初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)第2章一元二次方程2．4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(j)

2·4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(選學(xué))[學(xué)生用書(shū)A20]__1．[2023·煙臺(tái)]下列一元二次方程兩實(shí)數(shù)根的和為－4的是 (D)A．x2＋2x－4＝0B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0D．x2＋4x－5＝02．[2023·雅安]已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的兩根，則x1＋x2的值是(B)A．0B．2C．－2 D．43．已知方程3x2－5x－7＝0的兩根為x1，x2則下列各式中正確的是 (C)A．x1＋x2＝5，x1·x2＝7B．x1＋x2＝－5，x1·x2＝－7C．x1＋x2＝eq\f(5,3)，x1·x2＝－eq\f(7,3)D．x1＋x2＝－eq\f(5,3)，x1·x2＝－eq\f(7,3)4．[2023·瀘州]設(shè)x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)的值為(B)A．5 B．－5C．1 D．－15．[2023·攀枝花]已知一元二次方程x2－3x－1＝0的兩個(gè)根分別是x1，x2，則x12x2＋x1x22的值為 (A)A．－3 B．3C．－6 D．6【解析】∵一元二次方程x2－3x－1＝0的兩個(gè)根分別是x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1·x2＝－1，∴x12x2＋x1x22＝x1x2·(x1＋x2)＝－1×3＝－3.6．[2023·張家界]已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的兩根，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝__－eq\f(5,3)__．【解析】∵m和n是方程2x2－5x－3＝0的兩根，∴m＋n＝－eq\f(－5,2)＝eq\f(5,2)，m·n＝－eq\f(3,2)，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(m＋n,mn)＝eq\f(\f(5,2),－\f(3,2))＝－eq\f(5,3).7．[2023·棗莊]已知關(guān)于x的方程x2＋mx－6＝0的一個(gè)根為2，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是__－3__．【解析】方法一：(根與系數(shù)的關(guān)系法)∵方程x2＋mx－6＝0的一個(gè)根為2，設(shè)另一個(gè)根為x1，則2x1＝－6，解得x1＝－3，則方程的另一個(gè)根是－3.方法二：(根代入法)把x＝2代入原方程，得22＋2m－6＝0，解得m＝1，把m＝1代入原方程，得x2＋x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3.8．已知2－eq\r(5)是關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根．解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，由x1＋2－eq\r(5)＝4，得x1＝2＋eq\r(5).9．已知關(guān)于x的方程x2－mx－3＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．解：解法一：已知關(guān)于x的方程x2－mx－3＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1·x2＝－3，又∵x1＋x2＝2，∴x1(2－x1)＝－3，解得x1＝3，x2＝－1或x1＝－1，x2＝3.解法二：∵x1＋x2＝2，∴m＝2.∴原方程為x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1或x1＝－1，x2＝3.10．[2023·萊蕪]已知m，n是方程x2＋2eq\r(2)x＋1＝0的兩根，則代數(shù)式eq\r(m2＋n2＋3mn)的值為 (C)A．9 B．±3C．3 D．5【解析】∵m，n是方程x2＋2eq\r(2)x＋1＝0的兩根，∴m＋n＝－2eq\r(2)，mn＝1，∴eq\r(m2＋n2＋3mn)＝eq\r(（m＋n）2＋mn)＝eq\r(（－2\r(2)）2＋1)＝eq\r(9)＝3.故選C.11．[2023·南通]設(shè)α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的兩個(gè)根，則α2＋4α＋β＝__4__．【解析】因?yàn)棣粒率且辉畏匠蘹2＋3x－7＝0的兩個(gè)根，則α2＋3α－7＝0，α＋β＝－3，∴α2＋4α＋β＝4.12．[2023·呼和浩特]已知α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝－1，求m的值．解：根據(jù)條件知：α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2，∴eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝eq\f(β＋α,αβ)＝eq\f(－（2m＋3）,m2)＝－1，即m2－2m－3＝0，所以，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3＝0，,（2m＋3）2－4m2>0.))解得m＝3.13．[2023·南充]關(guān)于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2.(1)求m的取值范圍；(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．解：(1)∵原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得m≤eq\f(13,4).(2)由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝－3，x1·x2＝m－1，∴2×(－3)＋(m－1)＋10＝0，解得m＝－3.14．[2023·荊門(mén)改編]設(shè)x1，x2是方程x2－x－2013＝0的兩實(shí)數(shù)根，求x13＋2014x2－2013.解：∵x2－x－2013＝0，∴x2＝x＋2013，x＝x2－2013，又∵x1，x2是方程x2－x－2013＝0的兩實(shí)數(shù)根，∴x1＋x2＝1，∴x13＋2014x2－2013＝x1·x12＋2013x2＋x2－2013＝x1·(x1＋2013)＋2013x2＋x2－2013＝(x1＋2013)＋2013x1＋2013x2＋x2－2013＝x1＋x2＋2013(x1＋x2)＋2013－2013＝1＋2013＝2014.15．[2023·南充]關(guān)于x的一元二次方程為(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)？解：(1)根據(jù)題意得m≠1，Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，∴x1＝eq\f(2m＋2,2（m－1）)＝e