隨機信號分析第3章隨機信號的頻域分析

本章主要內(nèi)容：

第三章隨機信號頻域分析相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系

互功率譜密度白噪聲的定義功率譜的應(yīng)用

確定信號s(t)頻譜存在的條件，即其傅立葉變換存在的條件是：⑴.s(t)在范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件?；騻鋼駰l件（信號的總能量有限）⑵.（絕對可積）§3.1實隨機信號的功率譜密度第3章隨機信號的頻域分析其中S(ω)稱為信號s(t)的頻譜，它反映了s(t)中各種頻率成分的分布狀況?？梢宰C明：對一般實信號s(t)，其頻譜是ω的復(fù)函數(shù)，若s(t)滿足上述條件，則其傅立葉變換對存在。若將（反變換）式代入式的左端即，（*表示復(fù)共軛）。一、能量譜密度由于左邊是：s(t)在時間上的總能量＝在整個頻域上的積分。因此←表示s(t)在不同頻率上總能量的分布密度，稱為：能量譜密度。則：即：←帕賽瓦爾定理

隨機過程的任意一個樣本函數(shù)，都不滿足傅立葉變換的絕對可積條件，直接對隨機過程進行傅立葉變換不可能。但是對其樣本函數(shù)作某些限制后，其傅立葉變換存在。二、實隨機信號的平均功率最簡單的是應(yīng)用截尾函數(shù)。如右圖所示：在中任意截取長為2T的一段稱為的截尾函數(shù)。當(dāng)T為有限值時，截尾函數(shù)滿足絕對可積條件，其傅立葉變換存在。若代表一噪聲電壓（或電流），則表示噪聲的一個樣本在時間（-T,T）內(nèi)消耗在1歐姆電阻上的總能量。若對此總能量在(-T,T)上求時間平均，并求極限可見為的頻譜函數(shù)，據(jù)帕賽瓦爾等式，它們有如下關(guān)系：

表示隨機過程的樣本函數(shù)消耗在1歐姆電阻上的平均功率由于對一次試驗結(jié)果來講，對應(yīng)的樣本函數(shù)是個確定函數(shù)，因此這個平均功率僅是一個確定值。稱隨機過程樣本函數(shù)的平均功率（時間平均）。對于不同K，由于不同由于樣本函數(shù)不同，也不同。相對所有試驗結(jié)果來講，所有樣本的平均功率的總體就是一個隨機變量。其中X(t)是隨機過程，是隨機過程的截取函數(shù)的頻譜若對取統(tǒng)計平均，得確定值：←通常稱為隨機過程X(t)的平均功率。1、實隨機過程的功率譜密度由于隨機過程X(t)的平均功率：是在整個頻域上的積分，則被積函數(shù)表示隨機過程在不同頻率上的單位頻帶內(nèi)，消耗在單位電阻上的平均功率。由于描述了隨機過程X(t)的平均功率在各個頻率上的分布狀況，因此稱為：隨機過程X(t)的功率譜密度。三、功率譜密度則其時間平均2、平穩(wěn)過程的平均功率若X(t)為平穩(wěn)過程，其均方值所以平穩(wěn)過程的平均功率：3、各態(tài)歷經(jīng)過程的平均功率

由于各態(tài)歷經(jīng)過程X(t)的每個樣本函數(shù)的時間平均都以概率1相同，與無關(guān)，則可推出：同理樣本函數(shù)的功率譜密度為隨機過程的平均功率也可以由過程的均方值求時間平均：由X(t)的各態(tài)歷經(jīng)性，因此有即各態(tài)歷經(jīng)過程X(t)的平均功率與其樣本函數(shù)的平均功率以概率1相等。4、各態(tài)歷經(jīng)過程的功率譜密度若過程X(t)的平均功率和其樣本函數(shù)的平均功率即各態(tài)歷經(jīng)過程X(t)的功率譜密度與其樣本函數(shù)的功率譜密度以概率1相等。(3).功率譜密度是的偶函數(shù)5、實隨機過程功率譜密度的性質(zhì)由定義式3-12因為故而(2).功率譜密度是的實函數(shù)由式3-12也可以看到，是的實函數(shù)，故也必定為的實函數(shù)。(1).功率譜密度為非負值功率譜密度是隨機過程在頻域中主要的統(tǒng)計特征。(4)、平穩(wěn)過程功率譜密度絕對可積：根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)，當(dāng)為t的實函數(shù)時，其頻譜滿足則隨機過程截尾后的頻譜為證明：因為平穩(wěn)過程有且平穩(wěn)過程有所以功率譜密度函數(shù)絕對可積。(5)、若平穩(wěn)過程的功率譜密度可以表示為的有理函數(shù)形式則必定滿足：①由性質(zhì)(1)要求：②由性質(zhì)(4)要求：式中分母無實根(即在實軸上無極點)，且。在實數(shù)軸上有極點，例3.1

判斷下列哪些函數(shù)滿足平穩(wěn)過程的功率譜密度的性質(zhì)？所以只有滿足平穩(wěn)過程功率譜密度的性質(zhì)。解：因為非偶3.1.2

平穩(wěn)過程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系對于一般隨機過程X(t)：若X(t)是平穩(wěn)過程則有：有：因為X(t)平穩(wěn)則有：一、維納—辛欽定理2023/2/616功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系

確定信號：隨機信號：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。

維納—辛欽定理

若隨機過程X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對付氏變換，即：已知證明：2023/2/618設(shè)則所以：2023/2/619則

(注意，且，。因此，通常情況下，第二項為0)

二、維納—辛欽定理的推廣⑴直流信號⑵周期信號在時域：不滿足絕對可積的條件，∴F變換不存在。傅氏變換絕對可積的條件限制了維納—辛欽定理的應(yīng)用。⑴直流信號X(t)⑵周期信號X(t)在頻域：可以借助函數(shù)，將直流信號與周期信號在各個頻率點上的無限值用一個函數(shù)來表示，借助函數(shù)的傅氏變換可利用函數(shù)的F變換，來求⑴⑵兩特殊信號的功率譜密度。例3.3

隨相余弦信號，其中為常數(shù)，在上均勻分布，求X(t)的功率譜密度。解：據(jù)以往結(jié)果，←求傅氏變換例3·4

已知平穩(wěn)過程X(t)具有功率譜密度：求其自相關(guān)函數(shù)，平均功率。解：利用部分分式法∴自相關(guān)函數(shù)為：利用傅氏變換對平均功率為：2023/2/626例：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)為，A>0，，求過程的功率譜密度。

解：應(yīng)將積分按＋和－分成兩部分進行

2023/2/627例：設(shè)隨機過程其中皆為常數(shù)，為具有功率譜密度的平穩(wěn)隨機過程。求過程的功率譜密度。

解：

三、物理功率譜密度：由于實際應(yīng)用中，負頻率不存在，所以定義一個僅在正頻率上存在的物理功率譜密度：因為都滿足絕對可積的條件，所以它們的富氏變換存在：§3.2兩個實隨機過程的互功率譜密度1、互平均功率的定義考慮兩個平穩(wěn)實隨機過程X(t),Y(t)，分別表示X(t)和Y(t)的樣本函數(shù)。我們定義兩個截尾函數(shù)為：故而據(jù)帕賽瓦爾定理有：一、互功率譜密度因為X(t),Y(t)為實過程，所以。則可以得到兩個隨機過程的樣本函數(shù)的互平均功率。由于相對于所有結(jié)果，都是試驗結(jié)果的函數(shù)，則其互平均功率是一個隨機變量。如果對再求統(tǒng)計平均，便可得到一個確定值值值交換期望與極限的次序有：這個統(tǒng)計平均后的確定值被定義為X(t),Y(t)的互平均功率。2、互功率譜密度的定義定義中的被積函數(shù)為X(t),Y(t)的互功率譜密度。X(t),Y(t)的另一互功率譜密度：同理有X(t),Y(t)的另一互平均功率：比較兩個互功率譜密度可得：二.互譜密度與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系若X(t)與Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，則有解：例3.5

設(shè)X(t)與Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，且互相關(guān)函數(shù)為三、互譜密度的性質(zhì)1、因為X(t),Y(t)為實過程為

復(fù)函數(shù)2、互譜密度的實部所以有：為偶函數(shù)3、互譜密度的虛部為奇函數(shù)4、當(dāng)X(t)與Y(t)正交時5、當(dāng)X(t)與Y(t)互不相關(guān)時1、白噪聲的定義

功率譜密度為常數(shù)，均勻分布在整個頻域上，具有零均值的平穩(wěn)過程，稱為“白噪聲”。通常記為：N(t)§3.3白噪聲一、理想白噪聲習(xí)題：3-1、3-2、3-5、3-6、3-7、3-9

這說明，白噪聲在任何兩個相鄰時刻，不管多么近，只要≠0，狀態(tài)之間都是不相關(guān)的。這說明白噪聲過程的樣本隨時間起伏極快，相當(dāng)脈沖寬為0的沖激(t)。2、白噪聲的自相關(guān)函數(shù)3、白噪聲的自相關(guān)系數(shù)1?以上定義的白噪聲是一個理想化的數(shù)學(xué)模型。在物理上是不存在的。無窮大其平均功率而任何一個物理可實現(xiàn)過程，其平均功率總是有限的。任何一個物理可實現(xiàn)過程，兩個相鄰時刻的狀態(tài)之間總存在一定的相關(guān)性。無法構(gòu)造出脈沖寬為0的沖激(t)做為樣本。⑵4、白噪聲的特點理由：⑴2?白噪聲無論在理論上，還是在實際應(yīng)用中，都是最常的一種噪聲模型。原因：⑴經(jīng)過驗證，實際應(yīng)用中出現(xiàn)的許多重要的噪聲過程都可以用白噪聲來近似。如：“電阻熱噪聲”。原因：⑵由于白噪聲的在數(shù)學(xué)上有很好的分析性質(zhì)。原因：⑶白噪聲可以替代系統(tǒng)中的寬帶噪聲。在實際應(yīng)用中，系統(tǒng)帶寬總是有限的，無論是否是理想白噪聲，通過系統(tǒng)后的結(jié)果都一樣。如：只要輸入噪聲功率譜在觀察的范圍（系統(tǒng)帶寬）內(nèi)是一常數(shù)，就可以把它近似為白噪聲來處理。⑴低通型限帶白噪聲相當(dāng)一個“理想白噪聲”通過一個理想低通濾波器。二、限帶白噪聲1、定義若一零均值的平穩(wěn)過程，其功率譜密度在一有限范圍內(nèi)均勻分