第6章1湍流基本理論2010

湍流的基本理論BasicknowledgeofTurbulence2013年10月“能源與環(huán)境”研究中心常州大學(xué)研究生課程《粘性流體力學(xué)》蔣綠林主要內(nèi)容：湍流研究的基本方法和理論雷諾方程以及雷諾應(yīng)力方程、湍流平均動(dòng)能方程、湍動(dòng)能方程、湍動(dòng)能耗散率方程等1湍流的兩種統(tǒng)計(jì)理論歷史上，對(duì)湍流的統(tǒng)計(jì)研究主要沿兩個(gè)方向發(fā)展：一個(gè)是湍流平均量的半經(jīng)驗(yàn)分析，另一個(gè)是湍流相關(guān)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)理論分析。缺點(diǎn)基于大量的試驗(yàn)，確定湍流的特征參數(shù)

基于相關(guān)函數(shù)及譜分析等方法，研究湍流的結(jié)構(gòu)

代表人物能方便地解決實(shí)際問題主要涉及湍流的大尺度運(yùn)動(dòng)，對(duì)了解湍流的實(shí)質(zhì)幫助不夠普朗特馮·卡門尼古拉茲泰勒柯爾莫戈羅夫未能解決工程技術(shù)方面的實(shí)際問題方法增進(jìn)了對(duì)湍流（特別是湍流的小尺度部分）機(jī)理的了解優(yōu)點(diǎn)1.1湍流平均量的半經(jīng)驗(yàn)分析如何來求平均量呢？通常應(yīng)用三種平均方法

時(shí)間平均法(temporalaverage)

空間平均法(spacialaverage)

系綜平均法(ensembleaverage)設(shè)湍流運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)流場(chǎng)為(instantaneousvelocityfield)做法：主要研究各個(gè)參數(shù)的平均量以及它們之間的相互關(guān)系，如平均速度、壓力、邊界層厚度等。時(shí)間平均法(temporalaverage)時(shí)均值的定義為：若平均值

與積分時(shí)刻t0無關(guān)，既使在不同的t0時(shí)刻做多次相同的重復(fù)試驗(yàn)，所得

是一樣的，稱為定常(或準(zhǔn)定常)湍流。

于是瞬時(shí)速度可分為時(shí)均流速和脈動(dòng)流速兩部分：且：嚴(yán)格地講時(shí)間平均法只能用在定常湍流或準(zhǔn)定常湍流，但在一定的條件下也可以推廣到非定常湍流中使用。若非定常湍流的脈動(dòng)周期為T1，平均流動(dòng)的變化周期為T2，而且T1<<T2，在取時(shí)間積分的積分域T時(shí)，使T1<T<T2，這樣得到的時(shí)間平均值可以用來表示非定常湍流：例如：海洋潮汐運(yùn)動(dòng)的周期為12小時(shí)或24小時(shí)，而最低的湍流脈動(dòng)頻率約為1Hz，則平均時(shí)間T取2分鐘即可。常用的時(shí)均運(yùn)算關(guān)系式：設(shè)為湍流物理量的瞬時(shí)值，則：

推論：在準(zhǔn)定常湍流場(chǎng)中，有：空間平均法(spacialaverage)t0時(shí)刻，流場(chǎng)中一點(diǎn)（）流速的體積平均值為積分體積應(yīng)包含（）點(diǎn)，且應(yīng)足夠大體積平均法在滿足以下條件時(shí)也可推廣到非均勻湍流場(chǎng)湍流脈動(dòng)的空間尺度湍流流動(dòng)平均值的空間變化尺度

系綜平均法(ensembleaverage)對(duì)重復(fù)多次的試驗(yàn)進(jìn)行算術(shù)平均可以將上式寫成概率分布（probabilitydistriution）的形式：需要知道流動(dòng)的概率密度函數(shù)各態(tài)遍歷假設(shè)（ergodichypothesis）

各態(tài)遍歷假說認(rèn)為一定條件下，三種方法具有一致性。定義：一個(gè)隨機(jī)變量在多個(gè)相同試驗(yàn)中或一個(gè)試驗(yàn)重復(fù)多次時(shí)出現(xiàn)的所有可能狀態(tài)，能夠在一次試驗(yàn)的相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間或相當(dāng)大空間范圍內(nèi)，以相同概率出現(xiàn)，稱為各態(tài)遍歷。N次試驗(yàn)中，u出現(xiàn)在u0至u0+Δu的次數(shù)為ΔN；一次試驗(yàn)中，在T時(shí)間內(nèi)，u出現(xiàn)在u0至u0+Δu的時(shí)間間隔為ΔT一次試驗(yàn)中，在范圍內(nèi)，u出現(xiàn)在u0至u0+Δu范圍為

若足夠大則有即：1.2湍流的統(tǒng)計(jì)理論做法：將流體視為連續(xù)介質(zhì)，將各物理量如：流速、壓力、溫度等脈動(dòng)值視為連續(xù)的函數(shù)，并通過各脈動(dòng)值的相關(guān)函數(shù)和譜函數(shù)來描述湍流結(jié)構(gòu)。應(yīng)用：為了描述湍流的組織或結(jié)構(gòu)，需要通過多點(diǎn)相關(guān)理論建立起合理的長(zhǎng)度尺度準(zhǔn)則為了建立合理的湍流模型，需要知道各種尺度的渦對(duì)能量生成、傳輸和耗散的貢獻(xiàn)，通過譜分析可以得到隨機(jī)變量的各階原點(diǎn)矩和中心矩當(dāng)，隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望（假設(shè)存在）分別稱為隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩和階中心矩。若隨機(jī)變量為u（t），則：定義：一階原點(diǎn)矩為：為其時(shí)均值一階中心矩為：二階中心矩為：，此即u（t）的方差。實(shí)際上表示了流動(dòng)的湍流度。三階中心矩為：偏斜度因子

，表示分布的相對(duì)偏斜程度，即不對(duì)稱性

(Skewnessfactor)S為正值四階中心矩為：(Flatnessfactor)平坦因子

，度量曲線相對(duì)于高斯分布的接近程度若，則表示概率曲線中部升得高，而在兩側(cè)下降較快湍流脈動(dòng)量的相關(guān)矩表示湍流中，空間兩點(diǎn)上各種脈動(dòng)速度分量之間的相關(guān)矩，表達(dá)了空間一點(diǎn)的脈動(dòng)速度與鄰近一點(diǎn)上的脈動(dòng)速度之間的關(guān)系。空間相關(guān)空間相關(guān)矩空間相關(guān)系數(shù)顯然，若，；若，可以看出：當(dāng)時(shí)，完全相關(guān)；當(dāng)時(shí)，相互無關(guān)；當(dāng)較小時(shí)，較大時(shí)時(shí)間相關(guān)矩和自相關(guān)時(shí)間相關(guān)矩表示同一點(diǎn)上，不同時(shí)刻的脈動(dòng)量之間的關(guān)系：時(shí)間相關(guān)系數(shù)i=j時(shí)的時(shí)間相關(guān)叫做自相關(guān)：可以證明：自相關(guān)系數(shù)是偶函數(shù)1.3湍流的特征尺度湍流由各種不同尺度的渦體運(yùn)動(dòng)組成。大渦區(qū)含能渦區(qū)平衡區(qū)含能渦區(qū)又稱為慣性區(qū)，平衡區(qū)又稱為耗散區(qū)Kolmogorov認(rèn)為：控制小尺度運(yùn)動(dòng)的參數(shù)，應(yīng)包含單位質(zhì)量的能量消耗率和流體的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)為此，由量綱分析有（小渦的各項(xiàng)尺度）：長(zhǎng)度尺度時(shí)間尺度速度尺度耗散雷諾數(shù)

說明小尺度渦體的湍流脈動(dòng)是粘性主宰的耗散流動(dòng)，因此這一尺度的渦體也稱為耗散渦①式在各向同性湍流中，可以認(rèn)為大尺度渦體由它所包含的湍動(dòng)總能量，以及向小尺度傳遞的能量決定。在含能尺度范圍內(nèi)，慣性主宰湍流運(yùn)動(dòng)，因此含能尺度范圍又稱慣性區(qū)。為此由量綱分析可得：積分尺度雷諾數(shù)②式Kolmogorov還認(rèn)為：大渦體向小渦體提供的能量與小渦體本身消耗的能量?jī)烧咂胶猓虼四芰肯穆蕬?yīng)與能量供應(yīng)率平衡。即：其中：表示大渦體的尺度，為特征速度由此可得（代入①式）：③式長(zhǎng)度尺度比時(shí)間尺度比速度尺度比

小渦體的長(zhǎng)度尺度、時(shí)間尺度、速度尺度均比大渦體要小得多小尺度的渦強(qiáng)比大尺度的要大得多，故能量耗散也大得多大尺度渦體攜帶的能量比小渦體的大得多，因此大渦體又稱為含能渦大尺度渦體與小尺度渦體的比較大尺度渦體小尺度渦體由大尺度旋渦產(chǎn)生由平均流動(dòng)產(chǎn)生與邊界有關(guān)有通用性具有擬序特征隨機(jī)運(yùn)動(dòng)要求確定性描述可統(tǒng)計(jì)模擬非均勻均勻非各向同性各向同性長(zhǎng)生命短生命起擴(kuò)散作用起耗散作用模擬困難模擬相對(duì)容易1.4湍流的分類均勻湍流與非均勻湍流均勻湍流：指統(tǒng)計(jì)上湍流的任何性質(zhì)與空間位置無關(guān)，或者說，任何湍動(dòng)量的平均值及它們的空間導(dǎo)數(shù)，在坐標(biāo)作任何位移下不變。非均勻湍流：湍流統(tǒng)計(jì)性質(zhì)與空間位置有關(guān)注意：均勻湍流的均勻性是指脈動(dòng)量具有均勻性，與均勻流不是同一概念。各向同性湍流，必然是均勻湍流，因?yàn)橥牧鞯娜魏尾痪鶆蛐远紩?huì)帶來特殊的方向性。在實(shí)際中，只存在局部各向同性湍流和近似各向同性湍流，如：蜂窩格柵下游較遠(yuǎn)處；大多數(shù)真實(shí)流動(dòng)的耗散渦也具有各向同性各向同性下，