趨勢外推法知識(shí)分享

M(1)t=M(1)t–1+xt-xt-n/n

市場預(yù)測(shìchǎnɡyùcè)與決策

陳曉慧(8)

2009.1.第一頁，共39頁。chap8趨勢(qūshì)外推預(yù)測法趨勢外推法概述(ɡàishù)曲線趨勢外推法增長曲線趨勢外推法第二頁，共39頁。趨勢外推預(yù)測(yùcè)法概述一、趨勢外推法(Trendextension)1.Concept當(dāng)預(yù)測對(duì)象依時(shí)間變化呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢，沒有明顯的季節(jié)波動(dòng)，且能找到一個(gè)合適的函數(shù)曲線反映(fǎnyìng)這種變化趨勢時(shí)，就可以用趨勢外推法進(jìn)行預(yù)測。2.Postulate（1）假設(shè)事物發(fā)展過程沒有跳躍式變化；（2）假定事物的發(fā)展因素也決定事物未來的發(fā)展，其條件是不變或變化不大。第三頁，共39頁。二、趨勢(qūshì)模型類型(Tendmodeltypes)1.多項(xiàng)式曲線(qūxiàn)(Multinomialcurve)

第四頁，共39頁。2.指數(shù)曲線外推模型一般形式：對(duì)數(shù)(duìshù)曲線3.增長曲線外推法：修正的指數(shù)曲線羅吉斯曲線龔珀茲曲線第五頁，共39頁。二階差分(chàfēn)三階(sānjiē)差分一階差分(chàfēn)環(huán)比指數(shù)注意：

增長曲線模型在理論上的變化規(guī)律都遵循著一階差分、二階差分、三階差分、一階差分環(huán)比指數(shù)為一常數(shù)的特征。一階差分差分概念第六頁，共39頁。一、直線趨勢外推法(Linertend)1、principle最小二乘法(Leastsquaremethod),將時(shí)間(shíjiān)序列擬合成一條預(yù)測直線趨勢，使預(yù)測值與實(shí)際值之間的離差和為最小。

(t1,y1)(t2,y2)(t4,y4)(t3,y3)ei圖擬合(nǐhé)直線方程原理曲線趨勢(qūshì)外推預(yù)測法BA設(shè)有n個(gè)點(diǎn)即：(t1,y1),(t2,y2),…,(tn,yn),如圖，AB為擬合直線，n個(gè)觀察值對(duì)該直線的離差分別為e1,e2,…,en。令：ty第七頁，共39頁。（1）在Q中,描述了直線方程與n個(gè)觀察點(diǎn)的接近程度。誤差的大小隨直線的位置變化(biànhuà)而變化(biànhuà)。即誤差的值會(huì)隨著a和b變化(biànhuà)而變化(biànhuà)。即是a和b的二元函數(shù)。2.forecastmodel為了使誤差(wùchā)最小,即Q為最小值;可分別對(duì)a,b求偏導(dǎo),并令其為0.則有:（2）第八頁，共39頁。（2）（4）（5）（3）第九頁，共39頁。(6)(7)3.擬合直線方程的步驟(bùzhòu)(1)繪制散點(diǎn)圖(2)列表計(jì)算求待定系數(shù)所需的數(shù)據(jù)(3)確定待定系數(shù)a、b,建立預(yù)測模型(4)用擬合直線方程求預(yù)測值A(chǔ)ction：在確定直線方程時(shí),時(shí)間序列為奇數(shù)時(shí),取中間數(shù)(n+1/2)的編號(hào)為0,那么x的編號(hào)就構(gòu)成了以0中心,的正、負(fù)數(shù)對(duì)稱的編號(hào)。例如,當(dāng)n=9時(shí),9+1/2=5,那么就可以編成-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,這時(shí)由于∑x=0,可簡化計(jì)算。此時(shí)(cǐshí)的a,b公式為:第十頁，共39頁。某家用電器廠1994年~2004年利潤數(shù)據(jù)資料如表所示，試預(yù)測(yùcè)2005、2006年利潤各為多少？年份19941995199619971998199920002001200220032004銷售額2003003504005006307007508509501020解：（1）畫散點(diǎn)圖并觀察各個(gè)點(diǎn)變化趨勢是否可用直線方程來擬合。（2）列表計(jì)算(jìsuàn)求待定系數(shù)所需要的數(shù)據(jù)資料，由于時(shí)間序列為11個(gè)，即n+1/2=11+1/2=6。故以1990年為中點(diǎn)編號(hào)：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5。19941995199619971998199912001000800600400200圖直線(zhíxiàn)繪制圖表某家用電器廠1985年~1995年利潤及擬合直線方程法計(jì)算表單位：萬元中心線性趨勢外推法舉例第十一頁，共39頁。年份利潤yitt2tyt

左邊tt2tyt

右邊1994200-525-1000191.0000191.01995300-416-2000273.711300273.71996350-39-1050356.424700356.41997400-24-800439.1391200439.11998500-11-500521.84162000521.81999630000604.55253150604.5200070011700687.26364200687.22001750241500769.97495250769.92002850392550852.68646800852.620039504163800935.39818550935.32004102052551001018.010100102001018.0∑6650011091005538542350表某家用電器廠1994年~1904年利潤及擬合(nǐhé)直線方程法計(jì)算表單位：萬元第十二頁，共39頁。表的以左邊∑t=0,∑yt=6650,∑t2=110;∑tyt=9100.表的右邊以0，1，…,10對(duì)自變量t進(jìn)行編號(hào),并求得：∑t=55,∑t2=385;∑tyt=42350(3)確定(quèdìng)待定系數(shù),建立預(yù)測模型①按表的左邊t編號(hào),有：a=∑yt/n=6650/11=604.3;b=∑ty/∑t2=9100/110=82.7故左邊預(yù)測的直線方程為：②按表右邊的x編號(hào)方法有：第十三頁，共39頁。（4）用擬合直線方程求預(yù)測值分別按左、右邊直線方程進(jìn)行預(yù)測結(jié)果相同，故擬合直線有效。見表⒊特點(diǎn)（1）擬合直線方程的一階差分為一常數(shù)，即：（2）直線外推法只適用時(shí)間(shíjiān)序列呈直線趨勢預(yù)測。（3）無論遠(yuǎn)、近的數(shù)據(jù)不考慮權(quán)重。（4）用最小二乘法擬合直線方程消除了不規(guī)則的影響，使內(nèi)插值和外推值都落在擬合的直線上。第十四頁，共39頁。二、二次曲線外推法(Twicecurveextension)在實(shí)際預(yù)測中,常常碰到的是其他的曲線形式。在這樣的情況下,就要用到曲線外推趨勢法。這種方法仍然(réngrán)是利用最二乘法來擬合曲線方程。介紹如下：設(shè)曲線預(yù)測模型為：（一）model（1）利用最小二乘法得：第十五頁，共39頁。（2）第十六頁，共39頁。原理擬合直線方程根據(jù)最小二乘法原理，使觀察期對(duì)于估計(jì)值的離差平方和，再求偏導(dǎo)并令其等于0，求出a,b,最后建立直線方程進(jìn)行預(yù)測。但這種方法的問題是在擬合直線過程，對(duì)時(shí)間的近期和遠(yuǎn)期的數(shù)據(jù)同等對(duì)待，求出的預(yù)測方程不夠精確(jīngquè)。而加權(quán)擬合法就較好的解決了這個(gè)問題。(例題略)三、加權(quán)擬合直線(zhíxiàn)方程

第十七頁，共39頁。生物的生長過程經(jīng)歷了出生、成長、成熟三個(gè)階段，在這三個(gè)階段生物的生長速度是不一樣的。例如,南瓜的重量(zhòngliàng)增長速度,在第一階段增長的較慢,在成長時(shí)期則突然加快,而到了成熟期又趨減慢,形成一條S形曲線-增長曲線。增長曲線是描繪經(jīng)濟(jì)指標(biāo)隨時(shí)間變化呈某種生物變化規(guī)律的一種曲線。用增長曲線進(jìn)行預(yù)測的方法稱為增長曲線預(yù)測法。它是一種很常用的方法。例如新技術(shù)、新產(chǎn)品的開發(fā)和更新?lián)Q代過程,需求增長規(guī)律等均可用增長曲線來描述。增長曲線(qūxiàn)預(yù)測方法第十八頁，共39頁。1.人類(rénlèi)增長曲線年齡36912151821242730身高4876112140168172176178180181人類身高的成長(chéngzhǎng)曲線的生長規(guī)律如表5-1所示單位：cm年齡(niánlíng)身高

圖人身高成長曲線

一、例子第十九頁，共39頁。如表是南瓜重量隨時(shí)間變化的生長(shēngzhǎng)曲線。天24681012141618202224克120200400100026003300380043004900510053005400圖南瓜重量生長(shēngzhǎng)曲線天重量(zhòngliàng)2.生物增長曲線第二十頁，共39頁。如圖自行車壽命周期(zhōuqī)曲線導(dǎo)入期成長期成熟期衰推期t銷量(xiāoliànɡ)3.商品壽命(shòumìng)曲線第二十一頁，共39頁。1.Model其中：a,b—參數(shù)(cānshù)，t—時(shí)間序列,yt—經(jīng)濟(jì)目標(biāo)值

b＞10＜b＜1圖簡單(jiǎndān)指數(shù)型增長曲線圖(0，a)t（1）（一）簡單(jiǎndān)指數(shù)yt2.Applicationcondition當(dāng)時(shí)間序列呈單純的增加或減少的趨勢，且各期的增長率或減少率基本相等，則可用指數(shù)曲線描述時(shí)間序列是比較好的。第二十二頁，共39頁。將（1）取對(duì)數(shù)(duìshù)，有：（2）（3）由(3)和(4)可知：①其對(duì)數(shù)曲線方程為一條直線(zhíxiàn);②其對(duì)數(shù)曲線一階差分為一常數(shù)。

3.Characteristic（4）第二十三頁，共39頁。2.Characteristic一階差分環(huán)比指數(shù)(zhǐshù)為一常數(shù)。1.Model

（1）（二）修正指數(shù)(zhǐshù)曲線(Amendexponentialcurve)第二十四頁，共39頁。k＞0，0＜

a＜1，0＜b＜1y0=K+a圖7-6修正曲線的幾種(jǐzhǒnɡ)類型tttt圖(d)衰退(shuāituì)后期圖（b）飽和(bǎohé)期圖(a)成長期圖（c）衰退期前期k＞0，a＞1，b＞1k＞0，0＜

a＜1，b＞1k＞0，a＞0，0＜b＜13.修正曲線模型的幾種類型圖第二十五頁，共39頁。式中:k,a,b為待定參數(shù)(cānshù).由(1)可得一階、二階導(dǎo)數(shù)為：(1)(2)（三）羅吉斯曲線(qūxiàn)1.Model第二十六頁，共39頁。k＞0，a＞10＜b＜1圖羅吉斯曲線(qūxiàn)y0=1/(k+a)y∞=1/k?2.characteristic羅吉斯曲線拐點(diǎn)左側(cè)呈上凹趨勢，過了該拐點(diǎn)后曲線轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛳掳稼厔?。?）當(dāng)t=0時(shí),有：y0=1/k+a,（2）當(dāng)t→∞時(shí)，yt→1/k當(dāng)t→-∞時(shí)，yt→0都是羅吉斯曲線的漸進(jìn)線。羅吉斯曲線形狀與龔柏茲曲線形狀很相似，它所描述的經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律也是開始緩慢增長，而后(érhòu)逐漸加快，達(dá)到拐點(diǎn)后，增長率減緩，最后達(dá)到一臨界值。

第二十七頁，共39頁。1.Model

（1）（3）（2）2.Characteristic導(dǎo)數(shù)的一階差分(chàfēn)環(huán)比指數(shù)為一常數(shù)或其對(duì)數(shù)方程為一修正曲線。（四）龔柏茲曲線(qūxiàn)(Gompertzcurve)第二十八頁，共39頁。

0＜a＜1，0＜b＜1y0=Ktttt圖(d)衰退期圖（a）成長期和成熟(chéngshú)前期圖(b)成熟期后半期和衰退期圖（c）成長期0＜a＜1，b＞1a＞1，b＞1a＞1，0＜b＜1y0=K4.龔柏茲曲線(qūxiàn)的幾種類型圖3.應(yīng)用范圍耐用消費(fèi)品或技術(shù)含量較高商品(shāngpǐn)的市場需求變化。第二十九頁，共39頁。1.常用的增長曲線(Incommonusethegrowthcurve)修正曲線、龔柏茲曲線、羅吉斯曲線。利用這三種曲線可描述產(chǎn)品市場增長周期的不同階段,從而揭示產(chǎn)品增長周期銷售何時(shí)由某一階段向另一階段的轉(zhuǎn)變,預(yù)測產(chǎn)品的市場需求潛量、最大銷售量以及達(dá)到飽和狀態(tài)的時(shí)間等。2.Forecastmethod常用的方法有:三和法、三點(diǎn)法、最小二乘法等。3.Action當(dāng)極限值k可確定,可采用(cǎiyòng)最小二乘法可簡化計(jì)算；不能確定時(shí)就用三和法或三點(diǎn)法;當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)收集資料不全的情況下用三點(diǎn)法。（五）增長(zēngzhǎng)曲線預(yù)測法

第三十頁，共39頁。以修正曲線為例，具體步驟如下：1、將時(shí)間序列分為項(xiàng)數(shù)相等的三段，每段的項(xiàng)數(shù)為r(r=n/3,n為時(shí)間序列總項(xiàng)數(shù))，若原序列項(xiàng)數(shù)不能被3整除，需刪除序列最初一期(yīqī)或兩期數(shù)據(jù)；2、時(shí)間序列t取值第一段，0，1，…，r-1；第二段，r,r+1,…，2r-1;第三段，2r,2r+1,…,3r-1;3、分別求出序列每段數(shù)據(jù)的和第一，第二，第三段數(shù)據(jù)的和分別用∑1Yt、∑2Yt、∑3Yt表示，二、三和法(Trisectmethod)第三十一頁，共39頁。解此方程組，得a,b,k值：第三十二頁，共39頁。三和法舉例(jǔlì)某地區(qū)電冰箱銷售(xiāoshòu)資料如表所示，試預(yù)測2005年的銷售(xiāoshòu)量和達(dá)到飽和狀態(tài)的時(shí)間。某地區(qū)電冰箱銷售(xiāoshòu)資料單位：萬臺(tái)年份199619971998199920002001200220032004銷售量256390498586656714762800830解：(1)畫散點(diǎn)圖∵環(huán)比系數(shù)為0.81,0.81,0.80,0.83,0.79,0.79,大體(dàtǐ)相同，∴用修正曲線進(jìn)行預(yù)測。N=9,r=3,t=0,1,2,……,8,計(jì)算得∑1Yt=1142,∑2Yt=1956,