[解析]由函數(shù)圖象可知，當(dāng)0<x<2時圖象由上到下依次為指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，故選D．4．有一組數(shù)據(jù)如下表：tV12現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175029)(C)A．v＝log2t B．v＝eqlog\s\do8(\f(1,2))t C．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2[解析]A中，當(dāng)t＝時，v＝＜1，當(dāng)t＝4時，v＝log24，顯然A不滿足；B中v＝eqlog\s\do8(\f(1,2))t，當(dāng)t＝，,,,時v＜0，故B不滿足；D顯然也不滿足，故選C．5．(2023～2023·大同高一檢測)某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴(yán)重，最近三年測得沙漠增加值分別為萬公頃、萬公頃和萬公頃，則沙漠增加數(shù)y(萬公頃)關(guān)于年數(shù)x(年)的函數(shù)關(guān)系較為近似的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175030)(B)A．y＝ B．y＝eq\f(1,10)x2＋2xC．y＝eq\f(2x,10) D．y＝＋log16x[解析]將x＝1,2,3依次代入各函數(shù)表達(dá)式中得x123y＝y(tǒng)＝eq\f(2x,10)y＝eq\f(1,10)x2＋2xy＝＋log16x＋log163與已知值,,相比較可知選B．6.在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度y(℃)隨著時間t(min)變化的情況由計算機(jī)記錄后顯示的圖象如圖所示，現(xiàn)給出下列說法：①前5min溫度增加越來越快；②前5min溫度增加越來越慢；③5min后溫度保持勻速增加；④5min后溫度保持不變．其中說法正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175031)(C)A．①④ B．②④ C．②③ D．①③[解析]前5min，溫度y隨x增加而增加，增長速度越來越慢；5min后，溫度y隨x的變化曲線是直線，即溫度勻速增加，所以②③正確，故選C．二、填空題7．現(xiàn)測得(x，y)的兩組對應(yīng)值分別為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應(yīng)值為(3,，則應(yīng)選用__甲__作為函數(shù)模型.eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175032)8．如圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系，有人根據(jù)函數(shù)圖象，提出了關(guān)于這兩個旅行者的如下信息：eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175033)①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h，晚到1h；②騎自行車者是變速運(yùn)動，騎摩托車者是勻速運(yùn)動；③騎摩托車者在出發(fā)h后追上了騎自行車者；④騎摩托車者在出發(fā)h后與騎自行車者速度一樣．其中正確信息的序號是__①②③__.[解析]看時間軸易知①正確；騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是直線，所以是勻速運(yùn)動，而騎自行車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是折線，所以是變速運(yùn)動，因此②正確；兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對應(yīng)著，故③正確，④錯誤．三、解答題9．對于5年可成材的樹木，在此期間的年生長率為18%，以后的年生長率為10%.樹木成材后，即可出售，然后重新栽樹木；也可以讓其繼續(xù)生長．問：哪一種方案可獲得較大的木材量(注：只需考慮10年的情形)？eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175034)[解析]設(shè)新樹苗的木材量為Q，則10年后有兩種結(jié)果：連續(xù)生長10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；生長5年后重新栽樹木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.則eq\f(M,N)＝eq\f(2,1＋10%5).∵(1＋10%)5≈<2，∴eq\f(M,N)>1，即M>N.因此，生長5年后重新栽樹木可獲得較大的木材量．10．有甲、乙兩個水桶，開始時水桶甲中有a升水，水桶乙中無水，水通過水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y＝ae－nt，假設(shè)過5分鐘時水桶甲和水桶乙的水相等，求再過多長時間水桶甲中的水只有eq\f(a,8).eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175035)[解析]由題意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝eq\f(1,2)，設(shè)再過t分鐘水桶甲中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n(t＋5)＝eq\f(a,8)，所以(eq\f(1,2))eq\s\up7(\f(t+5,5))＝(e－5n)eq\s\up7(\f(t+5,5))＝e－n(t＋5)＝eq\f(1,8)＝(eq\f(1,2))3，∴eq\f(t＋5,5)＝3，∴t＝10.∴再過10分鐘水桶甲中的水只有eq\f(a,8).B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．如圖所示給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么最能擬合詩句“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175036)(A)A．指數(shù)函數(shù)：y＝2t B．對數(shù)函數(shù)：y＝log2tC．冪函數(shù)：y＝t3 D．二次函數(shù)：y＝2t2[解析]由散點(diǎn)圖可知，與指數(shù)函數(shù)似合的最貼切，故選A．2．下列函數(shù)中在某個區(qū)間(x0，＋∞)內(nèi)隨x增大而增大速度最快的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175037)(C)A．y＝2007lnx B．y＝x2007 C．y＝eq\f(ex,2007) D．y＝2007·2x[解析]由于當(dāng)自變量x大于某個數(shù)x0時，指數(shù)的增長是“爆炸式”的，且底數(shù)越大，增長越快，又e>2，故函數(shù)y＝eq\f(ex,2007)隨x增大而增大的速度最快．3．據(jù)報道，某淡水湖的湖水在50年內(nèi)減少了10%，若按此規(guī)律，設(shè)2023年的湖水量為m，從2023年起，經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175038)(C)A．y＝eq\s\up7(\f(x,50)) B．y＝(1－eq\s\up7(\f(x,50)))mC．y＝0.9eq\s\up7(\f(x,50))m D．y＝(1－m[解析]設(shè)每年湖水量為上一年的q%，則(q%)50＝，∴q%＝eq\s\up7(\f(1,50))，x年后的湖水量為y＝0.9eq\s\up7(\f(x,50))m，故選C．4．如圖，點(diǎn)P在邊長為1的正方形邊上運(yùn)動，設(shè)M是CD的中點(diǎn)，則當(dāng)P沿ABCM運(yùn)動時，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y之間的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175039)(A)[解析]依題意，當(dāng)0＜x≤1時，S△APM＝eq\f(1,2)×1×x＝eq\f(1,2)x；當(dāng)1＜x≤2時，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝eq\f(1,2)×(1＋eq\f(1,2))×1－eq\f(1,2)×1×(x－1)－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(2－x)＝－eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4).二、填空題5．某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為y＝ekt(其中k為常數(shù)，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數(shù))，則k＝__2ln2__，經(jīng)過5小時，1個病毒能繁殖為__1024__個.eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175040)[解析]∵當(dāng)t＝時，y＝2，∴2＝eeq\s\up7(\f(k,2))，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.當(dāng)t＝5時，y＝e10ln2＝210＝1024.6．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭(除燃料外)的質(zhì)量mkg、火箭的最大速度vm/s和燃料的質(zhì)量Mkg的函數(shù)關(guān)系是v＝2000ln(1＋eq\f(M,m))．當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的__e6－1__倍時，火箭的最大速度可達(dá)12km/\x(導(dǎo)學(xué)號69175041)[解析]設(shè)M＝tm，則有2000ln(1＋t)＝12000，即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1.C級能力拔高1．某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，54,58.為了預(yù)測以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙選擇了模型y＝p·qx＋r，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為66,82,115，你認(rèn)為誰選擇的模型較好？eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175042)[解析]依題意：得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·12＋b·1＋c＝52，,a·22＋b·2＋c＝54，,a·32＋b·3＋c＝58，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝52，,4a＋2b＋c＝54，,9a＋3b＋c＝58，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝52.))∴甲：y1＝x2－x＋52，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p·q1＋r＝52①,p·q2＋r＝54②,p·q3＋r＝58③))①－②，得p·q2－p·q1＝2④②－③，得p·q3－p·q2＝4⑤⑤÷④，得q＝2，將q＝2代入④式，得p＝1，將q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，∴乙：y2＝2x＋50，計算當(dāng)x＝4時，y1＝64，y2＝66；當(dāng)x＝5時，y1＝72，y2＝82；當(dāng)x＝6時，y1＝82，y2＝114.可見，乙選擇的模型較好．2．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝(eq\f(1,16))t－a(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：eq\x(導(dǎo)學(xué)號69175043)(1)從藥物釋放開始，求每立方米空氣中的含藥量(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放