離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換(DTFT)-數(shù)字信號(hào)處理

2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）2.2.1DTFT定義離散時(shí)間序列的傅立葉變換是ω的連續(xù)函數(shù)，且是周期的，周期為2π。

2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）四種形式的傅立葉變換1）連續(xù)、非周期x（t）連續(xù)、非周期2）連續(xù)、周期x（t）

離散、非周期2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）3）離散、非周期x（n）

連續(xù)、周期4）離散、周期

離散、周期2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）總結(jié)：若x在時(shí)域是周期的，那么在頻域X一定是離散的，若x在時(shí)域是非周期的，那么X一定是連續(xù)的。第四種變換在時(shí)域和頻域都是離散的，且都是周期的，周期都為N點(diǎn)，在計(jì)算機(jī)上能方便地利用DFT來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析。2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）時(shí)域卷積定理：y(n)=x(n)*h(n)頻域卷積定理：若y(n)=x(n)h(n)，則2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）Parseval（巴塞伐）定理：信號(hào)在時(shí)域的總能量等于其頻域的總能量，頻域的總能量等于在一個(gè)周期內(nèi)的積分。2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）2.DTFT的反變換公式傅立葉系數(shù)展開式為

2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）Wiener-khinchin（維納-辛欽）定理：若x(n)是功率信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)的定義為：功率信號(hào)x(n)的功率譜為：

2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）此式稱為確定性信號(hào)的維納-辛欽定理，它說(shuō)明功率信號(hào)x(n)的自相關(guān)函數(shù)和其功率譜是一對(duì)傅立葉變換信號(hào)的總功率2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）小結(jié)：不管x(n)是實(shí)信號(hào)還是復(fù)信號(hào)，其功率譜始終是ω的實(shí)函數(shù)，即功率譜失去了相位信息。

2.2.2信號(hào)截短對(duì)DTFT的影響例：將一個(gè)n=-∞～+∞的無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)x(n)截短，最簡(jiǎn)單的方法是用一個(gè)窗函數(shù)去乘該信號(hào)，若所用的窗函數(shù)為矩形窗，即2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）那么，xN(n)=x(n)d(n),實(shí)現(xiàn)了對(duì)x(n)的自然截短。解：先研究d(n)的頻譜特點(diǎn)：2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）即：記2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）可理解為的增益，可正可負(fù)，當(dāng)ω=0時(shí)，當(dāng)ωN/2=πk時(shí)，ω=2πk/N時(shí)，在ω=0兩邊第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)間的部分稱為的主瓣，對(duì)矩形窗來(lái)說(shuō)，該主瓣寬度B=4π/N，主瓣以外部分（|ω|＞2π/N）稱為的邊瓣，顯然，N增大時(shí)，主瓣寬度B減小，當(dāng)N→∞時(shí)，趨于δ（ω），這時(shí)相當(dāng)于對(duì)信號(hào)沒(méi)有截短。2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）若xN(n)=x(n)d(n)，那么卷積的結(jié)果是的主瓣對(duì)起到了“平滑”的作用，降低了中譜峰的分辨能力。加窗對(duì)頻域分析帶來(lái)的另一個(gè)影響是頻譜泄露（leakage）2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）例如：假設(shè)x(n)為兩個(gè)正弦信號(hào)之和，那么起頻譜在ω1，ω2處各有一個(gè)譜線，若的主瓣寬度4π/N大于|ω2-ω1|，那么在中將分辨不出這兩根譜線，這是由于窗函數(shù)d（n）過(guò)短，而使其頻譜的主瓣過(guò)寬，邊瓣過(guò)大所引起的，若增加數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N，使4π/N＜|ω2-ω1|，那么，這兩個(gè)譜峰可分辨出。2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）例：令即是頻域的矩形函數(shù)，所以，對(duì)應(yīng)的x(n)為sinc函數(shù)，現(xiàn)對(duì)x(n)用矩形窗d（n），n=0，…30來(lái)截短，試分析截短后對(duì)x(n)頻譜的影響。2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）解：記xN(n)=x(n)d(n)從結(jié)果可以看出，在原來(lái)為零的位置|ω|＞0．4π）處以不再為零，這是由于不再零，這是由于的邊瓣所產(chǎn)生的，這種現(xiàn)象稱為頻譜的泄露。

2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（DTFT）

邊瓣越大，且衰減得越慢，泄露就越嚴(yán)重，在頻譜分析中，泄露往往會(huì)模糊原來(lái)的形狀，窗函數(shù)過(guò)大的邊瓣有可能產(chǎn)生虛假