函數(shù)模型及其應(yīng)用分析

第9課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用ax＋b

ax2＋bx＋c

2．三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)

函數(shù)單調(diào)

函數(shù)單調(diào)

函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越

.越來(lái)越

.相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與

軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近

.隨n值變化而不同增增增快慢y平行答案：

A2．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a＞0)，小王騎自行車(chē)以勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖象為()解析：

注意到y(tǒng)為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程”而不是位移，用定性分析法不難得到答案為D.答案：

D3．某企業(yè)去年銷(xiāo)售收入1000萬(wàn)元，年成本為生產(chǎn)成本500萬(wàn)元與年廣告成本200萬(wàn)元兩部分．若年利潤(rùn)必須按p%納稅，且年廣告費(fèi)超出年銷(xiāo)售收入2%的部分也按p%納稅，其他不納稅．已知該企業(yè)去年共納稅120萬(wàn)元．則稅率p%為()A．10%B．12%C．25%D．40%答案：

C4．一種產(chǎn)品的成本原為a元，在今后的m年內(nèi)，計(jì)劃使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是經(jīng)過(guò)年數(shù)x(0<x≤m)的函數(shù)，其關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)可寫(xiě)成________．解析：依題意有y＝a(1－p%)x(0<x≤m)．答案：

y＝a(1－p%)x(0<x≤m)5．某出租車(chē)公司規(guī)定乘車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3公里以?xún)?nèi)為起步價(jià)8元(即行程不超過(guò)3公里，一律收費(fèi)8元)；若超過(guò)3公里，除起步價(jià)外，超過(guò)的部分再按1.5元/公里計(jì)價(jià)；若司機(jī)再與某乘客約定按四舍五入以元計(jì)費(fèi)不找零錢(qián)．已知該乘客下車(chē)時(shí)乘車(chē)?yán)锍虜?shù)為7.4公里，則該乘客應(yīng)付的車(chē)費(fèi)為_(kāi)_______．解析：依題意得，實(shí)際乘車(chē)車(chē)費(fèi)為：8＋1.5×(7.4－3)＝14.6，應(yīng)付車(chē)費(fèi)15元．答案：15元

隨著我國(guó)加入WTO，某企業(yè)決定從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種投資生產(chǎn)，打入國(guó)際市場(chǎng)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān)，a為常數(shù)，且3≤a≤8.另外，年銷(xiāo)售x件乙產(chǎn)品時(shí)需上交0.05x2萬(wàn)美元的特別關(guān)稅．(1)寫(xiě)出該廠(chǎng)分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)y1、y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x(x∈N)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)．年固定成本(萬(wàn)美元)每件產(chǎn)品成本(萬(wàn)美元)每件產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)(萬(wàn)美元)每年最多可生產(chǎn)件數(shù)甲產(chǎn)品20a10200乙產(chǎn)品40818120解析：(1)由題知y1＝10x－(20＋ax)＝(10－a)x－20，0≤x≤200且x∈N；y2＝18x－(40＋8x)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40＝－0.05(x－100)2＋460，0≤x≤120且x∈N.(2)∵3≤a≤8，∴10－a>0，∴y1＝(10－a)x－20為增函數(shù)．又0≤x≤200，x∈N，∴x＝200時(shí)y1取最大值，即生產(chǎn)甲產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)為(10－a)×200－20＝1980－200a(萬(wàn)美元)．又y2＝－0.05(x－100)2＋460，0≤x≤120，x∈N，∴x＝100時(shí)y2取最大值，即生產(chǎn)乙產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)為460萬(wàn)美元．二次函數(shù)是我們比較熟悉的函數(shù)模型，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域或最值．解決實(shí)際中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，一定要分析自變量的取值范圍．利用配方法求最值時(shí)，一定要注意對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的關(guān)系：若對(duì)稱(chēng)軸在給定的區(qū)間內(nèi)，可在對(duì)稱(chēng)軸處取一最值，在離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取另一最值；若對(duì)稱(chēng)軸不在給定的區(qū)間內(nèi)，最值都在區(qū)間的端點(diǎn)處取得．1.一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長(zhǎng)分別為40cm與60cm，現(xiàn)將它剪成一個(gè)矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個(gè)角．問(wèn)怎樣剪，才能使剩下的殘料最少？解析：如圖，剪出的矩形為CDEF，∵0<x<60，∴當(dāng)x＝30時(shí)，S取得最小值為600，這時(shí)y＝20.∴在邊長(zhǎng)為60cm的直角邊CB上截CD＝30cm，在邊長(zhǎng)為40cm的直角邊AC上截CF＝20cm時(shí)，能使所剩殘料最少．據(jù)氣象中心觀(guān)察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速率v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過(guò)線(xiàn)段OC上一點(diǎn)T(t，0)作橫軸的垂線(xiàn)l，梯形OABC在直線(xiàn)l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程s(km)．(1)當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)由圖象可知：當(dāng)t＝4時(shí)，v＝3×4＝12，∴s＝×4×12＝24(km)．分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值的取舍．構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理、不重不漏．2.某市有甲、乙兩家乒乓球俱樂(lè)部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同，甲家每張球臺(tái)每小時(shí)5元；乙家按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以?xún)?nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元，超過(guò)30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元．小張準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，也不超過(guò)40小時(shí)．(1)設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為f(x)元(15≤x≤40)，乙家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(15≤x≤40)．試求f(x)和g(x)；(2)問(wèn)：小張選擇哪家比較合算？為什么？當(dāng)x＝18時(shí)，f(x)＝g(x)，即可以選甲家，也可以選乙家；當(dāng)18<x≤30時(shí)，f(x)－g(x)＝5x－90>0，∴f(x)>g(x)，即選乙家；當(dāng)30<x≤40時(shí)，f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30>0，∴f(x)>g(x)，即選乙家．綜上所述，當(dāng)15≤x<18時(shí)，選甲家，當(dāng)x＝18時(shí)，可以選甲家，也可以選乙家，當(dāng)18<x≤40時(shí)，選乙家．急劇增加的人口已經(jīng)使我們賴(lài)以生存的地球不堪重負(fù)．控制人口急劇增長(zhǎng)的緊迫任務(wù)擺在我們的面前．(1)世界人口在過(guò)去的40年內(nèi)翻了一番，問(wèn)每年人口平均增長(zhǎng)率是多少？(2)我國(guó)人口在2006年底達(dá)到13.14億，若將人口平均增長(zhǎng)率控制在1%以?xún)?nèi)，我國(guó)人口在2016年底至多有多少億？以下對(duì)數(shù)值可供計(jì)算時(shí)使用：N1.0101.0151.0171.3102.000lgN0.00430.00650.00730.11730.3010N12.4813.1113.1414.51lgN1.09621.11761.11861.1616(2)依題意得y≤13.14(1＋1%)10，兩邊取對(duì)數(shù)得，lgy≤lg13.14＋10lg(1＋1%)≈1.1616，y≤14.51，故2016年底至多有人口14.51億．1.指數(shù)函數(shù)模型，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)表示；2．應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型將有關(guān)已知數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．3.在本例(2)的條件下，要使我國(guó)人口總量在2056年底，控制在26.28億內(nèi)，則平均年增長(zhǎng)率最大是多少？解析：設(shè)平均年增長(zhǎng)率為x，則13．14(1＋x)50≤26.28，(1＋x)50≤2，50lg(1＋x)≤lg2，lg(1＋x)≤0.00602，1＋x≤1.015，x≤0.015＝1.5%.答：最大增長(zhǎng)率為1.5%.1．函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤．所以，正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型．2．要特別關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．3．注意問(wèn)題反饋．在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.

通過(guò)對(duì)近兩年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析可以看出，對(duì)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的考查，多以社會(huì)實(shí)際生活為背景，設(shè)問(wèn)新穎、靈活，而解決這些問(wèn)題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法又都是高中教材和大綱中所要求掌握的概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識(shí)和方法，此類(lèi)問(wèn)題一般涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性較強(qiáng)，屬中高檔題，題型以解答題為多，但也有選擇題和填空題．函數(shù)應(yīng)用題的解題技法·輕松圓夢(mèng)滿(mǎn)分(本小題滿(mǎn)分12分)(2011·湖北卷)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v(單位：千米/時(shí))是車(chē)流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀(guān)測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí))(1)本題有兩次建模，一是建立關(guān)于速度v，二是建立關(guān)于車(chē)流量．(2)本題的函數(shù)模型是分段的一次函數(shù)和二次函數(shù)，