第8章空間實(shí)體單元

第8章空間實(shí)體單元

8.1概述許多工程實(shí)際問(wèn)題屬于空間問(wèn)題。用有限元法分析空間問(wèn)題和分析平面問(wèn)題在原理、思路和解題方法完全相同，基本未知量仍然是節(jié)點(diǎn)位移。不同的是單元具有三維特點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)位移在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸方向都有分量：u、v、w。它的基本方程比平面問(wèn)題要多，有3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程。分析方法仍然是先進(jìn)行單元分析，再進(jìn)行系統(tǒng)分析，最后求解系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)平衡方程，解算內(nèi)力或應(yīng)力?？臻g離散化后的單元模型主要有：四面體單元、長(zhǎng)方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元，如圖8-1所示。(a)(b)(c)(d)圖8-1空間實(shí)體單元模型(a)圖為4節(jié)點(diǎn)四面體單元，是空間問(wèn)題最簡(jiǎn)單的單元，也是常應(yīng)變、常應(yīng)力單元。類似平面問(wèn)題三節(jié)點(diǎn)三角形單元進(jìn)行分析。？(b)圖w為長(zhǎng)方體單元，可以類似平面四節(jié)點(diǎn)矩形單元進(jìn)行分析。

(c)圖為任意八節(jié)點(diǎn)六面體單元，可以類似平面四節(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元進(jìn)行分析。(d)圖為20節(jié)點(diǎn)曲邊六面體單元，可以類似平面八節(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元進(jìn)行分析。8.24節(jié)點(diǎn)四面體常應(yīng)變單元1、位移模式

如圖8-2所示，取四面體的4個(gè)頂點(diǎn)i,j,m,n為節(jié)點(diǎn)。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)位移分量，即（8-1）單元節(jié)點(diǎn)位移向量為（8-2）與平面問(wèn)題式（2-12）類似，假定單元內(nèi)一點(diǎn)的位移分量為坐標(biāo)的線性函數(shù)（8-3）將式（8-3）的第1式應(yīng)用于4個(gè)結(jié)點(diǎn)，則ijmnxyz圖8-2（8-4）由此可解出a1～a4，再代回到式（8-3）的第1式，與式（2-19）的第1式類似，有（8-5）式中形函數(shù)具有與式（2-18）類似的形式：（8-6）其中（8-7）（8-8）在式（8-8）中，V為四面體的體積。為使其計(jì)算值不為負(fù)，單元的節(jié)點(diǎn)（i,j,m,n）編號(hào)次序應(yīng)遵循右手法則。(p4)采用同樣的方法，可得（8-9）（8-10）將式（8-5）、（8-9）（8-10）統(tǒng)一用矩陣式表示，可得與平面問(wèn)題式（2-20）類似的公式（8-11）式中[N]為單元形函數(shù)矩陣，其維數(shù)為3×12。進(jìn)一步可寫(xiě)為與平面問(wèn)題式（2-21）、（2-22）類似的子塊形式（8-12）其中，子矩陣（8-13）式中，I為3階單位矩陣。2、應(yīng)變矩陣

在空間問(wèn)題中，每點(diǎn)有6個(gè)應(yīng)變分量。幾何方程為：（8-14）將式（8-11）～（8-13）和（8-6）代入上式，得（8-15）式中（8-16）上式（8-15）、（8-16）與平面問(wèn)題式（2-24）～（2-26）類似。與平面問(wèn)題三節(jié)點(diǎn)三角形單元相同，在四節(jié)點(diǎn)四面體單元中，[B]的元素都是常量，因此是常應(yīng)變單元。2、應(yīng)力矩陣

三維問(wèn)題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也可寫(xiě)為式（2-8）的矩陣形式（8-17）與平面問(wèn)題不同，這里和分別由6個(gè)分量組成，彈性矩陣[D]是一個(gè)6×6的矩陣：（8-18）（8-19）（8-20）將式（8-20）所表示的[D]和式（8-15）、（8-16）所表示的[B]代入式（8-22），并將[S]定成分塊矩陣的形式，有將式（8-15）代入式（8-17），得（8-21）應(yīng)力矩陣[S]為（8-22）由于[D]、[B]都是常數(shù)矩陣，因此應(yīng)力矩陣[S]也是常數(shù)矩陣。也就是說(shuō)，單元中的應(yīng)力分量也是常數(shù)。（8-23）式中（8-24）其中（8-25）3、單元?jiǎng)偠染仃?/p>

仿照平面問(wèn)題中的推導(dǎo)，可得單元平衡方程（8-26）單元?jiǎng)偠染仃嚲哂信c式（2-33）類似的形式（8-27）式中，[k]是一個(gè)12×12的矩陣。由于[B]、[D]都是常數(shù)矩陣，所以[k]也是一個(gè)常量矩陣。并且（8-28）寫(xiě)成分塊矩陣的形式，有（8-29）式中子矩陣[krs]為3×3的矩陣（8-30）4、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力向量

式（8-26）中的單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)力也包括體積力、表面力、集中力幾部分。體積力與表面力的計(jì)算公式與平面三角形單元公式（2-36）、（2-37）類似：（8-31）（8-32）對(duì)于簡(jiǎn)單情形，也可采用靜力等效原則簡(jiǎn)化計(jì)算。進(jìn)一步的整體平衡方程的建立（即結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié)構(gòu)等價(jià)節(jié)點(diǎn)力列陣的組集）、位移約束條件的引入、線性方程組的求解等，和平面問(wèn)題有限元法一樣，不再贅述。8.3二十結(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元由于精度高，容易適應(yīng)不同邊界，在平面問(wèn)題中常選用了八節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元。與此類似，在三維問(wèn)題中,常選用二十節(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元。如圖8-3所示，在整體坐標(biāo)系的二十節(jié)點(diǎn)六面體的實(shí)際單元與中心在局部坐標(biāo)的原點(diǎn)、邊長(zhǎng)為2的立方體基本單元相對(duì)應(yīng)。1234567891011121314151617181920????????????????????xyz6121812345789101113141516171920????????????????????=-1=1=1=-1=1圖8-3實(shí)際單元基本單元1、位移模式、形函數(shù)和坐標(biāo)變換式=-1（8-33）（8-34）形函數(shù)的表達(dá)式如下：

（8-35）式中位移模式和坐標(biāo)變換式可寫(xiě)為如下形式：根據(jù)幾何方程，單元中的應(yīng)變?yōu)?、應(yīng)變矩陣（8-36）其中（8-37）應(yīng)變矩陣的子矩陣[Bi]為：（8-38）根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，有（8-39）式中[J]-1為雅可比矩陣[J]的逆矩陣。[J]的表達(dá)式為（8-40）3、應(yīng)力矩陣單元中的應(yīng)力為單元應(yīng)力矩陣[S]為（8-41）4、單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚳蓪?xiě)成（8-42）[k]是一個(gè)60×60的矩陣，式（8-42）通常采用高斯法進(jìn)行積分。5、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩陣等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式如下：（1）體積力設(shè)單位體積力是，則等價(jià)節(jié)點(diǎn)力為（8-43）（2）表面力設(shè)某邊界面上作用表面力，則等價(jià)節(jié)點(diǎn)力為（8-44）設(shè)該邊界面對(duì)應(yīng)基本單元=±1的面。由數(shù)學(xué)公式，結(jié)構(gòu)坐標(biāo)下曲面微元dS對(duì)應(yīng)于單元坐標(biāo)下的微元面積式為（8-45）則式（8-44）可寫(xiě)為單元坐標(biāo)系下的積分公式（8-46）以上為=±1的表面力計(jì)算公式。對(duì)于其他表面力，可類似處理。式（8-46）通常也采用高斯法進(jìn)行積分計(jì)算。8.4空間軸對(duì)稱單元許多工程構(gòu)件，其幾何形狀、約束條件及所受的荷載都對(duì)稱于某一軸，因而所有的位移、應(yīng)變和應(yīng)力分量也都對(duì)稱于該軸。這類問(wèn)題稱空間軸對(duì)稱問(wèn)題。對(duì)空間軸對(duì)稱問(wèn)題，采用圓柱坐標(biāo)系，r表示徑向坐標(biāo)，z表示軸向坐標(biāo)，任一對(duì)稱面為rz面。在有限元分析時(shí)，采用繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周的軸對(duì)稱環(huán)形單元。把軸對(duì)稱的工程構(gòu)件與rz坐標(biāo)平面正交的截面劃分為一些三角形，例如其中一個(gè)是ijm（圖8-4）。由這些三角形旋轉(zhuǎn)一周就構(gòu)成上述環(huán)形單元。圖8-4軸對(duì)稱構(gòu)件及三角形環(huán)形單元r(u)z(w)ij當(dāng)然，也可以劃分為矩形，構(gòu)成矩形截面的環(huán)形單元?？傊?，單元截面形狀，可采用三角形、四邊形等平面有限元法所用單元形狀。本節(jié)只討論三角形截面的環(huán)形單元，其它截面形狀環(huán)形單元可參照本節(jié)方法進(jìn)行分析。各個(gè)環(huán)形單元（后簡(jiǎn)稱單元）間用位于三角形頂點(diǎn)的環(huán)形鉸聯(lián)系起來(lái)，就成了離散結(jié)構(gòu)模型。我們把環(huán)形鉸在rz平面的交點(diǎn)（即三角形頂點(diǎn)）稱為單元的節(jié)點(diǎn)（如i,j,m）。因此對(duì)軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行有限元分析只需在rz平面劃分網(wǎng)格，就像平面問(wèn)題在xy平面上劃分網(wǎng)格一樣。照此思路，軸對(duì)稱空間問(wèn)題被大大簡(jiǎn)化。1、位移模式對(duì)于如圖8-4所示軸對(duì)稱三角形環(huán)形單元，是由如圖8-5所示平面上的三角形繞對(duì)稱軸軸回旋一周得到的?？紤]到問(wèn)題的軸對(duì)稱特點(diǎn)，可以借助于平面問(wèn)題三節(jié)點(diǎn)三角形單元位移模式進(jìn)行單元分析。圖8-5rzijmrirjrm由于軸對(duì)稱，環(huán)向位移恒等于零。只有徑（r）向位移和軸（z）向位移，它們恰在rz坐標(biāo)平面上。設(shè)徑向位移為u，軸向位移為w。對(duì)于圖8-5所示情形，借助平面問(wèn)題的三角形單元，取位移模式為？（8-47）代入節(jié)點(diǎn)位移后，可解出a1～a6，再代入上式，得（8-48）其中，形函數(shù)（8-49）式中A,ai,bi,ci，與平面問(wèn)題三角形單元的對(duì)應(yīng)公式（2-15）、（2-17）一致，區(qū)別僅僅是將那里的x,y換成這里的r,z。式（8-48）也可寫(xiě)為式（2-20）同樣的形式（8-50）式中，[Ni]=NiI(i,j,m)，其中I為2階單位矩陣。2、應(yīng)變矩陣根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對(duì)稱問(wèn)題的幾何方程為（8-51）與平面問(wèn)題中只含有3個(gè)應(yīng)變分量不同，這里含有4個(gè)應(yīng)變分量。將u,w的表達(dá)代入式（8-51），得（8-52）式中（8-53）其中（8-54）由式（8-52）～（8-54）可見(jiàn)，矩陣中含有變量r,z，因此它不是常數(shù)矩陣。即軸對(duì)稱問(wèn)題的三角形環(huán)形單元不是常應(yīng)變單元。3、應(yīng)力矩陣根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為（8-55）式中[D]是軸對(duì)稱問(wèn)題的彈性矩陣（8-56）將式（8-52）代入式（8-55），得（8-57）應(yīng)力矩陣[S]=[D][B]顯然，除rz外，單元中其他應(yīng)力分量不是常數(shù)。4、單元?jiǎng)偠染仃囕S對(duì)稱問(wèn)題的單元?jiǎng)偠染仃嚳捎墒剑?-27）計(jì)算由于被積函數(shù)與無(wú)關(guān)，故在三角形截面的環(huán)單元的積分可簡(jiǎn)化為在三角形截面上的積分：（8-58）式（8-58）中，[B]不是常數(shù)，而由式（8-53）、（8-54）確定。式（8-53）、（8-54）中，ai,bi,ci是（P32）（1）一般公式（2）近似計(jì)算可見(jiàn)，單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算比平面三角形單元麻煩。須對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算或近似計(jì)算?，F(xiàn)在，討論面積分?Ag(r,z)drdz的計(jì)算問(wèn)題。雖為常數(shù)，由式（2-17）計(jì)算，但fi是r,z的函數(shù)。式（8-58）被積函數(shù)[B]T[D][B]r是r,z的函數(shù)，暫簡(jiǎn)寫(xiě)為g(r,z)。式（8-58）可寫(xiě)為圖8-6rzijm對(duì)于一個(gè)典型三角形截面ijm（圖8-6），過(guò)j點(diǎn)作垂直于r軸的直線，將三角形ijm，分成兩個(gè)三角形：A1，A2。于是，有A2A1（8-59）完成上述積分可采用數(shù)值方法，有專門(mén)的二重?cái)?shù)值積分程序可供引用。也可采用近似方法完成：當(dāng)單元較小時(shí)，常把各個(gè)單元中的r,z近似看作常數(shù)，并且分別等于各單元形心的坐標(biāo)，即ijmA2A1rzdefZ1(r)Z2(r)Z3(r)則式（8-54）成為常數(shù)：（8-60）這樣，就可把各個(gè)單元近似地當(dāng)做常應(yīng)變單元，式（8-58）變成（8-61）式中[B]是從式（8-52）～（8-54）將[B]中的r,z用r,z代替后得出的。若將單元?jiǎng)偠染仃嘯k]寫(xiě)為子塊形式其中，子矩陣可近似為（8-62）寫(xiě)成顯式（8-63）式中A1,A2,A3由式（8-25）確定。5、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力軸對(duì)稱問(wèn)題的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力可用類似平面問(wèn)題的式（2-36）、（2-37）寫(xiě)出。對(duì)于作用于三角形環(huán)單元上的體積力、表面力的等效結(jié)點(diǎn)力為：（8-64）（1）體積力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力①一般公式體積力等價(jià)節(jié)點(diǎn)力的一般計(jì)算式為②重力設(shè)物體的容重為(=g)，則由式（8-64），有（8-65）注意到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)與面積坐標(biāo)的關(guān)系式：（8-66）以及Ni與Li等價(jià)的關(guān)系，利用積分公式（7-27），有（8-67）式中將式（8-67）代入式（8-65），得到（8-68）（2）表面力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力①一般公式由式（8-69）計(jì)算等價(jià)節(jié)點(diǎn)力時(shí)，其中r由（8-66）式確定。并注意到在ij邊上有Lm=0。利用式（7-28）進(jìn)行積分，最后得（8-69）表面力等