第8章空間實體單元

第8章空間實體單元

8.1概述許多工程實際問題屬于空間問題。用有限元法分析空間問題和分析平面問題在原理、思路和解題方法完全相同，基本未知量仍然是節(jié)點位移。不同的是單元具有三維特點。節(jié)點位移在x、y、z三個坐標軸方向都有分量：u、v、w。它的基本方程比平面問題要多，有3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程。分析方法仍然是先進行單元分析，再進行系統(tǒng)分析，最后求解系統(tǒng)的節(jié)點平衡方程，解算內(nèi)力或應力。空間離散化后的單元模型主要有：四面體單元、長方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元，如圖8-1所示。(a)(b)(c)(d)圖8-1空間實體單元模型(a)圖為4節(jié)點四面體單元，是空間問題最簡單的單元，也是常應變、常應力單元。類似平面問題三節(jié)點三角形單元進行分析。？(b)圖w為長方體單元，可以類似平面四節(jié)點矩形單元進行分析。

(c)圖為任意八節(jié)點六面體單元，可以類似平面四節(jié)點任意四邊形等參元進行分析。(d)圖為20節(jié)點曲邊六面體單元，可以類似平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元進行分析。8.24節(jié)點四面體常應變單元1、位移模式

如圖8-2所示，取四面體的4個頂點i,j,m,n為節(jié)點。每一個節(jié)點有3個位移分量，即（8-1）單元節(jié)點位移向量為（8-2）與平面問題式（2-12）類似，假定單元內(nèi)一點的位移分量為坐標的線性函數(shù)（8-3）將式（8-3）的第1式應用于4個結(jié)點，則ijmnxyz圖8-2（8-4）由此可解出a1～a4，再代回到式（8-3）的第1式，與式（2-19）的第1式類似，有（8-5）式中形函數(shù)具有與式（2-18）類似的形式：（8-6）其中（8-7）（8-8）在式（8-8）中，V為四面體的體積。為使其計算值不為負，單元的節(jié)點（i,j,m,n）編號次序應遵循右手法則。(p4)采用同樣的方法，可得（8-9）（8-10）將式（8-5）、（8-9）（8-10）統(tǒng)一用矩陣式表示，可得與平面問題式（2-20）類似的公式（8-11）式中[N]為單元形函數(shù)矩陣，其維數(shù)為3×12。進一步可寫為與平面問題式（2-21）、（2-22）類似的子塊形式（8-12）其中，子矩陣（8-13）式中，I為3階單位矩陣。2、應變矩陣

在空間問題中，每點有6個應變分量。幾何方程為：（8-14）將式（8-11）～（8-13）和（8-6）代入上式，得（8-15）式中（8-16）上式（8-15）、（8-16）與平面問題式（2-24）～（2-26）類似。與平面問題三節(jié)點三角形單元相同，在四節(jié)點四面體單元中，[B]的元素都是常量，因此是常應變單元。2、應力矩陣

三維問題的應力應變關(guān)系也可寫為式（2-8）的矩陣形式（8-17）與平面問題不同，這里和分別由6個分量組成，彈性矩陣[D]是一個6×6的矩陣：（8-18）（8-19）（8-20）將式（8-20）所表示的[D]和式（8-15）、（8-16）所表示的[B]代入式（8-22），并將[S]定成分塊矩陣的形式，有將式（8-15）代入式（8-17），得（8-21）應力矩陣[S]為（8-22）由于[D]、[B]都是常數(shù)矩陣，因此應力矩陣[S]也是常數(shù)矩陣。也就是說，單元中的應力分量也是常數(shù)。（8-23）式中（8-24）其中（8-25）3、單元剛度矩陣

仿照平面問題中的推導，可得單元平衡方程（8-26）單元剛度矩陣具有與式（2-33）類似的形式（8-27）式中，[k]是一個12×12的矩陣。由于[B]、[D]都是常數(shù)矩陣，所以[k]也是一個常量矩陣。并且（8-28）寫成分塊矩陣的形式，有（8-29）式中子矩陣[krs]為3×3的矩陣（8-30）4、等價節(jié)點力向量

式（8-26）中的單元等價節(jié)點力也包括體積力、表面力、集中力幾部分。體積力與表面力的計算公式與平面三角形單元公式（2-36）、（2-37）類似：（8-31）（8-32）對于簡單情形，也可采用靜力等效原則簡化計算。進一步的整體平衡方程的建立（即結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié)構(gòu)等價節(jié)點力列陣的組集）、位移約束條件的引入、線性方程組的求解等，和平面問題有限元法一樣，不再贅述。8.3二十結(jié)點六面體等參數(shù)單元由于精度高，容易適應不同邊界，在平面問題中常選用了八節(jié)點四邊形等參數(shù)單元。與此類似，在三維問題中,常選用二十節(jié)點六面體等參數(shù)單元。如圖8-3所示，在整體坐標系的二十節(jié)點六面體的實際單元與中心在局部坐標的原點、邊長為2的立方體基本單元相對應。1234567891011121314151617181920????????????????????xyz6121812345789101113141516171920????????????????????=-1=1=1=-1=1圖8-3實際單元基本單元1、位移模式、形函數(shù)和坐標變換式=-1（8-33）（8-34）形函數(shù)的表達式如下：

（8-35）式中位移模式和坐標變換式可寫為如下形式：根據(jù)幾何方程，單元中的應變?yōu)?、應變矩陣（8-36）其中（8-37）應變矩陣的子矩陣[Bi]為：（8-38）根據(jù)復合函數(shù)求導規(guī)則，有（8-39）式中[J]-1為雅可比矩陣[J]的逆矩陣。[J]的表達式為（8-40）3、應力矩陣單元中的應力為單元應力矩陣[S]為（8-41）4、單元剛度矩陣單元剛度矩陣可寫成（8-42）[k]是一個60×60的矩陣，式（8-42）通常采用高斯法進行積分。5、等價節(jié)點力矩陣等價節(jié)點力計算公式如下：（1）體積力設單位體積力是，則等價節(jié)點力為（8-43）（2）表面力設某邊界面上作用表面力，則等價節(jié)點力為（8-44）設該邊界面對應基本單元=±1的面。由數(shù)學公式，結(jié)構(gòu)坐標下曲面微元dS對應于單元坐標下的微元面積式為（8-45）則式（8-44）可寫為單元坐標系下的積分公式（8-46）以上為=±1的表面力計算公式。對于其他表面力，可類似處理。式（8-46）通常也采用高斯法進行積分計算。8.4空間軸對稱單元許多工程構(gòu)件，其幾何形狀、約束條件及所受的荷載都對稱于某一軸，因而所有的位移、應變和應力分量也都對稱于該軸。這類問題稱空間軸對稱問題。對空間軸對稱問題，采用圓柱坐標系，r表示徑向坐標，z表示軸向坐標，任一對稱面為rz面。在有限元分析時，采用繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周的軸對稱環(huán)形單元。把軸對稱的工程構(gòu)件與rz坐標平面正交的截面劃分為一些三角形，例如其中一個是ijm（圖8-4）。由這些三角形旋轉(zhuǎn)一周就構(gòu)成上述環(huán)形單元。圖8-4軸對稱構(gòu)件及三角形環(huán)形單元r(u)z(w)ij當然，也可以劃分為矩形，構(gòu)成矩形截面的環(huán)形單元。總之，單元截面形狀，可采用三角形、四邊形等平面有限元法所用單元形狀。本節(jié)只討論三角形截面的環(huán)形單元，其它截面形狀環(huán)形單元可參照本節(jié)方法進行分析。各個環(huán)形單元（后簡稱單元）間用位于三角形頂點的環(huán)形鉸聯(lián)系起來，就成了離散結(jié)構(gòu)模型。我們把環(huán)形鉸在rz平面的交點（即三角形頂點）稱為單元的節(jié)點（如i,j,m）。因此對軸對稱問題進行有限元分析只需在rz平面劃分網(wǎng)格，就像平面問題在xy平面上劃分網(wǎng)格一樣。照此思路，軸對稱空間問題被大大簡化。1、位移模式對于如圖8-4所示軸對稱三角形環(huán)形單元，是由如圖8-5所示平面上的三角形繞對稱軸軸回旋一周得到的。考慮到問題的軸對稱特點，可以借助于平面問題三節(jié)點三角形單元位移模式進行單元分析。圖8-5rzijmrirjrm由于軸對稱，環(huán)向位移恒等于零。只有徑（r）向位移和軸（z）向位移，它們恰在rz坐標平面上。設徑向位移為u，軸向位移為w。對于圖8-5所示情形，借助平面問題的三角形單元，取位移模式為？（8-47）代入節(jié)點位移后，可解出a1～a6，再代入上式，得（8-48）其中，形函數(shù)（8-49）式中A,ai,bi,ci，與平面問題三角形單元的對應公式（2-15）、（2-17）一致，區(qū)別僅僅是將那里的x,y換成這里的r,z。式（8-48）也可寫為式（2-20）同樣的形式（8-50）式中，[Ni]=NiI(i,j,m)，其中I為2階單位矩陣。2、應變矩陣根據(jù)彈性力學理論，空間軸對稱問題的幾何方程為（8-51）與平面問題中只含有3個應變分量不同，這里含有4個應變分量。將u,w的表達代入式（8-51），得（8-52）式中（8-53）其中（8-54）由式（8-52）～（8-54）可見，矩陣中含有變量r,z，因此它不是常數(shù)矩陣。即軸對稱問題的三角形環(huán)形單元不是常應變單元。3、應力矩陣根據(jù)彈性力學理論，空間軸對稱問題的應力-應變關(guān)系為（8-55）式中[D]是軸對稱問題的彈性矩陣（8-56）將式（8-52）代入式（8-55），得（8-57）應力矩陣[S]=[D][B]顯然，除rz外，單元中其他應力分量不是常數(shù)。4、單元剛度矩陣軸對稱問題的單元剛度矩陣可由式（8-27）計算由于被積函數(shù)與無關(guān)，故在三角形截面的環(huán)單元的積分可簡化為在三角形截面上的積分：（8-58）式（8-58）中，[B]不是常數(shù)，而由式（8-53）、（8-54）確定。式（8-53）、（8-54）中，ai,bi,ci是（P32）（1）一般公式（2）近似計算可見，單元剛度矩陣計算比平面三角形單元麻煩。須對其進行數(shù)值計算或近似計算?，F(xiàn)在，討論面積分?Ag(r,z)drdz的計算問題。雖為常數(shù)，由式（2-17）計算，但fi是r,z的函數(shù)。式（8-58）被積函數(shù)[B]T[D][B]r是r,z的函數(shù)，暫簡寫為g(r,z)。式（8-58）可寫為圖8-6rzijm對于一個典型三角形截面ijm（圖8-6），過j點作垂直于r軸的直線，將三角形ijm，分成兩個三角形：A1，A2。于是，有A2A1（8-59）完成上述積分可采用數(shù)值方法，有專門的二重數(shù)值積分程序可供引用。也可采用近似方法完成：當單元較小時，常把各個單元中的r,z近似看作常數(shù)，并且分別等于各單元形心的坐標，即ijmA2A1rzdefZ1(r)Z2(r)Z3(r)則式（8-54）成為常數(shù)：（8-60）這樣，就可把各個單元近似地當做常應變單元，式（8-58）變成（8-61）式中[B]是從式（8-52）～（8-54）將[B]中的r,z用r,z代替后得出的。若將單元剛度矩陣[k]寫為子塊形式其中，子矩陣可近似為（8-62）寫成顯式（8-63）式中A1,A2,A3由式（8-25）確定。5、等價節(jié)點力軸對稱問題的等價節(jié)點力可用類似平面問題的式（2-36）、（2-37）寫出。對于作用于三角形環(huán)單元上的體積力、表面力的等效結(jié)點力為：（8-64）（1）體積力的等價節(jié)點力①一般公式體積力等價節(jié)點力的一般計算式為②重力設物體的容重為(=g)，則由式（8-64），有（8-65）注意到結(jié)構(gòu)坐標與面積坐標的關(guān)系式：（8-66）以及Ni與Li等價的關(guān)系，利用積分公式（7-27），有（8-67）式中將式（8-67）代入式（8-65），得到（8-68）（2）表面力的等價節(jié)點力①一般公式由式（8-69）計算等價節(jié)點力時，其中r由（8-66）式確定。并注意到在ij邊上有Lm=0。利用式（7-28）進行積分，最后得（8-69）表面力等