備戰(zhàn)2020年浙江省高考數(shù)學(xué)卷分類解析立體幾何與空間向量(解析版)

第九章立體幾何與空間向量從近幾年的高考試題來看,所考的主要內(nèi)容是:(1)相關(guān)線面地點(diǎn)關(guān)系的組合判斷,試題平時(shí)以選擇題的形式出現(xiàn),主假如考察空間線線、線面、面面地點(diǎn)關(guān)系的判斷與性質(zhì);(2)相關(guān)線線、線面和面面的平行與垂直的證明,試題以解答題中的第一問為主,常以多面體為載體,突出考察學(xué)生的空間想象能力及推理論證能力;(3)線線角、線面角和二面角是高考的熱門,五年五考,選擇題、填空題皆有，解答題中第二問必考,一般為中檔題,在全卷的地點(diǎn)相對(duì)牢固，主要考察空間想象能力、邏輯思想能力和轉(zhuǎn)變與化歸的應(yīng)用能力.前幾年浙江卷較為著重幾何法的考察，對(duì)空間向量方法考題較少，近三年則偏向于空間向量方法，且大題中考察線面角的計(jì)算好多.（4）三視圖問題，五年五考，經(jīng)常與幾何體的面積或體積相聯(lián)合.一．選擇題1．【浙江省臺(tái)州市2019屆高三4月調(diào)研】一個(gè)幾何體的三視圖以下列圖，則這個(gè)幾何體的體積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體為放倒的三棱柱，且底面為側(cè)視圖中等腰直角三角形，所以體積＝應(yīng)選：B.2．【浙江省寧波市2019屆高三上期末】某幾何體的三視圖以下列圖，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依據(jù)已知可得該幾何體是一個(gè)四分之一圓錐，與三棱柱的組合體，四分之一圓錐的底面半徑為1，高為1，故體積為：，三棱柱的底面是兩直角邊分別為1和2的直角三角形，高為1，故體積為：，故組合體的體積，應(yīng)選D．3．【浙江省三校2019年5月份第二次聯(lián)考】已知平面，直線，若，，，則“”是“中最少有一條與垂直”的（）A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件【答案】C【解析】先判斷充分性，當(dāng)時(shí)，假定都不與垂直.在平面內(nèi)作的垂線，由可得，則.由，不垂直于可得與訂交.由，可得.所以，矛盾.所以當(dāng)時(shí)，能夠推出中最少有一條與垂直，即充分性成立.再判斷必需性，當(dāng)中最少有一條與垂直時(shí)，不如設(shè)，由可得，所以，即必需性成立.綜上所述，“”是“中最少有一條與垂直”的充要條件.應(yīng)選C.4．【浙江省三校2019年5月份第二次聯(lián)考】已知正三棱錐（底面是正三角形，極點(diǎn)在底面的射影是正三角形的中心），直線平面，分別是棱上一點(diǎn)（除端點(diǎn)），將正三棱錐繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則能與平面所成的角取遍區(qū)間全部值的直線可能是（）A．B．C．D．中的隨意一條【答案】B【解析】假定知足題意，當(dāng)與平面所成的角為時(shí)，，由可得.在正三棱錐中，可得，當(dāng)時(shí)可得，顯然這是不行能成立的，所以不知足題意.同理，與不行能垂直，則與平面所成的角不行能為.綜上所述，能夠除去A,C,D，應(yīng)選B.5．【浙江省溫州市2019屆高三2月高考適應(yīng)性測(cè)試】在正四周體ABCD中，P，Q分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是直線AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M是EF的中點(diǎn)，則能使點(diǎn)M的軌跡是圓的條件是（）A．PE＋QF＝2B．PE?QF＝2C．PE＝2QF22＝2D．PE＋QF【答案】D【解析】如圖：取BC、BD、AC、AD的中點(diǎn)為G、H、K、L，因?yàn)镻、Q是定點(diǎn)，所以PQ的中點(diǎn)O為定點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，PQ、EF的中點(diǎn)在中截面GHLK上運(yùn)動(dòng)，∵+=+,∴，又在正四周體中，對(duì)棱垂直，∴PEQF，∴，∴4=若點(diǎn)只有

M的軌跡是以O(shè)為圓心的圓，則D符合題意，應(yīng)選D.

為定值，6．【浙江省金麗衢十二校2019屆高三第一次聯(lián)考】已知一個(gè)幾何體的三視圖以下列圖，則該幾何體的體積為（）A．32B．16C．8D．43333【答案】C【解析】由題設(shè)中三視圖供給的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是一個(gè)三棱柱與一個(gè)等高三棱錐的組合體，此中三棱柱與三棱錐的底面都是直角邊長為2的等腰直角三角形，所以其體積112128222V22，應(yīng)選答案C.3237．【浙江省金麗衢十二校2019屆高三第一次聯(lián)考】如圖，二面角的大小為，，，且，，，則與所成角的大小為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵為等邊三角形，又，，由余弦定理得故為等腰直角三角形，取BC中點(diǎn)E,連結(jié)DE，AE,則AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠DEA為二面角的平面角，BC⊥面ADE,DE=中由余弦定理得AD=1,過A作AO⊥DE,BC⊥AO，故AO⊥，故∠ADE為與所成角，ADE=故答案為8．【浙江省湖州三校2019年一般高等學(xué)校招生全國一致考試】已知三棱錐中，為正三角形，，且在底面內(nèi)的射影在的內(nèi)部（不包含界限），二面角，二面角，二面角的大小分別為，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)在底面內(nèi)的射影為O，過O分別作AB,BC,CA垂線，垂足分別為D,E,F,則，，，進(jìn)而，，，因?yàn)椋?,即,即，選C.9．【浙江省金華十校2019屆高三上期末】以下列圖，在底面為正三角形的棱臺(tái)中，記銳二面角的大小為，銳二面角的大小為，銳二面角的大小為，若，則A．B．C．D．【答案】C【解析】棱臺(tái)的側(cè)棱延伸交于點(diǎn)P過點(diǎn)P在平面ABC上的射影為H，設(shè)Ｈ到ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的距離分別為，∵

，∴

，則故Ｈ所在地區(qū)以下列圖比較即比較ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，即比較ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ由圖可知：ＨＣ＞ＨＡ＞HB∴應(yīng)選：B．10．【浙江省金華十校

2019屆高考模擬】如圖，

AB是平面

的斜線段，

A為斜足，點(diǎn)

C知足sin

CAB

sin

CBA(

0)，且在平面

內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則（

）A．當(dāng)1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是拋物線B．當(dāng)1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是一條直線C．當(dāng)2時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是橢圓D．當(dāng)2時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是雙曲線拋物線【答案】B【解析】在ABC中，∵sinCABsinCBA(0)，由正弦定理可得：BC，AC當(dāng)1時(shí)，BCAC，過AB的中點(diǎn)作線段AB的垂面，則點(diǎn)C在與的交線上，即點(diǎn)C的軌跡是一條直線，當(dāng)2時(shí)，BC2AC，設(shè)B在平面內(nèi)的射影為D，連結(jié)BD，CD，設(shè)BDh，AD2a，則BCCD2h2，在平面內(nèi)，以AD所在直線為x軸，以AD的中點(diǎn)為y軸成立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C(x,y)，則CA(xa)2y2，CD(xa)2y2，CB(xa)2y2h2，5216a2h2∴(xa)2y2h22(xa)2y2，化簡可得xay2.393C的軌跡是圓．應(yīng)選：B．二.填空題11．【浙江省2019屆高三高考全真模擬（二)】某幾何體的三視圖（單位：cm）以下列圖，則該幾何體的最長的棱長為________，體積為________.【答案】7(cm)2(cm3)2【解析】由經(jīng)過三視圖能夠知道該幾何是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，底面是直角梯形，以下列圖：四棱錐ABCDE，AC2,DC2BE2,AC底面BCDE，在直角梯形BCDE中，可求出BC2，在RtABC中，ABAC2BC2(2)2(2)22，同理可求出：AD(2)2226，AEAC2CE2AC2CD2DE2(2)222127，設(shè)四棱錐的底面BCDE的面積為S，所以S1113，所以四棱錐的體積1122V1SAC1322，所以該幾何體的最長側(cè)棱長為7(cm)，體積為2(cm3).3322212．【浙江省溫州市2019屆高三2月高考適應(yīng)性測(cè)試】某幾何體的三視圖以下列圖（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）等于_____，表面積（單位：cm2）等于____．【答案】3【解析】依據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體為以等腰梯形

ABCD與等腰梯形

為底面，高為

1的直四棱柱，如圖：由柱體體積公式得：V．又等腰梯形ABCD與等腰梯形全等，面積和為6，矩形DC的面積為21=2，矩形的面積為41=4，矩形與矩形DA的面積相等，又由正視圖可得BC=，所以矩形與矩形DA的面積和為2=2，所以表面積為6+2+4+2=12+2，故答案為3，.13．【浙江省三校2019年5月份第二次聯(lián)考】若某幾何體的三視圖（單位：）以下列圖，則該幾何體最長的棱長是__________，體積等于__________．【答案】20【解析】由三視圖可得該幾何體是截長方體獲得的四棱錐

,此中，最長的棱長是，體積

.14．【浙江省湖州三校2019年一般高等學(xué)校招生全國一致考試】某幾何體的三視圖以下列圖（單位：），則該幾何體的體積（單位：）等于_______，表面積（單位：）等于__________．【答案】【解析】幾何體一個(gè)邊長為2的正方體挖去一個(gè)正四棱錐（極點(diǎn)在正方體下底面中心，底面為正方體上底面），所以幾何體的體積為，表面積為15．【浙江省金華十校2019屆高三上期末】一個(gè)棱柱的底面是邊長為6的正三角形，側(cè)棱與底面垂直，其三視圖如下圖，則這個(gè)棱柱的體積為______，此棱柱的外接球的表面積為______．【答案】【解析】由題意可知，該三棱柱是一個(gè)直三棱柱，且底面是邊長為6的正方形，底面積為，該三棱柱的高，所以，該三棱柱的體積為．由正弦定理可知，該正三棱柱底面的外接圓直徑為，則其外接球的直徑為，則，所以，此棱柱的外接球的表面積為．故答案為：；．16．【浙江省金華十校2019屆放學(xué)期高考模擬】某幾何體的三視圖以下列圖，正視圖為腰長為

1的等腰直角三角形，側(cè)視圖、俯視圖均為邊長為

1的正方形，則該幾何體的表面積是

_____，體積是

_____．【答案】2331223【解析】由三視圖復(fù)原原幾何體以下列圖，該幾何體為四棱錐PABCD，該幾何體的表面積SSPABSPADSPCDSPBCS四邊形ABCD31111262233；22222體積V1212132.3故答案為：233，1．22317．【浙江省臺(tái)州市2019屆高三4月調(diào)研】已知正方體中，為的中點(diǎn)，在平面內(nèi)，直線，設(shè)二面角的平面角為，當(dāng)取最大值時(shí)，______.【答案】【解析】設(shè)直線交于，因?yàn)橹本€，為的是中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，過作∥交于，則∥，連結(jié)交于H，則為的中點(diǎn)，過作∥交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，因?yàn)椤推矫?，所以⊥平面，所以⊥，⊥，所以為二面角的平面角，即，問題轉(zhuǎn)變?yōu)樵谏险乙稽c(diǎn)，使最大，設(shè)正方體的邊長為，，則，，當(dāng)，即為中點(diǎn)時(shí)，最小，最大此時(shí)，，18．【浙江省2019屆高三高考全真模擬（二)】四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，BAD90，PAABBC1AD1，BC//AD，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且二面角QPDA的平2面角大小為，若動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡將ABCD分紅面積為S1,S2(S1S2)的兩部分，則S1:S2________.4【答案】3544【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)Q的軌跡與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q（0，b，0）（b＞0）．由題意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴DP=（﹣2，0，1），DQ=（﹣2，b，0）.AD=（2，0，0）．設(shè)平面APD的法向量為n1=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量為n2=（x2，y2，z2）則n1DP0,n2DP0,n1AD0n2DQ02x1z102x2z20即0,by2，2x12x20令y1=0得n1=（0，1，0），令z2=2得n2=（1，2，2）．b∴n1n22,n11,n254．bb2∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小為，4n1n2222∴cos＜n1n2b2＞=n2.即4,解得b=5．n12255b2∴S△ADQ=1ADAQ122525．2255S梯形ABCD﹣S△ADQ=1(12)125325．2525∵S1＜S2，∴S1=3252=2．∴S1：S2=（35﹣4）：4．255故答案為（35﹣4）：4．三.解答題19．【浙江省三校2019年5月份第二次聯(lián)考】如圖，在三棱錐中，是棱的中點(diǎn)，，且,（Ⅰ）求證：直線（Ⅱ）求二面角

平面

；的正弦值

.【答案】（Ⅰ）看法析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）連結(jié)，因?yàn)?，所?由已知得，，所以，所以，又，所以平面（Ⅱ）過點(diǎn)作，垂足是，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).連結(jié)，所以.所以就是二面角的平面角.由（Ⅰ）知平面，所以.因?yàn)椋?，所以所?即二面角的正弦值為.20．【浙江省臺(tái)州市2019屆高三4月調(diào)研】如圖棱錐的底面是菱形，，，側(cè)面垂直于底面，且是正三角形.（Ｉ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（Ｉ）看法析；（Ⅱ）.【解析】（Ｉ）如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)、因?yàn)槭钦切?，所以又因?yàn)槭橇庑?，，所以是正三角形，所以又，平面所以平面因?yàn)槠矫嫠裕á颍┮驗(yàn)閭?cè)面垂直于底面，面面，所以面如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系，則,，，則，，設(shè)平面的法向量則，取，得，所以，記直線與平面所成角為所以所以直線與平面所成角的正弦值為.21．【浙江省寧波市2019屆高三上期末】以下列圖，四周體中，是正三角形，是直角三角形，是的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）過的平面交于點(diǎn)，若平面把四周體分紅體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.【答案】（1）目睹明；（2）【解析】（1）以下列圖，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由，得，所以，即為等腰直角三角形，進(jìn)而為直角，又為底邊中點(diǎn)，所以.令，則，易得，所以，進(jìn)而，又為平面內(nèi)兩訂交直線，所以平面.（2）由題意可知，即到平面的距離相等，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，成立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，易得.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，取；，取，設(shè)二面角的大小為，易知為銳角，則，所以二面角的余弦值為.22．【浙江省

2019屆高三高考全真模擬（二

)】已知

P

ABC為正三棱錐，底面邊長為

2，設(shè)

D為PB的中點(diǎn)，且

AD

PC，以下列圖

.（Ⅰ）求證：PC平面PAB；（Ⅱ）求二面角DACB的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）看法析；（Ⅱ）22.3【解析】（Ⅰ）以AB中點(diǎn)O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，成立空間直角坐標(biāo)系，以下列圖所示：A(0,1,0),B(0,1,0),C(3,0,0)，因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABC的射影為三角形ABC的中心，設(shè)P3,0,h，3所以PC23,0,h,AB(0,2,0)，3PCAB2300(2)(h)00，PCAB而ADPC，ABADA，AB,AD平3面PAB，所以PC平面PAB；（Ⅱ）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：D3,1,h，由ADPC=0可知:622ADPC11h20，解得h2，設(shè)平面ACD的法向量為a(x,y,z)，323因?yàn)锳D3,3,6,AC(ADa3x3y6z03,1,0)，所以626，626ACa3xy0取x2，解得a(2,6,8)，平面ABC的法向量為b(0,0,1)，所求二面角的平面角為，則cosab822，二面角DACB的平面角的余弦值為22.|a|b|723323．【浙江省溫州市2019屆高三2月高考適應(yīng)性測(cè)試】在三棱錐DABC中，ADDC，ACCB，AB＝2AD＝2DC＝2，且平面ABD平面BCD，E為AC的中點(diǎn)．I）證明：ADBC；II）求直線DE與平面ABD所成的角的正弦值．【答案】（I）目睹明；（II）【解析】（I）過作，（此中與都不重合，不然，若與重合，則與矛盾，若與重合，則，與矛盾）面面面，又面（II）法一：作，則，由（1）知：面即與面所成角，且法二：由（I）知

平面

，

，以

為原點(diǎn)，分別以射線

為軸，軸的正半軸，成立空間直角坐標(biāo)系由題意知：∴

，∵平面設(shè)與面

的法向量為所成角為

，∴24．【浙江省湖州三校2019年一般高等學(xué)校招生全國一致考試】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，平面平面，二面角為.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）看法析（2）【解析】（Ⅰ）證明：平面平面，交線為，且，∴平面，進(jìn)而，，∴即為二面角的平面角，即.又，，由余弦定理得，∴，即.又，∴平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，進(jìn)而，，又，，故.由已知，點(diǎn)

到平面的距離等于點(diǎn)到平面

的距離

，設(shè)點(diǎn)到平面

的距離為，則點(diǎn)到平面

的距離也為

，由

得：

，

.∴與平面

所成角的正弦值

.25．【浙江省金華十校

2019屆高三上期末】在三棱錐

中，

，H為

P點(diǎn)在平面

ABC的投影

，

．Ⅰ證明：

平面

PHA；Ⅱ求AC與平面

PBC所成角的正弦值．【答案】Ⅰ看法析；Ⅱ【解析】證明：Ⅰ取M為BC的中點(diǎn)，連結(jié)PM，AM，，，，又為P點(diǎn)在平面ABC的投影，，而，，又，，、A、M三點(diǎn)共線，進(jìn)而，聯(lián)合條件，平面PHA．解：Ⅱ過A作，連結(jié)CN，平面PHM，，，平面PBC，就是直線AC與平面PBC所成角，設(shè)，由，得，，由，知，，，，，，，解得，與平面

PBC所成角的正弦值

．26．【浙江省金麗衢十二校四邊形ABCD為直角梯形，∠

2019屆高三第一次聯(lián)考】如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，點(diǎn)M、E分別是

PA⊥平面ABCD，且PA、PD的中點(diǎn)求證：CE//平面BMD點(diǎn)Q為線段BP中點(diǎn)，求直線PA與平面CEQ所成角的余弦值.【答案】(1)看法析；（2）.【解析】（1）連結(jié)所以四邊形

ME，因?yàn)辄c(diǎn)分別是為平行四邊形，所以

的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?/p>

平面

，所以，平面

,所以

平面

，.（2）如圖，以

為坐標(biāo)原點(diǎn)成立空間坐標(biāo)系

，則又

，設(shè)平面

的法向量為

，列方程組求得此中一個(gè)法向量為

，設(shè)直線

與平面

所成角大小為

，于是，進(jìn)而求得.27．【浙江省金華十校2019屆放學(xué)期高考模擬】在四棱錐SABCD中，底面ABCD為直角梯形，BCCD，SCSDCDDA1，CB2，AD//BC，SCB2，E為線段SB上的中點(diǎn)．31）證明：AE//平面SCD；2）求直線AE與平面SBC所成角的余弦值．【答案】（1）看法析；（2）131BC，【解析】（1）取SC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF．∵E，F(xiàn)是SB，SC的中點(diǎn)，∴EF//BC，EF2又AD//BC，AD1AD，BC，∴EF//AD，EF2∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴AE//DF，又DF平面SCD，AE平面SCD，∴AE//平面SCD．（2）取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)SO，過O作BC的平行線OM，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)D，OM和平面ABCD過點(diǎn)O的垂線為坐標(biāo)軸成立空間坐標(biāo)系Oxyz，∵SCCDSD1，∴SO3，設(shè)二面角SCDA的大小為，2則S(0,3cos,3sin)，A(1,1,0)，B(1,2,0)，C(1,0,0)，∴E(1,13cos,3sin)，22222444∴CB(0,2,0)，CS(1,3cos,3sin)，∵SCB2，2223∴cosCB,CSCBCS3cos3cos1，CBCS2122∴cos3，sin6.∴S(0,1,2)，E(1,3,2)，3322444∴AE(3,1,2)，CS(1,1,2)，444222nCB02y0設(shè)平面SCD的法向量為n(x,y,z)，則，即1x1y2z，nCS002222可得n(2,0,1)，∴cosn,AEnAE