2023年廣州市調(diào)研模擬數(shù)學(xué)試題及答案理科數(shù)學(xué)

2023年廣州市普通高中畢業(yè)班模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上相應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無(wú)效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目規(guī)定的．（1）若全集U=R，集合，，則＝（A）（B）（C）（D）（2）已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（A）（B）（C）（D）（3）下列說(shuō)法中對(duì)的的是（A）“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的充要條件（B）若，則（C）若為假命題，則，均為假命題（D）命題“若，則”的否命題是“若，則”（4）已知在上是奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí),，則（A）（B）（C）（D）（5）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（A）（B）（C）（D）（6）各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，則前12項(xiàng)和的最小值為（A） （B）（C） （D）俯視圖（7）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是斜邊長(zhǎng)為2俯視圖的直角三角形，俯視圖是半徑為1的四分之一圓周和兩條半徑，則這個(gè)幾何體的體積為（A）（B）（C）（D）（8）已知，且，函數(shù)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，則的值為（A）（B）（C）（D）（9）若實(shí)數(shù)滿足約束條件則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（10）過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則此雙曲線的離心率為（A）（B）（C）2（D）（11）將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，上海交通大學(xué)，中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀，每所大學(xué)至少保送1人，則不同的保送方法共有（A）150種 （B）180種（C）240種（D）540種（12）已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷涉及必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)規(guī)定做答．二．填空題：本大題共4小題，每小題5分．（13）已知向量，滿足，在方向上的投影是，則．（14）已知，則．（15）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則．（16）已知為R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且，則函數(shù)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________．三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算環(huán)節(jié)．（17）（本小題滿分12分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，對(duì)任意，都有．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ）若數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證：.（18）(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，ABCDPMNA1B1C1D1分別是線段的中點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)作的平行線ABCDPMNA1B1C1D1（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（19）（本小題滿分12分）計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上.其中，局限性80的年份有2023，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量互相獨(dú)立．（Ⅰ）求在未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率；（Ⅱ）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡也許運(yùn)營(yíng)，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)營(yíng)臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系；年入流量發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)營(yíng)臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)營(yíng)，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)營(yíng)，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)成最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？（20）（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率，（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）在點(diǎn)處的切線斜率為.（Ⅰ）求的值及函數(shù)的極值；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，；（=3\*ROMANIII）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)，恒有.請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)．（22）（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，于點(diǎn)，認(rèn)為直徑的圓與交于點(diǎn)．FCDABEFCDABEON（Ⅱ）若，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，,與相交于點(diǎn)，求的最大值．（23）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線：（為參數(shù)）與曲線：(為參數(shù)，)．（Ⅰ）若曲線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，求，兩點(diǎn)的距離．（24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講已知定義在R上的函數(shù)，，存在實(shí)數(shù)使成立．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，，求證：．2023年廣州市普通高中畢業(yè)班模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)答案及評(píng)分參考評(píng)分說(shuō)明:1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，假如考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的重要考察內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．2．對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，假如后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的限度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分對(duì)的解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；假如后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表達(dá)考生對(duì)的做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題不給中間分．一．選擇題（1）C （2）A （3）D （4）B （5）B （6）D（7）A （8）B （9）B （10）C （11）A （12）A二．填空題（13）2 （14） （15）或 （16）0（其中第15題中，答對(duì)2個(gè)給5分，答對(duì)1個(gè)給3分）三．解答題（17）證明：（Ⅰ）由于，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，所以當(dāng)時(shí)，.所以.由于，所以.（Ⅱ）由于，，，所以．所以．由于，所以．由于在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，取最小值．所以.廣東數(shù)學(xué)教師QQ群：。里面數(shù)學(xué)資源豐富，研討數(shù)學(xué)問題熱烈。（18）（Ⅰ）證明：由于,是的中點(diǎn),所以,.由于，分別為，的中點(diǎn)，所以．所以.由于平面,平面，所以.又由于在平面內(nèi),且與相交,所以平面.ABCDPMNA1B1C1DABCDPMNA1B1C1D1FE過(guò)作于,連接.由（Ⅰ）知,平面,所以平面平面.所以平面,則.所以平面,則.故為二面角的平面角(設(shè)為)．設(shè),則由,,有,.又為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以.在，，在中，.從而,．所以.由于為銳角，所以．故二面角的余弦值為.ABCDPMNA1B1C1D1xyz解法二:設(shè).如圖,過(guò)作平行于,認(rèn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)檩S,軸,ABCDPMNA1B1C1D1xyz則,.由于為的中點(diǎn),所以分別為的中點(diǎn),故,所以,,．設(shè)平面的法向量為，則即故有從而取,則,所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為,則即故有從而取,則,所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)二面角的平面角為,又為銳角，則.故二面角的余弦值為.廣東數(shù)學(xué)教師QQ群：。里面數(shù)學(xué)資源豐富，研討數(shù)學(xué)問題熱烈。（19）解：（I）依題意，，．由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中至多有1年入流量超過(guò)120的概率為：．（Ⅱ）記水電站年總利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），由于水庫(kù)年入流量總大于40,所以至少安裝1臺(tái)．①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：由于水庫(kù)年入流量總大于40，所以一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)營(yíng)的概率為1，相應(yīng)的年利潤(rùn)，．②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)營(yíng)，此時(shí)，因此．當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)營(yíng)，此時(shí)，因此.所以的分布列如下：4200100000.20.8所以．③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)營(yíng)，此時(shí)，因此．當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)營(yíng)，此時(shí)，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)營(yíng)，此時(shí)，因此．所以的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以．綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)成最大，應(yīng)安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)．（20）解：（Ⅰ）由于，所以．則橢圓方程為即．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，有最大值為．解得，則．所以橢圓的方程是．（Ⅱ）設(shè)曲線：上的點(diǎn)，由于，所以直線的方程為：．①將①代入橢圓方程中整理，得．則有．且．所以．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則．所以的面積．．當(dāng)時(shí)取到“=”，經(jīng)檢查此時(shí)，滿足題意．綜上，面積的最大值為．（21）（=1\*ROMANI）解：由，得.由于,所以．所以，.令,得．當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),取得極小值,且極小值為無(wú)極大值．（Ⅱ）證明：令,則.由（=1\*ROMANI）得,故在R上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，，即．（Ⅲ）證明一：①若,則.由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí),.取,當(dāng)時(shí)，恒有．②若,令,要使不等式成立，只要成立．而要使成立，則只要,只要成立．令,則.所以當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增.取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.又，易知．所以.即存在,當(dāng)時(shí)，恒有．綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在,當(dāng)時(shí),恒有．證明二：對(duì)任意給定的正數(shù)，取，由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，．因此，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在,當(dāng)時(shí),恒有．證明三：一方面證明當(dāng)時(shí)，恒有．令，則．由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，從而，在上單調(diào)遞減。所以，即．取，當(dāng)時(shí)，有．因此，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在,當(dāng)時(shí),恒有．（22）解：（Ⅰ）在中，，于點(diǎn)，所以，由于是圓的切線，由切割線定理得．