微觀金融技術(shù)與方法

微觀金融技術(shù)與方法第一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/711.1引言期望效用理論全面考慮了投資收益的風險和收益的概率分布情況，是研究不確定環(huán)境下個體消費和投資決策的主要工具。風險厭惡型投資者的投資行為本章主要建立期望效用理論的基礎(chǔ)，和資產(chǎn)定價理論的微觀經(jīng)濟基礎(chǔ)。對待風險的態(tài)度風險厭惡的度量兩基金貨幣分離

第一章偏好表示與風險厭惡第二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/721.2一些常用的投資決策準則一、收益最大準則

收益最大準則應(yīng)用于完全沒有風險的情況下。由此法則，只需選擇收益率最高的投資機會即可。經(jīng)濟學中的生產(chǎn)者理論和價值理論廣泛使用這一準則。在金融經(jīng)濟學中，不確定環(huán)境下，收益最大準則不再適用。第三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/73二、最大期望收益準則

使用投資收益的期望值作為各種投資方案的比較，是收益最大準則在不確定情形下的推廣。是否期望收益最大準則就是一個最優(yōu)的決策法則呢？（否）第四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/74Example1Gamble(X)flipofacoinifheads,youreceive$1: X1=+1iftails,youpay$1: X2=-1E(X)=(0.5)(1)+(0.5)(-1)=0ifyouplaythisgamemanytimes,itisunlikelythatyouwillwinorloseanything第五頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/75Example2Gamble(X)flipofacoinifheads,youreceive$10: X1=+10iftails,youpay$1: X2=-1E(X)=(0.5)(10)+(0.5)(-1)=4.50ifyouplaythisgamemanytimes,youwillbeabigwinnerHowmuchwouldyoupaytoplaythisgame:perhapsasmuchasa$4.50Butofcoursetheanswerdependsuponyourpreferencetorisk 第六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/76FairGamblesif thecosttoplay = expectedvalueof thesegambles theoutcomethenthegambleissaidtobeactuariallyfairCommonempiricalfindings: 1. individualsmayagreetoflipacoinforsmallamountsofmoney,

butusuallyrefusetobetlargesumsofmoney

第七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/77

2. peoplewillpaysmallamountsofmoneytoplayactuarially unfairgames(forexample,cost=$1,butE(X)>1)

-butwillavoidpayingalot

Whydotheseempiricalfindingsoccur?第八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/78圣彼得堡悖論（SaintPetersburgparadox）Gamble(X): Acoinisflippeduntilaheadappears,

Youreceive$2n,wherenisthefliponwhichtheheadoccurredstates: X1=$2 X2=$4 X3=$8 ... Xn=$2nprob: α1=1/2α2=1/4 α3=1/8... αn=1/2n

E(X)=

Paradox:

noonewouldpayanactuariallyfairpricetoplaythisgame

(noonewouldevenpayclosetothefairprice)第九頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/79

ExplainingtheSt.PetersburgParadoxthisparadoxarisesbecauseindividualsdonotmakedecisions

basedonpurelyontheirwealth,butratherontheutilityof

theirexpectedwealth

ifwecanshowthatthemarginalutilityofwealth

declinesaswegetmorewealth,thenwecanshowthatthe

expectedvalueofagameisfiniteAssumeU(X)=ln(X), U'(X)>0 MUpositive

U"(X)<0 diminishingMUE(U(W)) =

αiU(Xi)

=

αiln(Xi)=1.39<anindividualwouldpayanamountupto1.39units

ofutilitytoplaythisgambleAndthissolvestheparadox第十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7101.3投資者行為

個人決策準則一、確定性環(huán)境：選擇與偏好

在確定性環(huán)境下分析個人的理性決策行為，需要權(quán)衡不同抉擇好壞優(yōu)劣的價值尺度。建立在選擇行為之上的偏好關(guān)系（preferencerelation）可以用一種兩維的關(guān)系（binaryrelation）表述出來。第十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/711定義（偏好關(guān)系）：投資選擇集上的偏好關(guān)系是指具有完備性、自反性和傳遞性的一個二維關(guān)系。a)

完備性（completeness）對于任何,要么要么；b)

自反性（reflexivity）對于任何有；c)

傳遞性（transitivity）對于任何如果有，則有。第十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/712

以上這三點是為了保障偏好表達的邏輯一致性，建立一個價值衡量標準。

二、效用函數(shù)和效用最大化

為了更方便的研究投資者的行為，我們希望偏好關(guān)系能用函數(shù)形式表示，這種函數(shù)稱為效用函數(shù)。第十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/713效用函數(shù)的定義：稱函數(shù)表示偏好關(guān)系，或者稱函數(shù)是偏好關(guān)系的效用函數(shù)表出，若投資者認為好于，即，當且僅當，。但不是所有的偏好關(guān)系都能用函數(shù)來表示。第十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/714例子：第十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/715效用函數(shù)的存在性定理：

若證券組合集只具有有限或可數(shù)個元素時，那么定義在上的偏好關(guān)系一定可以用實值效用函數(shù)表示。（證明用數(shù)學歸納法）注：偏好關(guān)系的效用函數(shù)不是唯一的。為序數(shù)效用函數(shù)（Ordinaryutilityfunction）

第十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/716三、不確定環(huán)境：期望效用理論在不確定環(huán)境下，或證券組合是一個隨機變量時，效用函數(shù)難以分析問題，則用偏好的期望效用函數(shù)表示。第十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/717期望效用函數(shù)的定義：存在實函數(shù)和上的概率測度使得，當且僅當。

顯然，確定情形下的效用函數(shù)表示是期望效用函數(shù)表示的特例。有兩種方式研究期望效用理論：薩維奇（Savage,1972）的主觀概率方法和Von-NeumannandMorgenstern(1953)的客觀概率方法。下面稱為Von-NeumannandMorgenstern效用函數(shù)（NMU），定義為一元函數(shù)。第十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/718設(shè)是定義在狀態(tài)空間上的概率度量，對于證券組合，定義其分布函數(shù)：

則證券組合的期望效用值為

第十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/719

若兩個證券組合具有相同的分布函數(shù)，則具有相同的期望效用值。為簡單起見，假設(shè)證券組合的概率分布定義在有限集上，即離散情形：記為定義在上的概率分布的集合。若則表示在概率分布下取值為的概率。證券組合的分布函數(shù)為

則投資者對證券組合的期望效用值為。第二十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/720將證券組合選擇視為抽彩（lottery），的元素為所有可能的各獎金數(shù)額，設(shè)，則表示獲得獎金的概率。一次性抽彩（asimplelottery）記為：，對任意或表示為復合性抽彩（acompoundlottery）。稱為復合性抽彩的一次性自然抽彩。投資者對抽彩的感覺僅僅取決于獲得各種獎的凈概率。第二十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/721假設(shè)1（復合性抽彩的約簡公理，ReductionAxiom）對于任意

此即。

假設(shè)2（保序性，Orderpreserving）對于則當且僅當

第二十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/722假設(shè)3（中值性，Intermediatevalue）對于則存在唯一的使得

定理1如果定義在上的偏好關(guān)系滿足假設(shè)1，2，3，那么它可以用效用函數(shù)表示。

第二十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/723假設(shè)4（獨立公理或替代公理，IndependentorSubstituteAxiom）對于意味著

。命題1給定假設(shè)1，獨立公理意味著保序性假設(shè)。

即在復合抽彩的約簡公理下，假設(shè)4可推出假設(shè)2。第二十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/724假設(shè)5對于，有。假設(shè)6（阿基米德公理，ArchimedeanAxiom）對于

，則存在實數(shù)

使得命題2

給定假設(shè)1，獨立性公理和阿基米德公理意味著假設(shè)5，假設(shè)3。第二十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/725定理2

定義在上的偏好關(guān)系，若它滿足約簡假設(shè)、保序假設(shè)、中值假設(shè)和假設(shè)5，在該偏好關(guān)系可以用Von-NeumannandMorgenstern效用函數(shù)（NMU）表示，并且在正仿射變化定義下，期望效用函數(shù)是唯一的。

注：仿射變換（affinetransformation)指乘以一個正數(shù)再加上一個實數(shù)。在仿射變換下，不改變原效用函數(shù)的性質(zhì)。第二十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/726推論定義在上的偏好關(guān)系，若它滿足約簡假設(shè)、獨立公理和阿基米德公理，則該偏好關(guān)系可以用NMU表示。

假設(shè)1＋假設(shè)2＋假設(shè)3＋假設(shè)5＝>NMU存在；假設(shè)1＋假設(shè)4＋假設(shè)6＝>NMU存在；第二十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/727附注1

當是一個無限集時，上述的期望效用函數(shù)表示定理不再成立；為此需要增加其它公理（連續(xù)性假設(shè)）。在經(jīng)驗檢驗中，獨立公理經(jīng)常被違背，從而不存在期望效用函數(shù)表示，著名的例子為：附注2阿萊的悖論（Allaisparadox）：法國經(jīng)濟學家阿萊（M.Allais,1988年諾貝爾經(jīng)濟學獎得主）在1953年，做過一組心理實驗。在該實驗中，被試者要求在下面兩組彩票組合中進行選擇。第二十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/728第一組：

A=(5百萬，0；1百萬，1；0，0）；

B=(5百萬，0.1；1百萬，0.89；0，0.01);

其中每一數(shù)對中的第一個數(shù)字表示抽獎收益，第二個為概率大小。

第二組：

C=(5百萬，0；1百萬，0.11；0，0.89)；

D=(5百萬，0.1；1百萬，0；0，0.90)。試驗發(fā)現(xiàn)大多數(shù)人在A和B中會選擇A；而在C和D中則選擇D。

第二十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/729

根據(jù)期望效用表示方法，選擇A就意味著：U(1百萬）1>U(5百萬）0.1+U(1百萬)0.89+U(0)0.01,整理得：

U(1百萬）0.11>U(5百萬）0.1+U(0)0.01,

第三十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/730

在該式兩邊加上U(0)0.89,得：

U(1百萬）0.11＋U(0)0.89>U(5百萬）0.1+U(0)0.90,

這就是說，在C和D中根據(jù)期望效用方法應(yīng)當獲得的結(jié)果是C。這是一種實驗經(jīng)濟學的方法，與期望效用公理相抵觸，行為經(jīng)濟學與行為金融學的一些理論試圖對此做出合理的解釋，見卡尼曼－特韋斯基著名的“展望理論”（Prospecttheory)。

第三十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7311.4對待風險的態(tài)度對風險的不同態(tài)度關(guān)于經(jīng)濟行為主體對待風險的態(tài)度，我們可以從兩個方面來考察：經(jīng)濟行為主體是愿意確定性地接受一個博彩行為的預(yù)期價值還是寧愿接受這個博彩行為本身及其不確定的結(jié)果；經(jīng)濟行為主體愿意付出多少價值來避免蘊含在這個博彩行為中的風險。所謂保險統(tǒng)計意義上的公平博彩指的是期望收益為0的博彩，即第三十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/732a)我們將那些不愿意接受任何保險統(tǒng)計意義上的公平博彩的經(jīng)濟行為主體稱之為風險厭惡者。如果經(jīng)濟行為主體認為是否接受一個公平博彩對于他是無差別的，那么這樣的經(jīng)濟行為主體就是所謂風險中性者。如果經(jīng)濟行為主體愿意接受任何保險統(tǒng)計意義上的公平博彩，則我們把這類行為主體稱作為風險愛好者。第三十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/733

考察一個保險統(tǒng)計意義上的公平博彩這個博彩有兩種可能結(jié)果：其一，這個博彩行為的參與者有p的概率獲得正值的收益z1；其二，有（1-p）的概率獲得負值的收益z2。

圖1-1經(jīng)濟行為主體的效用函數(shù)的凸凹性的局部性質(zhì)第三十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7341.5風險厭惡

凹函數(shù)的定義： 是一個線性空間，是上的一個凸子集，稱為凹的，若任意有：

第三十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/735結(jié)論：一個博彩的期望效用嚴格比它的期望支付的效用小當且僅當他的效用函數(shù)是嚴格凹的。

在現(xiàn)實生活中，大多數(shù)投資者是厭惡風險的，即他們的NMU函數(shù)是凹函數(shù)?？紤]一個具有嚴格遞增效用函數(shù)的風險厭惡投資者的證券投資選擇問題。第三十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/736投資者面臨最大化自己期望效用值的最優(yōu)投資選擇問題：

上述問題的一階條件為第三十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/737命題1

假設(shè)資本市場允許賣空，若投資者存在最優(yōu)投資策略，則命題2假設(shè)資本市場允許賣空，投資者買入風險資產(chǎn)的充分必要條件是至少存在一種風險資產(chǎn)收益率均值大于無風險利率。

(通常而言，風險厭惡者只有在風險資產(chǎn)的平均回報率高于無風險資產(chǎn)的回報率時，才會在風險資產(chǎn)上進行投資）。

第三十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/738

進一步，我們探討要使投資者不但對風險資產(chǎn)買入，而且投資者將其全部初始財富的比例以上投資于風險資產(chǎn)，需要什么樣的條件。第三十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7391.6經(jīng)濟行為主體對風險貼水或風險溢價的態(tài)度問題定義風險貼水指的是一個風險規(guī)避者為了避免承擔風險而愿意放棄的投資收益或投資收率的額度。在金融學的運用中，風險貼水作為一個術(shù)語通常指的是風險證券的預(yù)期收益率與無風險資產(chǎn)的預(yù)期收益率之間的差額。用確定性等價收益或確定性等價收益率定義：

定義是投資者為了避免參與賭博（一個不確定性）而愿意放棄的財富或交納的罰金的最大數(shù)量，如果第四十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/740更一般的表示為：

其中這個罰金又稱為馬科維茨風險溢價（Markowitzriskpremium）。第四十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/741

圖1－2風險貼水（溢價）概念第四十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/742稱為普拉特－阿羅風險溢價（Pratt-Arrowriskpremium）。稱為（普拉特－阿羅）絕對風險厭惡度量（absoluteriskaversion）。

第四十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/743

1.7風險大小的測量利用風險貼水度量利用風險貼水度量，取決于對經(jīng)濟行為主體的假定只是對于同一類經(jīng)濟行為主體，風險貼水值的大小才能衡量風險程度的大小風險貼水測度依賴于經(jīng)濟行為主體的主觀條件，與決策者的主觀評價（偏好關(guān)系）有關(guān)。

第四十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/744利用方差測度方差純粹是從風險的數(shù)量特征來測定風險的程度（大小）的在一定意義上可以認為，方差對于風險的測度是客觀的，描述了選擇結(jié)果偏離預(yù)期值的程度，而與經(jīng)濟行為主體的主觀條件無關(guān)。第四十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7451.8風險厭惡的度量風險厭惡度量的導出在一定的假設(shè)條件下，即經(jīng)濟行為主體面對的是公平博彩并且風險很小時，普拉特（Pratt1964年）和阿羅（Arrow,1970年）分別證明經(jīng)濟行為主體的效用函數(shù)特征

可以用來度量經(jīng)濟行為主體的風險厭惡程度。第四十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/746絕對風險厭惡度量對于具有二次連續(xù)可微的效用函數(shù)的經(jīng)濟行為主體，我們定義如下的風險厭惡度量

為阿羅－普拉特絕對風險厭惡度量。風險容忍度（risktolerance）阿羅－普拉特相對風險厭惡度量

第四十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/747

風險厭惡度量的性質(zhì)絕對風險厭惡度量，主要考察在初始財富相同的條件下，具有不同風險厭惡程度的經(jīng)濟行為主體的風險行為特點；相對風險厭惡度量，主要考察經(jīng)濟行為主體隨著個人財富或消費的變化，對風險資產(chǎn)的投資行為的變化。即當財富增加時，其投資于有風險資產(chǎn)的財富比例的變化。第四十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/748普拉特定理假設(shè)是兩個二次可微的，嚴格單調(diào)遞增的凹函數(shù)，那么以下三種表述方式是等價的：命題4

假設(shè)投資者i比k具有更強的風險厭惡，若要使他們對風險投資進行等量投資，則對i來說需求的風險溢價要比k所需求大。就是說，風險厭惡傾向強的投資者對風險投資相對更小。第四十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/749定義(Arrow,1970)

前面都是假定投資者的初始財富不變。現(xiàn)在我們考察隨著個人財富的增加投資者對風險資產(chǎn)的投資變化，從而可以觀察投資者對風險資產(chǎn)的態(tài)度，是否將風險資產(chǎn)視為正常品（normalgoods).第五十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/750阿羅－普拉特定理：對于遞減絕對風險厭惡的經(jīng)濟行為主體，隨著初始財富的增加，他對風險證券的的投資逐漸增大，也就是說，他視風險證券為正常品；對于遞增絕對風險厭惡的經(jīng)濟行為主體，隨著初始財富的增加，他對風險證券的的投資逐漸減少，也就是說，他視風險證券為劣等品；對常數(shù)絕對風險厭惡的經(jīng)濟行為主體，他對風險證券的的投資與初始財富的變動無關(guān)。

第五十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/751阿羅－普拉特相對風險厭惡度量：

第五十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/752

由前面可知，假若風險厭惡是絕對遞減的，投資者隨著他的財富增加將會加大對風險的絕對投資量，但是并不清楚相對于總財富的風險投資比例是增大、不變還是減少。為了回答這個問題，進一步借助相對風險厭惡度量概念。命題5對于遞增相對風險厭惡的經(jīng)濟行為主體，風險證券需求的財富彈性小于1（即隨著財富的增加，投資于風險資產(chǎn)相對于財富的比例下降）；對于常數(shù)相對風險厭惡的經(jīng)濟行為主體，風險證券需求的財富彈性等于1；對于遞減相對風險厭惡的經(jīng)濟行為主體，風險證券需求的財富彈性大于1。第五十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7531.8兩基金貨幣分離

對于多種風險資產(chǎn)的市場，前面的一些結(jié)論未必成立，若投資者持有同一的風險資產(chǎn)組合，而對于不同初始財富水平僅僅改變風險資產(chǎn)組合與無風險資產(chǎn)之間的比例，那么在多種風險資產(chǎn)環(huán)境里前面的簡單比較靜態(tài)結(jié)果仍然有效。

兩基金貨幣分離（twofundmonetaryseparation）：

在多種風險資產(chǎn)的市場，若投資者的最優(yōu)證券組合對于不同的財富水平總是無風險資產(chǎn)和一個風險資產(chǎn)共同基金的線性組合，對于不同初始財富水平僅僅改變風險資產(chǎn)組合與無風險資產(chǎn)之間的比例。這種現(xiàn)象被稱為兩基金貨幣分離。即最優(yōu)風險資產(chǎn)投資為

其中為與無關(guān)常數(shù)，此即

第五十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/754定理（Cass&Stiglitz,1970）假設(shè)資產(chǎn)市場具有多種風險資產(chǎn)，存在兩基金貨幣分離現(xiàn)象的充要條件是效用函數(shù)滿足對于所有的z。稱證券組合是部分分離的（partiallyseparated），如果