初中數(shù)學(xué)湘教版八年級下冊第2章四邊形2．4三角形的中位線“江南聯(lián)賽”一等獎

湖南省澧縣張公廟中學(xué)2023—2023學(xué)年湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊第2章《四邊形》—同步檢測與解析一．選擇題（共10小題）1．下列四張撲克牌圖案，屬于中心對稱的是（）A． B． C． D．2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．如圖，DE是△ABC的中位線，過點C作CF∥BD交DE的延長線于點F，則下列結(jié)論正確的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE第5題圖第3題圖第5題圖第3題圖第4題圖第4題圖4．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點F，則線段DF的長為（）A．7 B．8 C．9 D．105．小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號應(yīng)該是（）A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③6．下列說法錯誤的是（）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形7．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F是對角線AC上的兩點，給出下列四個條件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個第8題圖第8題圖第7題圖第7題圖8．在?ABCD中，E、F分別在BC、AD上，若想要使四邊形AFCE為平行四邊形，需添加一個條件，這個條件不可以是（）A．AF=CE B．AE=CF C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE9．能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值為（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：210．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點P從點A出發(fā)以3個單位/s的速度沿AD→DC向終點C運動，同時點Q從點B出發(fā)，以1個單位/s的速度沿BA向終點A運動．當(dāng)四邊形PQBC為平行四邊形時，運動時間為（）第11題圖第10題圖第11題圖第10題圖A．4s B．3s C．2s D．1s二．填空題（共8小題）11．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的中點，且AB=6cm，AC=8cm，則四邊形ADEF的周長等于cm．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點．若EF=8，則CD的長為．第15題圖第13題圖第15題圖第13題圖第12題圖第12題圖13．如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=2，求BB′的長為．14．下列圖形中：①圓；②等腰三角形；③正方形；④正五邊形，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有個．15．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，點D在BC上，以AC為對角線的平行四邊形ADCE中，DE的最小值是．16．如圖，點D是直線l外一點，在l上取兩點A，B，連接AD，分別以點B，D為圓心，AD，AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接CD，BC，則四邊形ABCD是平行四邊形，理由是．第18題圖第17題圖第16題圖第18題圖第17題圖第16題圖17．如圖，?ABCD中，∠ABC=60°，E、F分別在CD和BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，則AB的長是．18．如圖，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是．三．解答題（共5小題）19．如圖，已知BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求證：BE=CF．20．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長．21．如圖，△ABC和△BEF都是等邊三角形，點D在BC邊上，點F在AB邊上，且∠EAD=60°，連接ED、CF．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）求證：四邊形EFCD是平行四邊形．22．如圖，點O是△ABC內(nèi)一點，連結(jié)OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結(jié)，得到四邊形DEFG．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；（2）若M為EF的中點，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的長度．23．如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC邊上一點，以AD為邊作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．（1）直接寫出∠ADE的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）以AB，AE為邊作平行四邊形ABFE，①如圖2，若點F恰好落在DE上，求證：BD=CD；②如圖3，若點F恰好落在BC上，求證：BD=CF．

湖南省澧縣張公廟中學(xué)2023—2023學(xué)年湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊第2章《四邊形》—同步檢測解析一．選擇題（共10小題）1．下列四張撲克牌圖案，屬于中心對稱的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念和各撲克牌的花色排列特點的求解．【解答】解：A、是中心對稱圖形，符合題意；B、不是中心對稱圖形，不符合題意；C、不是中心對稱圖形，不符合題意；D、不是中心對稱圖形，不符合題意．故答案為：A．【點評】本題考查中心對稱的知識，掌握好中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．2．（2023?哈爾濱）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)軸對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義回答即可．【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故A錯誤；B、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故B錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C錯誤；D、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查的是軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的特點是解題的關(guān)鍵．3．（2023?廈門）如圖，DE是△ABC的中位線，過點C作CF∥BD交DE的延長線于點F，則下列結(jié)論正確的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE【分析】首先根據(jù)三角形的中位線定理得出AE=EC，然后根據(jù)CF∥BD得出∠ADE=∠F，繼而根據(jù)AAS證得△ADE≌△CFE，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推出EF=DE．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，∴E為AC中點，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故選B．【點評】本題考查了三角形中位線定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線定理和平行線的性質(zhì)得出AE=EC、∠ADE=∠F，判定三角形的全等．4．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點F，則線段DF的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，得到DF∥BM，再證明EC=EF=AC，由此即可解決問題．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位線，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故選B．【點評】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．5．（2023?紹興）小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號應(yīng)該是（）A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③【分析】確定有關(guān)平行四邊形，關(guān)鍵是確定平行四邊形的四個頂點，由此即可解決問題．【解答】解：∵只有②③兩塊角的兩邊互相平行，且中間部分相聯(lián)，角的兩邊的延長線的交點就是平行四邊形的頂點，∴帶②③兩塊碎玻璃，就可以確定平行四邊形的大小．故選D．【點評】本題考查平行四邊形的定義以及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解如何確定平行四邊形的四個頂點，四個頂點的位置確定了，平行四邊形的大小就確定了，屬于中考?？碱}型．6．（2023?湘西州）下列說法錯誤的是（）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理進行分析即可．【解答】解：A、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項說法正確；B、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項說法正確；C、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故本選項說法正確；D、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，例如：等腰梯形，故本選項說法錯誤；故選：D．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F是對角線AC上的兩點，給出下列四個條件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個四邊形是平行四邊形，②不能證明對角線互相平分，只有①③④可以．【解答】解：由平行四邊形的判定方法可知：若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個四邊形是平行四邊形，②不能證明對角線互相平分，只有①③④可以，故選B．【點評】本題考查了平行四邊形的判定定理，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．在?ABCD中，E、F分別在BC、AD上，若想要使四邊形AFCE為平行四邊形，需添加一個條件，這個條件不可以是（）A．AF=CE B．AE=CF C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定即可解決問題．【解答】解：A、錯誤．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AF∥EC，∵AF=EC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∴選項A錯誤．B、正確．根據(jù)AE=CF，所以四邊形AECF可能是平行四邊形，有可能是等腰梯形，故選項B正確．C、錯誤．由∠BAE=∠FCD，∠B=∠D，AB=CD可以推出△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∵AD=BC，∴AF=EC，∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形．故選項C錯誤．D、錯誤．∵∠BEA=∠FCE，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形．故選項D錯誤．故選B．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定．解題的關(guān)鍵是選擇適宜的證明方法，需要熟練掌握平行四邊形的判定方法，屬于中考?？碱}型．9．能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值為（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2【分析】兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以∠A和∠C是對角，∠B和∠D是對角，對角的份數(shù)應(yīng)相等．只有選項D符合．【解答】解：根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以只有D符合條件．故選D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時，應(yīng)仔細觀察題目所給的條件，仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法．10．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點P從點A出發(fā)以3個單位/s的速度沿AD→DC向終點C運動，同時點Q從點B出發(fā)，以1個單位/s的速度沿BA向終點A運動．當(dāng)四邊形PQBC為平行四邊形時，運動時間為（）A．4s B．3s C．2s D．1s【分析】首先利用t表示出CP和CQ的長，根據(jù)四邊形PQBC是平行四邊形時CP=BQ，據(jù)此列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)運動時間為t秒，則CP=12﹣3t，BQ=t，根據(jù)題意得到12﹣3t=t，解得：t=3，故選B．【點評】本題考查了平行四邊形的判定及動點問題，解題的關(guān)鍵是化動為靜，分別表示出CP和BQ的長，難度不大．二．填空題（共8小題）11．（2023?張家界）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的中點，且AB=6cm，AC=8cm，則四邊形ADEF的周長等于14cm．【分析】首先證明四邊形ADEF是平行四邊形，根據(jù)三角形中位線定理求出DE、EF即可解決問題．【解答】解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴四邊形ADEF的周長=2（DE+EF）=14cm．故答案為14．【點評】本題考查三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是出現(xiàn)中點想到三角形中位線定理，記住三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，屬于中考?？碱}型．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點．若EF=8，則CD的長為8．【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得AB=2EF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴AB=2EF=2×8=16，∵∠ACB=90°，點D是AB的中點，∴CD=AB=×16=8．故答案為：8．【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=2，求BB′的長為8．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義可得△ABC≌△AB′C′，進而可得AB=AB′，然后利用特殊角的三角函數(shù)值可得AB的長，進而可得答案．【解答】解：∵是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，∴△ABC≌△AB′C′，∴AB=AB′，∵∠C=90°，∠B=30°，BC=2，∴AB=4，∴AB′=4，∴BB′=8，故答案為：8．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是掌握把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．14．（2023?營口）下列圖形中：①圓；②等腰三角形；③正方形；④正五邊形，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有2個．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：①既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；②是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；③既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；④是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；故既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是①③共2個．故答案為：2．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．這個旋轉(zhuǎn)點，就叫做中心對稱點．15．（2023?東營）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，點D在BC上，以AC為對角線的平行四邊形ADCE中，DE的最小值是4．【分析】首先證明BC∥AE，當(dāng)DE⊥BC時，DE最短，只要證明四邊形ABDE是矩形即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴BC∥AE，∴當(dāng)DE⊥BC時，DE最短，此時∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠B=90°，∴四邊形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值為4．故答案為4．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是找到DE的位置，學(xué)會利用垂線段最短解決問題，屬于中考?？碱}型．16．如圖，點D是直線l外一點，在l上取兩點A，B，連接AD，分別以點B，D為圓心，AD，AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接CD，BC，則四邊形ABCD是平行四邊形，理由是兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．【分析】先根據(jù)分別以點B，D為圓心，AD，AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接CD，BC，得出AB=DC，AD=BC，再判斷四邊形ABCD是平行四邊形的依據(jù)．【解答】解：根據(jù)尺規(guī)作圖的畫法可得，AB=DC，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定，解題時注意：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言為：∵AB=DC，AD=BC，∴四邊行ABCD是平行四邊形．17．如圖，?ABCD中，∠ABC=60°，E、F分別在CD和BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，則AB的長是．【分析】根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出CE長，利用勾股定理即可求出AB的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB=DE=CD，即D為CE中點，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案為：．【點評】本題考查了平行線性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，此題綜合性比較強．18．（2023?常州）如圖，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是1．【分析】先延長EP交BC于點F，得出PF⊥BC，再判定四邊形CDEP為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，最后根據(jù)a2+b2=4，判斷ab的最大值即可．【解答】解：延長EP交BC于點F，∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，設(shè)Rt△ABP中，AP=a，BP=b，則CF=CP=b，a2+b2=22=4，∵△APE和△ABD都是等邊三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CD，∴四邊形CDEP是平行四邊形，∴四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2=4，∴ab≤1，即四邊形PCDE面積的最大值為1．故答案為：1【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造平行四邊形的高線．三．解答題（共5小題）19．（2023?宿遷）如圖，已知BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求證：BE=CF．【分析】先利用平行四邊形性質(zhì)證明DE=CF，再證明EB=ED，即可解決問題．【解答】證明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用直線知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．20．（2023?北京）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得MN=AD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得BM=AC，由此即可證明．（2）首先證明∠BMN=90°，根據(jù)BN2=BM2+MN2即可解決問題．【解答】（1）證明：在△CAD中，∵M、N分別是AC、CD的中點，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中點，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【點評】本題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．21．如圖，△ABC和△BEF都是等邊三角形，點D在BC邊上，點F在AB邊上，且∠EAD=60°，連接ED、CF．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）求證：四邊形EFCD是平行四邊形．【分析】（1）欲證明△ABE≌△ACD只要證明∠EAB=∠CAD，AB=AC，∠EBA=∠ACD即可．（2）欲證明四邊形EFCD是平行四邊形，只要證明EF∥CD，EF=CD即可．【解答】證明：（1）∵△ABC和△BEF都是等邊三角形，∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠EAD=60°，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD．（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴BE=CD，∵△BEF、△ABC是等邊三角形，∴BE=EF，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥CD，∴BE=EF=CD，∴EF=CD，且EF∥CD，∴四邊形EFCD是平行四邊形．【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行四邊形的判定方法，屬于中考?？碱}型．22．（2023?菏澤）如圖，點O是△ABC內(nèi)一點，連結(jié)OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結(jié)，得到四邊形DEFG．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；（2）若M為EF的中點，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的長度．【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，從而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）先判斷出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求出EF即可．【解答】