第七章：限失真編碼1

第七章限失真信源編碼簡(jiǎn)介：和無(wú)失真編碼比較，（失真和熵率值比較）熵壓縮編碼在的允許失真條件下，編碼后的熵率壓縮到最?。o(wú)譯碼器）（解釋兩種編碼的必要性）信息速率失真函數(shù)R(D):是熵壓縮編碼的基礎(chǔ)，把信息和失真兩個(gè)度量可聯(lián)系在一起，為信號(hào)處理中同時(shí)考慮兩個(gè)因素提供可解。引入限失真的必要性1）

失真在傳輸中是不可避免的;2）

接收者（信宿）無(wú)論是人還是機(jī)器設(shè)備，都有一定的分辨能力與靈敏度，超過(guò)分辨能力與靈敏度的信息傳送過(guò)程是毫無(wú)意義的;3）

即使信宿能分辨、能判別，但對(duì)通信質(zhì)量的影響不大，也可以稱(chēng)它為允許范圍內(nèi)的失真；4）

我們的目的就是研究不同的類(lèi)型的客觀信源與信宿，在給定的Qos要求下的最大允許（容忍）失真D，及其相應(yīng)的信源最小信息率R(D).5）

對(duì)限失真信源，應(yīng)該傳送的最小信息率是R(D)，而不是無(wú)失真情況下的信源熵H(U).顯然

H(U)≥R(D).當(dāng)且僅當(dāng)D=0時(shí)，等號(hào)成立；6）

為了定量度量D，必須建立信源的客觀失真度量，并與D建立定量關(guān)系；7）

R(D)函數(shù)是限失真信源信息處理的理論基礎(chǔ)；本章節(jié)達(dá)到的目的理解限失真信源編碼在通信系統(tǒng)中的意義了解失真測(cè)度的含義和基本方法理解R(D)函數(shù)的概念、物理意義、性質(zhì)了解特殊情況下R(D)函數(shù)的計(jì)算方法了解R(D)函數(shù)在信道編碼定理中的作用理解香農(nóng)第三定理的物理意義及其實(shí)用意義了解香農(nóng)三大定理的相互關(guān)系與比較情況本章研究?jī)?nèi)容概述失真的度量信息率失真函數(shù)限失真信源編碼定理香農(nóng)三大定理的關(guān)系和比較§7.1:概述－1問(wèn)題引出無(wú)噪信道編碼定理回顧有噪信道編碼定理回顧存在的問(wèn)題：實(shí)際需求特點(diǎn)引出的研究?jī)?nèi)容本章節(jié)研究方法與順序§7.1:概述－2無(wú)噪信道編碼定理回顧：總可以找到一種輸入分布（信源編碼方法），使在無(wú)噪無(wú)損信道上，能夠以信道容量C無(wú)誤地傳輸信息。信源編碼無(wú)噪無(wú)損信道R=C;PE=0,最佳分布消息壓縮冗余度最好地利用C§7.1:概述－3有噪信道編碼定理回顧：只要R<C，總可以找到一種信道編碼方法，使在信道上能夠以盡可能小的PE傳輸信息。信源編碼信道R<C;PE=ε,消息信道編碼增加冗余度，最好地匹配信道特性§7.1:概述－4存在問(wèn)題對(duì)于連續(xù)和模擬信源H(S)=∞信道傳輸率R=H(S)/n（比特/碼符號(hào)）R=

∞平均碼長(zhǎng)l=Hr(S)=H(S)/logr,l=∞,實(shí)際上，因?yàn)锽有限，C一定有限，R<C,及l(fā)=∞均不可能§7.1:概述－5實(shí)際需求特點(diǎn)：信宿對(duì)真實(shí)度的要求：實(shí)際語(yǔ)音信號(hào)：20Hz~8KHz人耳能夠分辨：300Hz~3400Hz圖象色差：可達(dá)足夠多視覺(jué)分辨：256級(jí)（黑白）已足夠可以允許一定的失真度完全保真沒(méi)必要§7.1:概述－6引出的研究?jī)?nèi)容限失真的信源編碼問(wèn)題允許一定的失真度下，能將信源信息壓縮到什么程度？（最少需要多少比特才能在收端描述信源？）一定的信息傳輸率R下，允許的最大失真是多少？相關(guān)問(wèn)題失真如何度量？率失真函數(shù)如何計(jì)算？§7.1:概述－7研究方法：抽象信道虛擬試驗(yàn)信道§7.1:概述－8方法：抽象：將與討論重點(diǎn)關(guān)系小的部分抽象因?yàn)樯婕靶旁淳幋a，對(duì)信道進(jìn)行抽象信道編碼→信道→信道譯碼信道*信道*可以略去根據(jù)信道編碼定理信道*是一個(gè)沒(méi)有干擾的廣義信道，信宿收到信息的失真只來(lái)自于信源編碼§7.1:概述－9方法：虛擬：將討論重點(diǎn)虛擬細(xì)化將限失真信源的編譯碼過(guò)程虛擬信源編碼→信道*→信源譯碼試驗(yàn)信道可以用信道傳遞概率來(lái)描述限失真信源編譯碼前后的關(guān)系信源編碼信道編碼信道信道譯碼信源譯碼信源信宿信源編碼信道*信源譯碼信源信宿信源信宿試驗(yàn)信道UVP(V|U)§7.1:概述－10本章節(jié)討論順序從最簡(jiǎn)單的離散無(wú)記憶信源入手討論失真的度量討論率失真函數(shù)的定義和性質(zhì)討論在最簡(jiǎn)單的二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)離散信源和高斯連續(xù)信源條件下率失真函數(shù)R(D)的計(jì)算方法討論限失真信源編碼定理信息率失真理論的探討及應(yīng)用舉例香農(nóng)三大定理的關(guān)系和比較§7.2:失真的度量－1失真度定義平均失真度保真度準(zhǔn)則試驗(yàn)信道§7.2:失真的度量－2失真度定義在U,V聯(lián)合空間上定義：d（ui，vj），ui∈U，vj∈V

為U,V的失真測(cè)度。d（ui，vj）有距離的概念性質(zhì)1：ui=vj時(shí)，d=0性質(zhì)2：mind=0性質(zhì)3：0<d<∞§7.2:失真的度量－3失真度定義0,ui=vj

離散信源：用失真矩陣描述。dij=>0,ui≠

vj

0,ui=vj

漢明距離度量時(shí)：dij=1,ui≠

vj連續(xù)信源：用失真函數(shù)描述。d(u,v)=(u-v)2=|u-v|

§7.2:失真的度量－4平均失真度單符號(hào)失真度：d（ui，vj）≥0，（i=1~r，j=1~s）信源的失真矩陣可表示為：共r×s個(gè)元素§7.2:失真的度量－5平均失真度平均失真度：∵U，V是隨機(jī)變量；∴d（ui，vj）也是隨機(jī)變量平均失真度：

§7.2:失真的度量－6平均失真度c.f:d&d：描述了某個(gè)信源符號(hào)通過(guò)傳輸后失真的大小不同的信源符號(hào)，其d不同。：描述了某一個(gè)單符號(hào)信源在某一試驗(yàn)信道傳輸下的失真，它不僅與單個(gè)符號(hào)的d有關(guān)，還與試驗(yàn)信道的統(tǒng)計(jì)特性有關(guān)?！?.2:失真的度量－7平均失真度N維信源符號(hào)序列的平均失真度：此時(shí)D為一rN×sN階的矩陣與：d（u，v）、p(u)、p(v|u)、N均有關(guān)§7.2:失真的度量－8平均失真度信源平均失真度信源、信道均無(wú)記憶時(shí)：信源平穩(wěn)時(shí)：序列中第l個(gè)分量的平均失真度§7.2:失真的度量－9保真度準(zhǔn)則給定D，若≤D，則稱(chēng)此為保真度準(zhǔn)則對(duì)于序列信源，保真度準(zhǔn)則為：≤ND§7.2:失真的度量－10試驗(yàn)信道：P(v|u)不是實(shí)際的信道特性矩陣，在此相當(dāng)于不同的編碼方法，不同的編碼方法，不同。定義：所有≤D的試驗(yàn)信道構(gòu)成D失真許可的試驗(yàn)信道集合BD§7.3:率失真函數(shù)－1問(wèn)題引出度量了失真，進(jìn)一步關(guān)心的問(wèn)題是：一定的失真D下，最小的信息傳輸率R是多少？一定的失真D下，收端再現(xiàn)信源需要的最低的平均信息量是多少？定義：（信息）率失真函數(shù)R(D)

對(duì)于N維序列信源：§7.3:率失真函數(shù)－2率失真函數(shù)的進(jìn)一步解釋單位：比特/信源符號(hào)（同互信息）離散無(wú)記憶信源：RN(D)=NR(D)P(v|u)無(wú)實(shí)際信道含義，只代表不同編碼方法求R(D)就是在D條件下，選擇一種編碼方法，使R最小。定義域：D∈[0,Dmax]R(D)的性質(zhì)：凸?fàn)钚詥握{(diào)遞減性連續(xù)性§7.3:率失真函數(shù)－3Dmax與R(Dmax)定義當(dāng)DDmax時(shí)，R(Dmax)=0使R(Dmax)=0的p(v|u)不止一個(gè)不同的p(v|u)有不同的|R(D)=0對(duì)我們有意義的：的最小值＝Dmax的p(v|u)利用該p(v|u)求得使R(Dmax)=0時(shí)的DmaxR=0時(shí)，U,V統(tǒng)計(jì)獨(dú)立p(v|u)只是v的函數(shù)則有：p(v|u)＝Q(v),Dmax=DmaxDR(D)R(D)>0R(D)=0§7.3:率失真函數(shù)－4R(D)的計(jì)算求解R(D)，--求解互信息的極小值互信息I(X,Y)是條件轉(zhuǎn)移概率的下凸函數(shù)極小值存在一般情況下很難得到R(D)的顯函數(shù)表達(dá)式，只能得到參量表達(dá)式具體計(jì)算很困難，一般利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代計(jì)算在一些特殊情況下，R(D)有顯式解。舉例(1)§7.3:率失真函數(shù)－5二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)信源的R(D)計(jì)算已知條件：二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)信源U={0,1}，接收變量V={0,1}，允許的失真DP(u)=[ω，1－ω]，ω≤1/2漢明失真矩陣求解步驟：由Dmin=0，找到滿(mǎn)足最小失真的試驗(yàn)信道p(v|u),得到R(0)由漢明失真矩陣和失真度定義，計(jì)算最大允許的失真度Dmax由Dmax，找到滿(mǎn)足最大失真的試驗(yàn)信道p,并得到R(Dmax)在一般條件下當(dāng)0<D<Dmax時(shí)，計(jì)算平均失真度選取一個(gè)信道，使＝D，求互信息求互信息的下限值得到R(D)驗(yàn)證：找到滿(mǎn)足R(D)的試驗(yàn)信道，驗(yàn)證其正確性結(jié)果分析：R(D)曲線(xiàn)分析§7.3:率失真函數(shù)－60.10.20.40.60.81.00.10.20.30.40.5DR(D)(比特/符號(hào)）ω＝0.3ω＝0.1ω＝0.2ω＝0.5對(duì)于同一個(gè)D：信源分布越均勻，R(D)就越大，信源壓縮的可能性越小反之，若信源分布越不均勻，即信源剩余度越大，R(D)就越小，壓縮的可能性就越大。二進(jìn)制對(duì)稱(chēng)信源的R(D)函數(shù)§7.3:率失真函數(shù)－7高斯信源的R(D)計(jì)算已知條件：高斯信源U，其均值為m，方差為σ2，接收變量V概密函數(shù)：失真函數(shù)：均方誤差失真，即：求解步驟：計(jì)算平均失真度當(dāng)≤D，求互信息求互信息的下限值得到包含有D和σ2的R(D)表達(dá)式討論D和σ2比值不同時(shí)R(D)的取值驗(yàn)證：找到滿(mǎn)足R(D)的試驗(yàn)信道，驗(yàn)證其正確性結(jié)果分析：R(D)曲線(xiàn)分析§7.3:率失真函數(shù)－80.00.20.40.60.81.0D/σ2R(D)(比特/自由度）當(dāng)D＝σ