泛函分析講解學(xué)習(xí)

泛函分析基礎(chǔ)信息(xìnxī)與電氣工程學(xué)院鄒海林2014.2第一頁(yè)，共112頁(yè)。泛函分析基礎(chǔ)1、什么是泛函分析？20世紀(jì)20年代形成的數(shù)學(xué)分支，是從變分問(wèn)題，積分方程和理論物理的研究中發(fā)展起來(lái)的。它綜合運(yùn)用函數(shù)論，幾何學(xué)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)研究無(wú)限維向量空間(kōngjiān)上的算子和極限理論。第二頁(yè)，共112頁(yè)?，F(xiàn)代(xiàndài)泛函分析的奠基人波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫波蘭數(shù)學(xué)家在泛函分析和拓?fù)鋵W(xué)等方面取得了重要成就。其中的領(lǐng)軍人物是巴拿赫(StefanBanach1932年巴拿赫出版(chūbǎn)了《線性算子論》一書(shū)，建立了巴拿赫空間上線性算子理論，證明了一批后來(lái)成為泛函分析基礎(chǔ)的重要定理，成為泛函分析理論成熟的標(biāo)志。第三頁(yè)，共112頁(yè)。泛函分析的觀點(diǎn)和研究手段推動(dòng)著其他一些數(shù)學(xué)分析(shùxuéfēnxī)學(xué)科的發(fā)展，如在微分方程、概率論、函數(shù)論、計(jì)算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等學(xué)科中都有重要的運(yùn)用。第四頁(yè)，共112頁(yè)。2、為什么給研究生開(kāi)設(shè)泛函分析計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)解決什么？遇到(yùdào)的問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜涉及的知識(shí)門(mén)類多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的作用越來(lái)越突出第五頁(yè)，共112頁(yè)。例1：網(wǎng)絡(luò)技術(shù)通信技術(shù)計(jì)算機(jī)技術(shù)信號(hào)處理技術(shù)數(shù)學(xué)第六頁(yè)，共112頁(yè)。例2：信息安全抽象代數(shù)密碼學(xué)理論數(shù)理邏輯第七頁(yè)，共112頁(yè)。例3：第八頁(yè)，共112頁(yè)。例4：信號(hào)的稀疏(xīshū)表示理論：視覺(jué)皮層(pícéng)對(duì)圖像的編碼模式傅里葉級(jí)數(shù)(jíshù)小波變換神經(jīng)生理學(xué)的研究第九頁(yè)，共112頁(yè)。例4：信號(hào)(xìnhào)的稀疏表示理論：X=Dα第十頁(yè)，共112頁(yè)。例4：第十一頁(yè)，共112頁(yè)。3、泛函分析(fēnxī)基礎(chǔ)的基本內(nèi)容（1）距離空間（2）賦范線性空間（3）內(nèi)積空間（4）線性算子(suànzǐ)與線性泛函（5）投影與逼近第十二頁(yè)，共112頁(yè)。第一章距離(jùlí)空間距離的概念是現(xiàn)實(shí)物理世界中物體之間距離關(guān)系的本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)(shùxué)抽象。直線上兩點(diǎn)之間的距離三維空間中兩個(gè)(liǎnɡɡè)向量之間的距離曲面上兩點(diǎn)之間的距離……第十三頁(yè)，共112頁(yè)。第一章距離(jùlí)空間1.1距離(jùlí)定義設(shè)R表示一個(gè)非空集合，若其中任意兩元素x,y都按一定的規(guī)則與一個(gè)實(shí)數(shù)相對(duì)應(yīng)，且滿足以下三公理（稱為距離公理）：（1）（2）（3）對(duì)R中任意3元素x,y,z,有則稱為x,y間的距離，稱R為距離空間，其中的元素也稱為點(diǎn)。第十四頁(yè)，共112頁(yè)。例1：設(shè)為非空實(shí)數(shù)集，對(duì)其中任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y定義距離：即為通常(tōngcháng)意義下的距離，稱歐氏距離。另外(lìnɡwài)，還可以用另一種方式來(lái)定義距離：第一章距離(jùlí)空間第十五頁(yè)，共112頁(yè)。例2：設(shè)為n維實(shí)向量全體所構(gòu)成的空間，在其中可定義距離如下：設(shè)為中任意(rènyì)兩元素，則即為平面上兩點(diǎn)間的通常(tōngcháng)距離。在中也可以定義另一種距離：第一章距離(jùlí)空間第十六頁(yè)，共112頁(yè)。例3：用表示定義在[a,b]上所有連續(xù)函數(shù)的全體，對(duì)于任意,可定義距離：第一章距離(jùlí)空間第十七頁(yè)，共112頁(yè)。例4：用表示[a,b]上所有平方可積函數(shù)的全體，即對(duì)任意,都有則可在中定義距離(jùlí)，對(duì)于任意,可定義距離(jùlí)：第一章距離(jùlí)空間第十八頁(yè)，共112頁(yè)。例5：表示滿足(mǎnzú)的實(shí)數(shù)列的全體，則其中任意兩點(diǎn)間的距離(jùlí)可定義如下：第一章距離(jùlí)空間第十九頁(yè)，共112頁(yè)。1.2收斂(shōuliǎn)概念設(shè)R為距離空間，為R中點(diǎn)列，如果當(dāng)時(shí)，數(shù)列則稱點(diǎn)列按距離收斂于x,記為或此時(shí)，稱為收斂點(diǎn)列，x為的極限。1.2.1收斂(shōuliǎn)點(diǎn)列第一章距離(jùlí)空間第二十頁(yè)，共112頁(yè)。性質(zhì)(xìngzhì)：定理1.1在距離空間(kōngjiān)中，收斂點(diǎn)列的極限是惟一的。定理1.2

在距離空間中，距離是兩個(gè)變?cè)獂,y的連續(xù)函數(shù)。定理1.3

設(shè)為距離空間R中的收斂點(diǎn)列，則必有界。即存在有限數(shù)使所有都有第一章距離(jùlí)空間第二十一頁(yè)，共112頁(yè)。1.2.2

Cauchy列設(shè)為距離(jùlí)空間R中的收斂點(diǎn)列，則存，使因?yàn)?yīnwèi)所以(suǒyǐ)，當(dāng)時(shí)，有使上式(*)成立的點(diǎn)列稱為Cauchy列，或基本列。（*）第一章距離空間第二十二頁(yè)，共112頁(yè)。1.3距離(jùlí)空間的完備性定義1：在距離空間(kōngjiān)R中，若任一Cauchy列都在R中有極限，則稱距離空間(kōngjiān)是完備的。定義2：設(shè)R，R1都是距離空間，如果存在一個(gè)由R到R1的映射T，使一切有其中分別為R，R1上的距離，則稱T為R到R1的等距映射，這時(shí)，稱R與R1為等距。第一章距離(jùlí)空間第二十三頁(yè)，共112頁(yè)。距離空間(kōngjiān)的完備化定理：對(duì)每個(gè)距離空間R，必存在(cúnzài)一個(gè)完備的距離空間R0，使得R等距于R0中的一個(gè)稠密子空間R1，并稱R0為R的完備化空間，若除去等距不計(jì)，則R0是惟一的。第一章距離(jùlí)空間第二十四頁(yè)，共112頁(yè)。1.4距離(jùlí)空間的稠密性與可分性定義：設(shè)A，B為距離空間R中的子集。若對(duì)任意的總存在B中的點(diǎn)列收斂于x，則稱B在A中稠密，簡(jiǎn)稱B在A中稠。稠密性：第一章距離(jùlí)空間第二十五頁(yè)，共112頁(yè)。關(guān)于(guānyú)稠密性的兩種等價(jià)的說(shuō)法：（1）若B在A中稠，則對(duì)任意(rènyì)的及任意(rènyì)的總存在B中的點(diǎn)y，使得反之亦然（2）若B在A中稠，則對(duì)任意的，必有反之亦然表示以x為中心，以為半徑的小球。第一章距離(jùlí)空間第二十六頁(yè)，共112頁(yè)?？煞中裕憾x：距離空間(kōngjiān)R稱為可分的，是指在E中存在一個(gè)稠密的可列子集。第一章距離(jùlí)空間第二十七頁(yè)，共112頁(yè)。問(wèn)題(wèntí)：1、寫(xiě)出三維空間的幾種距離2、距離空間中的開(kāi)集、閉集？第一章距離(jùlí)空間第二十八頁(yè)，共112頁(yè)。1.5距離(jùlí)空間的列緊性（略）第一章距離(jùlí)空間第二十九頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)2.1定義(dìngyì)和例1、線性空間(kōngjiān)的定義：集合E稱為實(shí)（或復(fù)）線性空間，如果：（1）在E內(nèi)定義了“+”法運(yùn)算，使對(duì)任意的都有且仍E中（交換律）

(a)（結(jié)合律）

(b)存在“零元素”，有

(c)存在“逆元素”，有

(d)第三十頁(yè)，共112頁(yè)。（2）定義了E中元素與實(shí)（復(fù)）數(shù)域K中的數(shù)之間的“數(shù)乘”運(yùn)算(yùnsuàn)，使對(duì)任意的都有且仍E中

(a)

(b)

(c)

(d)第二章賦范線性空間(kōngjiān)第三十一頁(yè)，共112頁(yè)。2、賦范線性空間(kōngjiān)的定義：設(shè)E為實(shí)（復(fù)）線性空間(kōngjiān)，若對(duì)任意的都有一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)(shìshù)與之對(duì)應(yīng)，且滿足則稱為x

的范數(shù)，E為賦范線性空間，E中的元素稱為點(diǎn)。(a)(b)(c)第二章賦范線性空間第三十二頁(yè)，共112頁(yè)。由于實(shí)數(shù)的有序性，可以比較大小，因此范數(shù)給了元素一種可以度量(dùliàng)大小的概念。顯然，任何(rènhé)賦范線性空間都是距離空間。任意兩點(diǎn)x,y之間的距離都可以通過(guò)范數(shù)來(lái)定義（稱為由范數(shù)導(dǎo)出的距離）：第二章賦范線性空間(kōngjiān)第三十三頁(yè)，共112頁(yè)。例1：在中可定義范數(shù)或同一(tóngyī)集合可定義不同的距離，在同一(tóngyī)線性空間中，也可以定義不同的范數(shù)：

中的距離：第二章賦范線性空間(kōngjiān)第三十四頁(yè)，共112頁(yè)。例2：其中(qízhōng)可定義范數(shù)并由它導(dǎo)出距離(jùlí)第二章賦范線性空間(kōngjiān)第三十五頁(yè)，共112頁(yè)。例3：其中(qízhōng)可定義范數(shù)并由它導(dǎo)出距離(jùlí)第二章賦范線性空間(kōngjiān)第三十六頁(yè)，共112頁(yè)。例4：由它導(dǎo)出距離(jùlí)其中可定義范數(shù)是一切有界數(shù)列的全體，按通常數(shù)列的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成線性空間。第二章賦范線性空間(kōngjiān)第三十七頁(yè)，共112頁(yè)。3、Banach空間(kōngjiān)：若賦范線性空間(kōngjiān)按距離是完備(wánbèi)的，則稱它為Banach空間。

前面都按范數(shù)導(dǎo)出的距離完備，所以他們都是Banach空間。第二章賦范線性空間第三十八頁(yè)，共112頁(yè)。2.2按范數(shù)收斂(shōuliǎn)1、定義：設(shè)E為賦范線性空間，，若則稱點(diǎn)列按范數(shù)收斂于x，或稱強(qiáng)收斂于x，記為

(強(qiáng))第二章賦范線性空間(kōngjiān)第三十九頁(yè)，共112頁(yè)。2、性質(zhì)(xìngzhì)：在賦范線性空間E中，若強(qiáng)收斂于x，則有下列性質(zhì)為有界數(shù)列是x的連續(xù)泛函(b)(a)(c)設(shè)則(d)設(shè)則（c),(d)說(shuō)明，在賦范線性空間(kōngjiān)中，線性運(yùn)算對(duì)范數(shù)收斂是連續(xù)的。第二章賦范線性空間(kōngjiān)第四十頁(yè)，共112頁(yè)。2.3有限(yǒuxiàn)維賦范線性空間1、定義：若賦范線性空間E存在有限個(gè)線性無(wú)關(guān)的元素(yuánsù)，使任意的都有則稱E為有限(yǒuxiàn)維賦范線性空間，稱為該空間的基底，稱為x

關(guān)于該基底的坐標(biāo)。第二章賦范線性空間第四十一頁(yè)，共112頁(yè)。2、性質(zhì)(xìngzhì)：(a)設(shè)E是有限(yǒuxiàn)維賦范線性空間，則在E上定義的各種范數(shù)都相互等價(jià)。(b)有限維賦范線性空間(kōngjiān)必完備且可分。

(c)賦范線性空間E為有限維的充要條件是E中的

任意有界閉集是列緊的（即有界閉集中的任一點(diǎn)列都有收斂子序列）。

有限維賦范線性空間最典型的例子就是n維向量空間。第二章賦范線性空間第四十二頁(yè)，共112頁(yè)。2.4線性算子(suànzǐ)與線性泛函集合論中，集合與集合的關(guān)系稱為映射。泛函分析中，把具有一定(yīdìng)性質(zhì)的元素的集合稱為空間，把空間到空間的映射稱為算子。通常的算子是指由賦范線性空間(kōngjiān)到賦范線性空間(kōngjiān)的映射，常用T表示。D(T)表示定義域，N(T)表示值域。1、算子第二章賦范線性空間第四十三頁(yè)，共112頁(yè)。(1)定義(dìngyì)：設(shè)E，E1都是賦范線性空間2.4線性算子(suànzǐ)與線性泛函則稱T為線性算子(suànzǐ)。如微分算子、積分算子、由矩陣定義的線性變換等都是線性算子。若對(duì)任意及數(shù)有(a)第二章賦范線性空間第四十四頁(yè)，共112頁(yè)。若對(duì)任意當(dāng)時(shí)

，有(b)則稱T為連續(xù)(liánxù)算子。如范數(shù)、有界集上的積分算子、古典分析(fēnxī)中的連續(xù)函數(shù)等都是連續(xù)算子。第二章賦范線性空間(kōngjiān)第四十五頁(yè)，共112頁(yè)。若存在正數(shù)M，對(duì)任意，使(c)則稱T為有界算子(suànzǐ)。當(dāng)T又是線性算子(suànzǐ)時(shí)，則稱T為有界線性算子(suànzǐ)。

如中的線性變換、閉區(qū)間上的積分算子、古典分析中的線性函數(shù)等都是有界線性算子。第二章賦范線性空間(kōngjiān)第四十六頁(yè)，共112頁(yè)。設(shè)算子(suànzǐ)T：，若存在使(d)可逆算子且對(duì)任意(rènyì)，當(dāng)時(shí)，有，則稱T為可逆算子。如由矩陣和它的逆矩陣所代表的線性變換是互逆的算子(suànzǐ)，函數(shù)與反函數(shù)也是互逆的算子(suànzǐ)。算子分線性算子和非分線性算子。第二章賦范線性空間第四十七頁(yè)，共112頁(yè)。(2)線性算子(suànzǐ)的性質(zhì)：(a)線性算子T若在某一點(diǎn)連續(xù)，則T在D(T)上處處連續(xù)。(b)線性算子(suànzǐ)T有界的充要條件是T連續(xù)。(c)線性算子(suànzǐ)T有界的充要條件是T連續(xù)。(d)有限維賦范線性空間中的一切線性算子均有界（即連續(xù)）第二章賦范線性空間第四十八頁(yè)，共112頁(yè)。2、線性泛函(1)概念：當(dāng)算子(suànzǐ)的像集為數(shù)域時(shí)，稱算子(suànzǐ)為泛函。第二章賦范線性空間(kōngjiān)根據(jù)前面算子的定義，照樣可以定義線性泛函、連續(xù)(liánxù)泛函、有界線性泛函等。第四十九頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)(2)泛函的例數(shù)組,對(duì)任意(a)即為上的一個(gè)有界線性泛函。因此，對(duì)應(yīng)于不同的數(shù)組，都有一個(gè)上的有界線性泛函與之對(duì)應(yīng)。泛函的范數(shù)可表示(biǎoshì)為：第五十頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)(b)(2)泛函的例在上，對(duì)任意(rènyì)，作都是上的泛函。第五十一頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)(c)(2)泛函的例：表示[a,b]上的所有連續(xù)可微函數(shù)(hánshù)構(gòu)成的賦范線性空間。則對(duì)任意，作為上的一個(gè)線性泛函。第五十二頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)(d)(2)泛函的例：定義(dìngyì)是一個(gè)(yīɡè)有界泛函。第五十三頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)(3)泛函的性質(zhì)(xìngzhì)(a)設(shè)E是賦范線性空間(kōngjiān)，f是E上的線性泛函，則f有界的充要條件是f的零空間(kōngjiān)為E中的完備子空間。第五十四頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)(3)泛函的性質(zhì)(xìngzhì)(b)

設(shè)f是

上的任一有界線性泛函，則必存在惟一的，使得對(duì)任意，有且反之(fǎnzhī)，對(duì)每一，由上式定義的必是上的有界線性泛函。且第五十五頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)(3)泛函的性質(zhì)(xìngzhì)(c)

設(shè)f是上的任一有界線性泛函，則必存在惟一的使得任意時(shí)，有且反之(fǎnzhī)，亦然。第五十六頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)(3)泛函的性質(zhì)(xìngzhì)(d)設(shè)f是上的任一有界線(jièxiàn)性泛函，則必存在惟一的使得任意時(shí)，有且反之，亦然。第五十七頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)(3)泛函的性質(zhì)(xìngzhì)(e)延拓定理(dìnglǐ)設(shè)E為賦范線性空間，L為E的線性子空間，則L上的任一有界線性泛函f，都可以延拓到全空間E上，且保持范數(shù)不變。即存在E上的有界線性泛函，滿足：當(dāng)時(shí)，；①②第五十八頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)(3)泛函的性質(zhì)(xìngzhì)(d)存在(cúnzài)定理設(shè)E是具有非零元素的賦范線性空間，則E上有足夠的非零有界線性泛函存在，至少對(duì)每個(gè)存在有界線性泛函

，使得第五十九頁(yè)，共112頁(yè)。2.4賦范線性空間中的各種(ɡèzhǒnɡ)收斂第二章賦范線性空間(kōngjiān)1、元素(yuánsù)序列的收斂性(a)強(qiáng)收斂設(shè)E是賦范線性空間，，若則稱元素序列強(qiáng)收斂于x，記為(強(qiáng))或強(qiáng)第六十頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)2.4賦范線性空間(kōngjiān)中的各種收斂1、元素(yuánsù)序列的收斂性(b)弱收斂設(shè)E是賦范線性空間，，若對(duì)E上的任一有界泛函f，有則稱元素序列弱收斂于x，記為(弱)或弱第六十一頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)2.4賦范線性空間中的各種(ɡèzhǒnɡ)收斂2、算子(suànzǐ)序列的收斂性(a)一致收斂設(shè)E，E1是賦范線性空間，(一致)或一致若則稱算子序列

一致收斂（或依范數(shù)收斂）于T，記為第六十二頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)2.4賦范線性空間(kōngjiān)中的各種收斂2、算子(suànzǐ)序列的收斂性(b)強(qiáng)收斂設(shè)E，E1是賦范線性空間，若對(duì)任一，有則稱算子序列強(qiáng)收斂于T，記為(強(qiáng))或強(qiáng)第六十三頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)2.4賦范線性空間(kōngjiān)中的各種收斂2、算子(suànzǐ)序列的收斂性(c)弱收斂設(shè)E為賦范線性空間，若對(duì)每個(gè)及E上的任一有界線性泛函f，都有則稱算子序列弱收斂于T，記為(弱)或弱第六十四頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)2.4賦范線性空間中的各種(ɡèzhǒnɡ)收斂3、泛函序列(xùliè)的收斂性(a)強(qiáng)收斂設(shè)E為賦范線性空間，為E上的有界線性泛函及泛函序列，若則稱泛函序列強(qiáng)收斂于f，記為(強(qiáng))或強(qiáng)第六十五頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)2.4賦范線性空間(kōngjiān)中的各種收斂3、泛函序列(xùliè)的收斂性(a)弱*收斂則稱泛函序列弱*收斂于f，記為(弱*)或弱*設(shè)E為賦范線性空間，為E上的有界線性泛函及泛函序列，若對(duì)每個(gè)，有第六十六頁(yè)，共112頁(yè)。第二章賦范線性空間(kōngjiān)3、幾點(diǎn)結(jié)論(jiélùn)（1）上述各種收斂序列的極限都是惟一(wéiyī)的（2）各種序列若強(qiáng)收斂則必弱收斂，反之不一定（3）算子序列若一致收斂（依范數(shù)收斂），則必強(qiáng)收斂（4）若把泛函序列作為特殊的算子序列，則泛函序列的強(qiáng)、弱*收斂，分別相當(dāng)于算子序列的一致收斂和強(qiáng)收斂第六十七頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3.1定義(dìngyì)和例1、內(nèi)積空間(kōngjiān)設(shè)K是數(shù)域(實(shí)或復(fù))，U是K上的線性空間。若對(duì)任意的,都有惟一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，且滿足②①③④則稱為x,y的內(nèi)積，U為內(nèi)積空間。內(nèi)積公理第六十八頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)2、內(nèi)積的性質(zhì)(xìngzhì)（1）在內(nèi)積空間(kōngjiān)中，可由內(nèi)積導(dǎo)出范數(shù)Cauchy-Schwarz不等式：由上不等式還可得到第六十九頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)2、內(nèi)積的性質(zhì)(xìngzhì)（2）平行四邊形公式(gōngshì)在內(nèi)積空間中，由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)滿足平行四邊形公式第七十頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)2、內(nèi)積的性質(zhì)(xìngzhì)（3）極化(jíhuà)恒等式若賦范線性空間中的范數(shù)滿足平行四邊形公式，則可由范數(shù)來(lái)表示內(nèi)積特別地，在實(shí)空間則有第七十一頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)2、內(nèi)積的性質(zhì)(xìngzhì)定理(dìnglǐ)：賦范線性空間成為內(nèi)積空間的充要條件是它的范數(shù)滿足平行四邊形公式。（4）內(nèi)積的連續(xù)性在內(nèi)積空間中，內(nèi)積(x,y)關(guān)于兩個(gè)變?cè)獂,y都是連續(xù)的，即當(dāng)時(shí)，有第七十二頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3、Hilbert空間(kōngjiān)若內(nèi)積空間(kōngjiān)U按范數(shù)完備,則稱U為Hilbert空間，簡(jiǎn)記為H空間。H空間是一個(gè)特殊的Banach空間，特殊性在于它的范數(shù)由內(nèi)積導(dǎo)出。第七十三頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)4、例（1）任意的它們(tāmen)的內(nèi)積定義為由它導(dǎo)出的范數(shù)第七十四頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)4、例（2）其中(qízhōng)定義內(nèi)積由它導(dǎo)出的范數(shù)若為復(fù)函數(shù)，則定義內(nèi)積第七十五頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)4、例（3）其中(qízhōng)定義內(nèi)積由它導(dǎo)出的范數(shù)第七十六頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3.2正交分解與投影(tóuyǐng)定理1、正交的概念(gàiniàn)定義1：設(shè)，若，則稱x與y正交記為定義2：設(shè)，若x與M中的一切元素正交，則稱x與M正交，記為定義3：設(shè)，若對(duì)任意，恒有，則稱M與N正交。第七十七頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3.2正交分解與投影(tóuyǐng)定理1、正交的概念(gàiniàn)即定義4：設(shè)，則U中與M正交的所有元素的全體稱為M的正交補(bǔ)，記為。第七十八頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3.2正交分解與投影(tóuyǐng)定理1、正交的概念(gàiniàn)定義5：設(shè)M為內(nèi)積空間U的線性子空間，如果存在，使則稱為x

在M上的投影，上式稱為關(guān)于M的正交分解。第七十九頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3.2正交分解(fēnjiě)與投影定理2、性質(zhì)(xìngzhì)（1）設(shè)U為內(nèi)積空間，，若，則稱為內(nèi)積空間中的“商高定理”（2）設(shè)L為內(nèi)積空間U中的一個(gè)稠密子集，若，則x=0（零元素）第八十頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3.2正交分解與投影(tóuyǐng)定理2、性質(zhì)(xìngzhì)（3）設(shè)U為內(nèi)積空間，對(duì)任意的，其正交補(bǔ)必為U的閉線性子空間。（4）設(shè)U為內(nèi)積空間,為線性子空間，若為x在M上的投影，則下確界第八十一頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)什么(shénme)是下確界（infimum）？一般說(shuō)，使成立的所有常數(shù)M中，把M的最大值，叫做函數(shù)的下確界。什么(shénme)是上確界（supremum）？—最小的上界下確界，即最大的下界。如，第八十二頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3、投影(tóuyǐng)定理設(shè)M是H空間的閉子空間，對(duì)任意的必存在惟一的，使定理?xiàng)l件(tiáojiàn)中的H空間還可以推廣到內(nèi)積空間！投影定理示意圖第八十三頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)1、定義(dìngyì)：3.3正交系、規(guī)范(guīfàn)正交系定義1：若在H空間中有一組非零元素其中，任何兩個(gè)不同元素都正交，即則稱它們?yōu)檎幌?。第八十四?yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)定義2：若在H空間中的一個(gè)正交系，每個(gè)元素的范數(shù)都為1，則稱它們(tāmen)為規(guī)范正交系。即，若元素為規(guī)范正交系，則1、定義(dìngyì)：3.3正交系、規(guī)范正交系第八十五頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)2、例3.3正交系、規(guī)范(guīfàn)正交系（1）中，元素(yuánsù)組即為規(guī)范正交系。第八十六頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)2、例3.3正交系、規(guī)范(guīfàn)正交系（2）中，元素(yuánsù)列即為規(guī)范正交系。第八十七頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)2、例3.3正交系、規(guī)范(guīfàn)正交系（3）中，規(guī)定(guīdìng)內(nèi)積則三角函數(shù)系即為規(guī)范正交系。第八十八頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)中，若規(guī)定(guīdìng)內(nèi)積則三角函數(shù)(sānjiǎhánshù)系即為規(guī)范正交系。3.3正交系、規(guī)范正交系第八十九頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3、性質(zhì)(xìngzhì)3.3正交系、規(guī)范(guīfàn)正交系（1）設(shè)為H空間中的規(guī)范正交系則x在M上的投影為且第九十頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3、性質(zhì)(xìngzhì)3.3正交系、規(guī)范(guīfàn)正交系（2）設(shè)為H空間中的規(guī)范正交系稱為Bessle不等式。則對(duì)任一，有即第九十一頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3.4完全(wánquán)規(guī)范正交系的完全(wánquán)性與完備性1、定義(dìngyì)定義1：若內(nèi)積空間U中的規(guī)范正交系對(duì)任意的，有（即不存在與所有正交的非零元素），則稱此規(guī)范正交系是完全的。第九十二頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3.4完全規(guī)范(guīfàn)正交系的完全性與完備性1、定義(dìngyì)定義2：若內(nèi)積空間U中的規(guī)范正交系對(duì)任意的，都有則稱此規(guī)范正交系是完備的。上式也稱Parseval等式，也稱廣義商高定理。第九十三頁(yè)，共112頁(yè)。第三章Hilbert空間(kōngjiān)3.4完全(wánquán)規(guī)范正交系的完全(wánquán)性與完備性2、性質(zhì)(xìngzhì)定理：設(shè)為H空間中的規(guī)范正交系，則下述4個(gè)命題等價(jià)為完全規(guī)范正交系設(shè)對(duì)任意的，Parseval等式成立對(duì)任意的，有①②③④第九十四頁(yè)，共112頁(yè)。第四章投影與逼近(bījìn)空間4.1內(nèi)積空間(kōngjiān)中的投影定理設(shè)M是內(nèi)積空間(kōngjiān)U的閉子空間(kōngjiān)，對(duì)任意的必存在惟一的，使在內(nèi)積空間中,x0是x在M中的最佳逼近元素投影定理示意圖第九十五頁(yè)，共112頁(yè)。第四章投影(tóuyǐng)與逼近在內(nèi)積空間M中(M∈U),其投影x0是x在M中的最佳逼近(bījìn)元素，即：4.1內(nèi)積空間(kōngjiān)中的投影定理如何構(gòu)造最佳逼近元素x0

？第九十六頁(yè)，共112頁(yè)。第四章投影(tóu