離散時間信號的傅立葉變換(DTFT)-數(shù)字信號處理

2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）2.2.1DTFT定義離散時間序列的傅立葉變換是ω的連續(xù)函數(shù)，且是周期的，周期為2π。

2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）四種形式的傅立葉變換1）連續(xù)、非周期x（t）連續(xù)、非周期2）連續(xù)、周期x（t）

離散、非周期2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）3）離散、非周期x（n）

連續(xù)、周期4）離散、周期

離散、周期2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）總結：若x在時域是周期的，那么在頻域X一定是離散的，若x在時域是非周期的，那么X一定是連續(xù)的。第四種變換在時域和頻域都是離散的，且都是周期的，周期都為N點，在計算機上能方便地利用DFT來實現(xiàn)信號的頻譜分析。2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）時域卷積定理：y(n)=x(n)*h(n)頻域卷積定理：若y(n)=x(n)h(n)，則2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）Parseval（巴塞伐）定理：信號在時域的總能量等于其頻域的總能量，頻域的總能量等于在一個周期內(nèi)的積分。2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）2.DTFT的反變換公式傅立葉系數(shù)展開式為

2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）Wiener-khinchin（維納-辛欽）定理：若x(n)是功率信號，其自相關函數(shù)的定義為：功率信號x(n)的功率譜為：

2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）此式稱為確定性信號的維納-辛欽定理，它說明功率信號x(n)的自相關函數(shù)和其功率譜是一對傅立葉變換信號的總功率2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）小結：不管x(n)是實信號還是復信號，其功率譜始終是ω的實函數(shù)，即功率譜失去了相位信息。

2.2.2信號截短對DTFT的影響例：將一個n=-∞～+∞的無限長信號x(n)截短，最簡單的方法是用一個窗函數(shù)去乘該信號，若所用的窗函數(shù)為矩形窗，即2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）那么，xN(n)=x(n)d(n),實現(xiàn)了對x(n)的自然截短。解：先研究d(n)的頻譜特點：2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）即：記2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）可理解為的增益，可正可負，當ω=0時，當ωN/2=πk時，ω=2πk/N時，在ω=0兩邊第一個過零點間的部分稱為的主瓣，對矩形窗來說，該主瓣寬度B=4π/N，主瓣以外部分（|ω|＞2π/N）稱為的邊瓣，顯然，N增大時，主瓣寬度B減小，當N→∞時，趨于δ（ω），這時相當于對信號沒有截短。2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）若xN(n)=x(n)d(n)，那么卷積的結果是的主瓣對起到了“平滑”的作用，降低了中譜峰的分辨能力。加窗對頻域分析帶來的另一個影響是頻譜泄露（leakage）2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）例如：假設x(n)為兩個正弦信號之和，那么起頻譜在ω1，ω2處各有一個譜線，若的主瓣寬度4π/N大于|ω2-ω1|，那么在中將分辨不出這兩根譜線，這是由于窗函數(shù)d（n）過短，而使其頻譜的主瓣過寬，邊瓣過大所引起的，若增加數(shù)據(jù)長度N，使4π/N＜|ω2-ω1|，那么，這兩個譜峰可分辨出。2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）例：令即是頻域的矩形函數(shù)，所以，對應的x(n)為sinc函數(shù)，現(xiàn)對x(n)用矩形窗d（n），n=0，…30來截短，試分析截短后對x(n)頻譜的影響。2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）解：記xN(n)=x(n)d(n)從結果可以看出，在原來為零的位置|ω|＞0．4π）處以不再為零，這是由于不再零，這是由于的邊瓣所產(chǎn)生的，這種現(xiàn)象稱為頻譜的泄露。

2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）

邊瓣越大，且衰減得越慢，泄露就越嚴重，在頻譜分析中，泄露往往會模糊原來的形狀，窗函數(shù)過大的邊瓣有可能產(chǎn)生虛假