電磁場與電磁波第10講靜電場的邊值問題

電磁場與電磁波主講教師：黃文重慶郵電大學(xué)光電工程學(xué)院電磁場與無線技術(shù)教學(xué)部

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辦公室：老1教1403

2Maintopic3.

鏡像法

1.

泊松方程和拉普拉斯方程2.

靜電問題解的唯一性4.

直角坐標(biāo)系中的邊值問題

Chapter4.靜電問題的解3電勢V

和電場強(qiáng)度

E

之間的關(guān)系是：對上式等式兩邊分別進(jìn)行散度操作在各向媒質(zhì)的線性媒質(zhì)中,電場強(qiáng)度

E

的散度為1.

泊松方程和拉普拉斯方程4電勢

的差分方程為稱為

泊松方程（Poisson’sequation）。在沒有自由電荷（無源）

區(qū)域,上述等式變?yōu)榉Q為拉普拉斯方程（Laplace’s

equation）。

5

泊松方程表明均勻媒質(zhì)中，V的拉普拉斯運(yùn)算(梯度的散度)等于–/,其中

是介質(zhì)的介電常數(shù)(它是常數(shù))，

是自由電荷體密度。算子

2,拉普拉斯算子，代表“梯度的散度”

或“”。因?yàn)樯⒍冗\(yùn)算和梯度運(yùn)算都涉及一階空間導(dǎo)數(shù)，所以泊松方程是一個(gè)二階偏微分方程，在二階導(dǎo)數(shù)存在的空間中每一點(diǎn)，二階偏微分方程都成立。Remarks6在直角坐標(biāo)系中:在球坐杯系中:在圓柱坐標(biāo)系中:7邊值問題研究方法計(jì)算法解析法積分變換法分離變量法鏡像法（電軸法）微分方程法保角變換法實(shí)驗(yàn)法作圖法實(shí)測法模擬法定性定量數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法數(shù)值法有限差分法有限元法邊界元法矩量法半解析法/半數(shù)值法格林函數(shù)法8表明:

在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。

用電位函數(shù)V

表示分界面上的銜接條件

設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d，d→0,則電位的銜接條件在分界面兩側(cè)：電位法向?qū)?shù)發(fā)生躍變9Example1.一維泊松方程的解類似例4-1（P103）兩個(gè)金屬平板面積為A相距為

d

形成一個(gè)平行板電容器。

上平板電勢為V0

,下平板接地。

求解(a)電勢分布(b)電場強(qiáng)度(c)各平板的電荷分布(d)平行板電容器的電容對給定的圖形選擇合適的坐標(biāo)系2.寫出有關(guān)的計(jì)算式和邊界條件。解:勻強(qiáng)電場，電位V只是隨高度z的變化而變化104.特解（帶入邊界條件求解未知系數(shù)）3.方程的通解1112Example2.

同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a

，電勢為V0

；外導(dǎo)體接地，其半徑為b。求解(a)兩導(dǎo)體間電勢分布(b)電場強(qiáng)度(c)內(nèi)導(dǎo)體的電荷密度(d)每單位長度的電容解:對給定的圖形選擇合適的坐標(biāo)系2.寫出相關(guān)的計(jì)算式和邊界條件134.特解（帶入邊界條件求解未知系數(shù)）

3.方程的通解1415Example3

一個(gè)很大的平行板電容器的上下導(dǎo)體板之間距離為d，電位分別為V0

和0。

在下板上面放置介質(zhì)板，其相對介電常數(shù)為r

厚度為0.8d。求解E

和

D

。yxD2D1E2E116(1)

求解區(qū)域：平行板電容器之間的區(qū)域(2)

分區(qū)：由于填充兩種介質(zhì)，因此場量在分界面上會(huì)發(fā)生突變，因此，分成兩個(gè)子區(qū)域(3)

建立坐標(biāo)系：豎直向上為y軸方向，建立坐標(biāo)系(4)

場分布分析：在兩種介質(zhì)中都是勻強(qiáng)電場，電位V只是隨高度y的變化而變化V(y)，而與x，z無關(guān)，(5)

寫出場方程與邊界條件：待求量是兩個(gè)區(qū)域的電位V1

、V2，場方程：泊松方程（有源）or拉普拉斯方程（無源）yxD2D1E2E117區(qū)域1：區(qū)域2：yxD2D1E2E118

寫出通解：一維邊值問題BVP電位的邊界條件，兩個(gè)介質(zhì)的銜接條件：1920yxD2D1E2E121唯一性定理:滿足給定邊界條件的泊松方程（其中拉普拉斯方程是特例）的解是唯一解。

唯一性定理并不代表求解靜電問題只有唯一一種方法。

唯一性定理的含義是：無論以何種方法求解，滿足邊界條件的靜電問題的解是唯一可能的解。甚至猜測得到的解也是正確的惟一解。2.

靜電問題解的唯一性邊值問題數(shù)學(xué)物理方程描述物理量隨時(shí)間和空間的變化特性。對特定的區(qū)域和時(shí)間，方程的解基于初始條件和邊界條件，它們又稱為定解條件。靜電場與時(shí)間無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。定解條件初始條件邊界條件根據(jù)給定邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場的邊值問題。

此處邊界條件實(shí)際上是指給定的邊值，它不同于前一章描述靜電場的邊界上場量變化的邊界條件。23根據(jù)已知區(qū)域邊界條件（定解條件）的不同，電位邊值問題分為三類：第一類狄利克雷(Dirichlet)問題是給定區(qū)域邊界上的電位值：第二類紐曼(Neumann)問題是給定區(qū)域邊界上的電位的法向?qū)?shù)值：第三類混合邊值問題在區(qū)域的一部分邊界上給定電位值，另一部分邊界上給定電位的法向?qū)?shù)值。

求解方法：均為分離變量法。24

在直角坐標(biāo)中，標(biāo)量電位V

的拉普拉斯方程為令代入上述式子，除以X(x)Y(y)Z(z)

得到每一項(xiàng)都只是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)

。為了使式子對x、y和z的所有值都成立，三項(xiàng)中每一項(xiàng)都必須為常數(shù)。令常數(shù)為,可得3.

直角坐標(biāo)中的邊值問題25

三個(gè)分離常數(shù)并非相互獨(dú)立，而是滿足以下條件：

三維偏微分方程可分離為三個(gè)常微分方程,而常微分方程的解很容易得到?；蚱渲?/p>

A,B,C,D

為需要確定的常數(shù)

。kx

，ky

，kz

稱為分離常數(shù),可以是實(shí)數(shù)也可以是虛數(shù)。如果

kx

為實(shí)數(shù),關(guān)于變量x的方程解可以寫作（表4-1，P119)26或

關(guān)于變量y

和

z

的方程的解具有相同的形式。這些解的乘積就是最初的偏微分方程的解。分離常數(shù)也可以為虛數(shù)。如果為虛數(shù)，可以寫為,式子關(guān)于變量x的解變?yōu)?/p>

已知的邊界條件將決定恰當(dāng)?shù)慕獾男问?，及常?shù)A和B或C或C和D的選取。27Example.

（例4-6，p120)兩塊接地的半無限大平行電極板相距d。與這兩塊電極板垂直且絕緣的第三塊電極板保持恒定電位V0。求由電極板圍成區(qū)域內(nèi)的電位分布。解:

選擇直角坐標(biāo)系。

因?yàn)殡姌O板在z-方向是無限大,所求區(qū)域電位與z無關(guān),為二維問題。電位的拉普拉斯方程為變?yōu)椋篸xyV=0V=0V=V0O28用分離變量法，令凹槽內(nèi)電位的邊界條件

可表示為為滿足邊界條件和,Y(y)

的解可以選為

從邊界條件,在y=0時(shí)有V=0

，于是常數(shù)B=0。為滿足

,常數(shù)ky

為dxyV=0V=0V=V0O29可得因?yàn)?/p>

，得到

常數(shù)

kx

為虛數(shù),X(x)

的解為因?yàn)楫?dāng)x

時(shí)，V

=

0,常數(shù)C=0,且那么其中常數(shù)C=AD

.dxyV=0V=0V=V0O30因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)

V=V0,可得

上式右邊部分為變量,因?yàn)?/p>

C

和

n

的值沒有確定.為滿足x=0處的條件,解的線性組合

也是一個(gè)解,可得為滿足邊界條件

x=0,V=V0

,有dxyV=0V=0V=V0O31

上式右邊為傅立葉級數(shù)。利用傅立葉級數(shù)各項(xiàng)之間的正交性，系數(shù)

Cn

可以求得最后，凹槽中的電位為0dxyV=0V=0V=V0ElectricfieldlinesEquipotentialsurfaces32點(diǎn)電荷和帶電的球殼、球體在R>a的區(qū)域中產(chǎn)生的場是是相等的，稱為這三種源是相互等效的.注：在R<a的區(qū)域是不等效的，所以等效只是對某一區(qū)域等效，對另一區(qū)域是不等效的xyzxyzaxyza4.

鏡像法33yQd半空間問題Example.

考慮一個(gè)正的的點(diǎn)電荷Q與無限大的接地（零電位）導(dǎo)體平面相距為d的情況。求導(dǎo)體平面(y>0)上每一個(gè)點(diǎn)的電位。(1)chap2：感應(yīng)電荷很難求(2)直接解方程:34yQd半空間問題點(diǎn)電荷＆感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場，靜態(tài)平衡后，導(dǎo)體表面是等勢面，電力線與其正交。而這種電力線的分布與以xoz平面為對稱面，在（0，d，0）處點(diǎn)電荷Q，（0，－d，0）處有－Q的一對點(diǎn)電荷在y>0空間的電力線分布相似。(3)另辟蹊徑：(等效原理)感應(yīng)（極化）電荷產(chǎn)生的場，由假想的簡單電荷（像點(diǎn)電荷線電荷等）分布產(chǎn)生的場來等效(4)問題：引入像電荷后求得的場，是不是原問題的場？判斷的依據(jù)

（uniqueness

theorem）是不是滿足原問題的場方程＆邊界條件？35ImageChargeImagemethodV(x,0,z)=0yQ–Q根據(jù)場疊加原理，寫出點(diǎn)電荷和鏡像電荷在上半空間任意一點(diǎn)P處產(chǎn)生的場的表達(dá)式BVPB－C（判斷的條件）等效問題的場就是原問題的場36鏡像法

實(shí)質(zhì):以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算過程大為簡化。依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入不能改變原來的邊界條件。這些等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。局限性：僅僅對于某些特殊的邊界（無限大平面，無限長劈形，無限長圓柱體，球面）以及特殊的電荷分布才有可能確定其鏡像電荷。

37q

對于半無限大的劈形邊界,鏡像法也適用。但是只有當(dāng)導(dǎo)體劈形邊界的角度為時(shí),且n為整數(shù)時(shí)才能找到鏡像電荷。但是為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個(gè)鏡像電荷。/3當(dāng)一個(gè)無限長的線電荷靠近無限大的導(dǎo)體平面時(shí)，也可以采用鏡像法，其原理是疊加定理。/3q例如，夾角為的導(dǎo)電劈需引