實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量教學(xué)內(nèi)容

§3.3實(shí)對(duì)稱(duìchèn)矩陣特征值和特征向量永遠(yuǎn)可以(kěyǐ)對(duì)角化。實(shí)數(shù)域上的對(duì)稱矩陣(jǔzhèn)簡(jiǎn)稱為實(shí)對(duì)稱矩陣(jǔzhèn)。這類矩陣的最大優(yōu)點(diǎn)是特征值都是實(shí)數(shù)，定理4.12實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。一、實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)證明：設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，是矩陣的在復(fù)數(shù)域上的任一特征值，屬于的特征向量為兩邊取復(fù)數(shù)共軛得到則，于是，

(4.11)第一頁(yè)，共16頁(yè)。由于(yóuyú)，對(duì)最后(zuìhòu)一式取復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)置，得到(dédào)兩邊再右乘，得到所以有特征值都是實(shí)數(shù)。這樣，是實(shí)數(shù)。由的任意性，實(shí)對(duì)稱矩陣的特征向量都是實(shí)數(shù)向量。附注：進(jìn)一步地有，實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于特征值的一、實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)定理4.12實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。第二頁(yè)，共16頁(yè)。對(duì)上面(shàngmiɑn)第一式兩邊左乘，的特征向量。

定理(dìnglǐ)4.13實(shí)對(duì)稱(duìchèn)矩陣的屬于不同特征向量相互正交。證明：特征值的設(shè)，是實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值，，分別是屬于特征值，于是，得到

（4.12）而于是有這樣，由得到是正交的。，即與第三頁(yè)，共16頁(yè)。特征向量相互(xiānghù)正交的線性無關(guān)組?！咀ⅰ繉?shí)對(duì)稱(duìchèn)矩陣的屬于(shǔyú)不同特征值的向量和對(duì)應(yīng)特征向量在§4.1中里4中，例1矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值（二重）對(duì)應(yīng)特征都正交。把它們化為標(biāo)準(zhǔn)正交組。當(dāng)然，彼此不正交，但可以通過標(biāo)準(zhǔn)正交化方法第四頁(yè)，共16頁(yè)。為矩陣(jǔzhèn)。把分塊為，也是的屬于(shǔyú)的定理(dìnglǐ)4.14設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣,則存在正交陣,使為對(duì)角陣.下面證明對(duì)于階實(shí)對(duì)稱矩陣來說定理成立。證明：對(duì)矩陣的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時(shí),定理結(jié)論顯然成立.假設(shè)對(duì)于所有階實(shí)對(duì)稱矩陣來說定理成立。故不妨設(shè)是單位向量，

設(shè)是的一個(gè)特征值，是屬于特征值的特征向量,顯然單位向量特征向量.第一列任意正交矩陣。記是以為其中第五頁(yè)，共16頁(yè)。則

及與的各列向量(xiàngliàng)都正交，注意(zhùyì)到根據(jù)(gēnjù)歸納法假設(shè)，其中為階實(shí)對(duì)稱矩陣。使得

對(duì)存在階正交矩陣所以第六頁(yè)，共16頁(yè)。并且(bìngqiě)令，則均為階正交矩陣(jǔzhèn)，這表明(biǎomíng)階實(shí)對(duì)稱矩陣定理結(jié)論成立。為對(duì)角矩陣。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)任意第七頁(yè)，共16頁(yè)。對(duì)每個(gè),其中(qízhōng)為重的，二、實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化(jiǎohuà)方法具體步驟如下(rúxià):根據(jù)定理4.14，任意一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣都可以對(duì)角化。求出的所有特征值,第一步對(duì)給定實(shí)對(duì)稱矩陣，解特征方程，設(shè)的所有不同的特征值為；第二步解齊次線性方程組求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系；得到正交向量組，

第三步利用施米特正交化方法，把正交化，第八頁(yè)，共16頁(yè)。再把單位(dānwèi)化，得到(dédào)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)正交組，；注意：它們都是屬于的線性無關(guān)特征向量！！且第四步令，則是正交陣,為對(duì)角陣，與中正交列向量組（特征向量?。┡帕许樞蛳鄬?duì)應(yīng)。

附注：矩陣主對(duì)角線元素（特征值！）排列順序（實(shí)對(duì)稱矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形?。。┰诓挥?jì)排列順序情況下，這種對(duì)角化形式是唯一的。第九頁(yè)，共16頁(yè)。例2對(duì)矩陣(jǔzhèn)求一正交陣,使成對(duì)角(duìjiǎo)矩陣。的特征(tèzhēng)多項(xiàng)式為解：矩陣解特征方程得特征值（二重），。第十頁(yè)，共16頁(yè)。即求解(qiújiě)對(duì)于(duìyú)，解齊次線性方程組得到(dédào)一個(gè)基礎(chǔ)解系，。對(duì)于，即求解解齊次線性方程組，得到一個(gè)基礎(chǔ)解系。第十一頁(yè)，共16頁(yè)。把正交化：得到(dédào)將單位(dānwèi)化，構(gòu)造(gòuzào)矩陣第十二頁(yè)，共16頁(yè)。的屬于(shǔyú)0的特征向量為。則為正交矩陣(jǔzhèn)，并且(bìngqiě)使得矩陣對(duì)角化為：，求矩陣。例3．設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，（二重），而解：因三階實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化，本題中對(duì)應(yīng)于二重特征值1的線性無關(guān)向量應(yīng)有兩個(gè)特征向量組成，設(shè)為。根據(jù)定理4.13,它們都與正交，故是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，所以，可取

（