第二章穩(wěn)定電場

第二章穩(wěn)定電場§

2.1真空中的靜電場1、庫侖定律

庫侖定律表述式

是表征真空電性質(zhì)的物理量，稱為真空的介電常數(shù)，其值為

（國際單位制）（高斯單位制）

庫侖定律表明，真空中兩個靜止點電荷間的作用力大小與兩點電荷電量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線。同號電荷之間是斥力，異號電荷之間是引力。

施力電荷靜止，受力電荷運動，它們間的作用仍滿足庫侖定律。

兩點電荷之間的作用力符合牛頓第三定律。

庫侖定律只能直接用于點電荷。所謂點電荷，是指當帶電體的尺度遠小于它們之間的距離時，將其電荷集中于一點的理想化模型。（高斯單位制）

對于實際的帶電體，一般應該看成是分布在一定的區(qū)域內(nèi)，稱其為分布電荷。用電荷密度來定量描述電荷的空間分布情況。其單位是庫/米3(C/m3)。這里的ΔV趨于零，是指相對于宏觀尺度而言很小的體積，以便能精確地描述電荷的空間變化情況；但是相對于微觀尺度，該體積元又是足夠大，它包含了大量的帶電粒子，這樣才可以將電荷分布看作空間的連續(xù)函數(shù)。2、電荷分布1）、電荷體密度：在電荷分布區(qū)域內(nèi)，取體積元ΔV，若其中的電量為Δq，則電荷體密度為

2）、電荷面密度：如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認為電荷分布在一個幾何曲面上，用面密度描述其分布。若面積元ΔS內(nèi)的電量為Δq，則面密度為

3）、電荷線密度：對于分布在一條細線上的電荷用線密度描述其分布情況。若線元Δl內(nèi)的電量為Δq，則線密度為3、電場強度

用電場強度來描述電場。

1）、定義：空間一點處的單位正試驗電荷所受到的力定義為該點的電場強度。由庫侖定律，在點電荷的場中距點電荷r處，試驗電荷

受到的電場力為點電荷的電場強度2）場強疊加原理：對于離散的點電荷系，由場強疊加原理有

對于體分布的電荷，可將其視為一系列點電荷的疊加，從而得出r點的電場強度為電場分布的幾何描述——電場線電場線方程帶電平行板

負點電荷

正點電荷

幾種典型的電場線分布4、靜電場的第一基本定律1）、高斯定理

由高斯定理知，真空中電場強度關于一閉合曲面的電通量與閉合曲面內(nèi)的電荷有關系為

高斯定理以電通量的形式給出了靜電場與源——電荷間的關系；高斯定理具有普適性，但利用它求解電場時，對電場的對稱性有要求。2）、靜電場的散度表明：真空中靜電場的電場強度在某點的散度等于該點的電荷體密度的4

倍。靜電場是有散的場，其源為電荷。5、靜電場的第二基本定律可以證明：由斯托克斯定理得

式中S是以回路L為周界的任意曲面。靜電場的旋度等于零，即靜電場是無旋的場。1)、靜電場的勢U6、靜電場的勢定義：單位正電荷由場中某一點P點移至無限遠處時場力所作的功。對于點電荷：對于體電荷：對于面電荷：2）勢與場強的關系當B無限靠近A時，此增量可寫成一微分

在直角坐標系中，場強度沿坐標軸的三分量應為

根據(jù)全微分定義我們有

靜電場中任一點的場強E等于該點的勢的負梯度

若討論的區(qū)域ρ=0，則方程為7、靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程

上述方程稱為拉普拉斯方程。因為所以

用電偶極矩表示電偶極子的大小和空間取向，定義為電偶極子在空間任意點的電勢為§

2.2偶極子場1、電偶極子一對等量異號的電荷+q、-q，位置十分靠近，其距離為l，

方向是從負電荷指向正電荷。由于l<<r偶極子電場強度為

上述結(jié)果表明：電偶極子遠區(qū)的電勢與距離平方成反比，電場強度的大小與距離的三次方成反比。電偶極子的電場分布圖2、偶極子面分布（偶層）的場偶層：兩個十分靠近，彼此平行的帶電面，面上帶有數(shù)量相等，符號相反的電荷。設偶層矩為結(jié)論：均勻偶層在P點的勢值等于偶層矩和偶層邊緣對P點所張立體角的乘積（規(guī)定：從P點看到偶層正荷面，立體角為正，反之為負。討論：任一偶層（閉合或不閉合均可）的勢，當經(jīng)過層面時，發(fā)生的突變。閉合偶層非閉合偶層★例1一均勻圓薄板（偶層）的場強和勢，面電荷密度為§2.3電介質(zhì)中的場方程1、電介質(zhì)在外加電場中產(chǎn)生極化的物質(zhì)稱為電介質(zhì)。電介質(zhì)是由分子組成的，而分子又是由帶正負電荷的質(zhì)點（電子和原子核）組成的。有極分子：分子的正負電荷中心在無外場時不重合，分子存在固有電偶極矩。無極分子：分子的正負電荷中心在無外場時重合，不存在固有電偶極矩。沒有外電場作用的情形下，由于分子的不規(guī)則運動，有極分子偶極矩取不同的方向，體積內(nèi)所有分子的偶極矩之矢量和為零，無極分子由于正負電荷中心重合，都處于不帶電狀態(tài)。2、介質(zhì)的極化

導體中的電子稱為自由電子，其攜帶的電荷稱為自由電荷。介質(zhì)中的電荷是不會自由運動的，這些電荷稱為束縛電荷。在外電場的作用下，電荷會沿電場方向產(chǎn)生位移，產(chǎn)生極化。介質(zhì)的極化方式可分為：位移極化（無極分子）取向極化（有極分子）外電場作用下，便偶極矩方向轉(zhuǎn)向和外電場一致。外電場作用下，不再重合，出現(xiàn)偶極矩。1）極化強度的定義

極化強度描述介質(zhì)的極化程度，表示極化介質(zhì)中某位置處單位體積內(nèi)（平均）分子電偶極矩。其中的表示分子的電偶極矩，為介質(zhì)中的體積元。極化介質(zhì)可視為無數(shù)偶極子的組合，極化狀態(tài)完全由極矩來決定。極化強度的定義：單位體積介質(zhì)內(nèi)的極矩

發(fā)生極化以后，介質(zhì)表面出現(xiàn)面分布的束縛電荷。若介質(zhì)內(nèi)部是不均勻的，則極化產(chǎn)生的電偶極子的分布也是不均勻的，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷的體分布，因而出現(xiàn)體分布的束縛電荷。這種因極化產(chǎn)生的面分布及體分布的束縛電荷又稱為極化電荷。極化電荷也要產(chǎn)生電場，影響原外電場分布。2）、極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位設極化介質(zhì)的體積為V，表面積是S，極化強度，現(xiàn)在計算介質(zhì)外部任一點的電位。取體積元dV′，將其中的介質(zhì)當成一偶極子，其偶極矩為

，它在處產(chǎn)生的電位是整個極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位為再利用矢量恒等式：

極化電荷體密度極化電荷面密度與前述電位的積分公式比較，有3、介質(zhì)中的場方程靜電場中放入一電介質(zhì)，在某點產(chǎn)生的電勢應為靜電場產(chǎn)生的勢電介質(zhì)極化后產(chǎn)生的勢在電介質(zhì)中應為電位移矢量有4、介電常數(shù)

對于線性的均勻介質(zhì)為極化率，是一個大于或等于0的無量綱常數(shù)，與介質(zhì)有關由為介質(zhì)的介電常數(shù)，

因為k>0,所以總是大于1，只有在真空中，k=0,

空間各點極化率相同的介質(zhì)稱為均勻介質(zhì)，否則，稱為非均勻介質(zhì)；極化率與電場強度的大小無關的介質(zhì)稱為線性介質(zhì)，否則，稱為非線性介質(zhì)；若極化率是一個正實常數(shù)，為線性均勻且各向同性的介質(zhì)。若極化率表示為矩陣，且矩陣的各個元素都是一個正實常數(shù)，則為線性均勻各向異性的介質(zhì)。極化率與時間無關的介質(zhì)稱為靜止媒質(zhì)，否則稱為運動媒質(zhì)。對于均勻線性介質(zhì)(ε為常數(shù))，電位滿足如下的泊松方程

5、電介質(zhì)場方程若無電荷分布，電位滿足拉普拉斯方程§

2.4電介質(zhì)場的邊界條件

1、電位移法向分量的連續(xù)條件或

電位移法向分量的不連續(xù)，與分界面的自由面電荷的存在有關電位移法向分量的邊界條件用電位可表示為

如果界面上無自由電荷分布，即在σ=0時，邊界條件變?yōu)榛?/p>

當分界面的自由面電荷不存在，電位移法向分量連續(xù)對于各向同性的線性介質(zhì)，有

此式表明：在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上電場強度的法向分量不連續(xù)。

在σ=0時，電位移法向分量的邊界條件用電位可表示為

2、電場強度切向分量的連續(xù)條件即此式表明：在兩種介質(zhì)形成的邊界上，兩側(cè)的電場強度的切向分量相等，即電場強度的切向分量是連續(xù)的。

對于各向同性的線性介質(zhì)在邊界上，電位移的切向分量是不連續(xù)的。

設區(qū)域1和區(qū)域2內(nèi)電場線與法向的夾角分別為θ1、θ2，分界面處的折射定理

折射定理表明，電場線在分界面上通常要改變方向。

在σ=0時，由電位移法向分量和場強的切向分量的邊界條件有：

§

2.5導電體中的穩(wěn)定電場—電流場

分類：傳導電流與運流電流

傳導電流是導體中的自由電子（或空穴）或者是電解液中的離子運動形成的電流。

運流電流是電子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中運動形成的電流。一、電流分布1、（體）電流密度設垂直通過ΔS的電流為ΔI，則該點處的電流密度為

載流導體內(nèi)每一點都有一個電流密度，構(gòu)成一個矢量場，稱這一矢量場為電流場。電流場的矢量線叫做電流線。通過面積S的電流等于電流密度在S上的通量電流密度與流過任意面積S的電流強度I的關系：2、（面）電流密度設垂直通過ΔL

的電流為ΔI，則該點處的電流密度為

二、電流連續(xù)性方程

在電流場中有一閉合曲面S，由電荷守恒定律電流連續(xù)性方程

要該積分對任意的體積V均成立，必須有被積函數(shù)為零

電流連續(xù)性方程微分形式

電流連續(xù)性方程積分形式

恒定電場的電流連續(xù)性方程

若電荷分布恒定，即三、歐姆定律的微分形式電功率密度一段載流I導體，端電壓為U，電阻為R，由歐姆定律歐姆定律微分形式

電導率為無限大的導體稱為理想導電體。在理想導電體中，無需電場推動即可形成電流，所以在理想導電體中是不可能存在恒定電場的，否則，將會產(chǎn)生無限大的電流，從而產(chǎn)生無限大的能量。但是，任何能量總是有限的。

電導率為零的媒質(zhì)，不具有導電能力，這種媒質(zhì)稱為理想介質(zhì)。理想介質(zhì)內(nèi)無電流存在。

電導率不為零的媒質(zhì)，具有導電能力，這種媒質(zhì)稱為導電介質(zhì)。媒質(zhì)電導率(S/m)媒質(zhì)電導率(S/m)銀海水4紫銅淡水金干土鋁變壓器油黃銅玻璃鐵橡膠表常用材料的電導率

按電導率對介質(zhì)的分類理想導體理想介質(zhì)（絕緣介質(zhì)）導電媒質(zhì)

與介質(zhì)的極化特性一樣，媒質(zhì)的導電性能也表現(xiàn)出均勻與非均勻，線性與非線性以及各向同性與各同異性等特點，這些特性的含義與前相同。上述公式僅適用于各向同性的線性媒質(zhì)。

焦耳定律電功率密度

當導體兩端的電壓為U，流過的電流為I時，則在單位時間內(nèi)電場力對電荷所作的功——電功率

在導體中，沿電流線方向取一長度為ΔL、截面為ΔS的體積元，該體積元內(nèi)消耗的功率為

載流導體內(nèi)任一點的熱功率密度為

焦耳定律的微分形式四、恒定電流場的基本方程電位方程載流導電媒質(zhì)中恒定電場的基本方程（不包括電源）

積分形式

微分形式

本構(gòu)關系電位及電位方程

對于均勻的導電媒質(zhì)恒定電場的電位滿足拉普拉斯方程

例設一段環(huán)形導電媒質(zhì)，其形狀及尺寸如圖示。計算兩個端面之間的電阻。

Uyxtabr0(r,)0解選用圓柱坐標系。設兩個端面之間的電位差為U，且令

當角度時，電位。當角度時，電位。由于導電媒質(zhì)中的電位

僅與角度

有關，電位滿足的方程式為此式的通解為

利用給定的邊界條件，求得

導電媒質(zhì)中的電流密度J為由的端面流進該導電媒質(zhì)的電流I

為該導電塊的兩個端面之間的電阻R為五、恒定電流場的邊界條件

由積分形式

可得恒定電流場中不同導電媒質(zhì)分界面的邊界條件

即恒定電流場的邊界條件為

恒定電流場中不同導電媒質(zhì)分界面兩側(cè)的電場強度切向分量連續(xù)，但其法向分量不連續(xù)；而電流密度的法向分量連續(xù)，但其法向分量不連續(xù)。

在恒定電場中，分界面處用電位表示的邊界條件為應用邊界條件，可得分界面處的折射定理討論：兩種導電媒質(zhì)

當一種導電媒質(zhì)為不良導體，另一種導電媒質(zhì)為良導體，若電導率，如同軸線的內(nèi)外導體通常由電導率很高(107

數(shù)量級)的銅或鋁制成，填充在兩導體間的材料不可能是理想的絕緣電介質(zhì),總有很小的漏電導存在，如聚乙烯的電導率為10-10

數(shù)量級，由

當σ1>>σ2，第一種媒質(zhì)為良導體時，第二種媒質(zhì)為不良導體時，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良導體中，電力線近似地與界面垂直，這時可將良導體的表面近似地看作等位面。

2）理想介質(zhì)與良導體

可知E2不垂直導體表面,導體表面不是等位面,導體也不是等位體,這是由于σ1有限,導體中沿電流方向存在電場。而在靜電場中,導體內(nèi)電場強度為零,介質(zhì)中的場強總是垂直導體表面,導體是等位體,其表面是等位面。在這一點,恒定電場與靜電場有根本的區(qū)別。由上知，在均勻?qū)w內(nèi)電流沿平行于導體表面流動。4）載恒定電流的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部無（體）電荷存在即，載恒定電流的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部無（體）電荷存在，電荷分布在載流導體的表面。4）有電流流過兩種導電媒質(zhì)分界面時界面的電荷

當恒定電流通過電導率不同的兩導電媒質(zhì)時,其電流密度和電場強度要發(fā)生突變。故分界面上必有電荷分布。分界面上的面電荷密度當時，分界面上的面電荷密度為零。

可見,在兩種導電媒質(zhì)分界面上一般有一層自由電荷分布。如果導電媒質(zhì)不均勻,在媒質(zhì)中還會有體電荷的存在。六、恒定電流場與靜電場的比擬

物理量的對偶關系

靜電場恒定電場

因此，當恒定電流場與靜電場的邊界條件相同時，電流密度的分布與電場強度的分布特性完全相同。根據(jù)這種類似性，可以利用已經(jīng)獲得的靜電場的結(jié)果直接求解恒定電流場。或者由于在某些情況下，恒定電流場容易實現(xiàn)且便于測量時，可用邊界條件與靜電場相同的電流場來研究靜電場的特性，這種方法稱為靜電比擬法。

靜電比擬法的理論依據(jù)：解的唯一性定理

利可用已經(jīng)獲得的靜電場結(jié)果可以求解恒定電流場。

利用兩種場方程，可求兩個電極間的電阻及電導與電容的關系為若已知兩電極之間的電容，由上述兩式可求得兩電極間的電阻及電導。

例如，已知面積為S，間距為d

的平板電容器的電容，若填充的非理想介質(zhì)的電導率為

，則極板間的漏電導為又如單位長度內(nèi)同軸線的電容；若同軸線填充介質(zhì)具有的電導率為，則單位長度內(nèi)同軸線的漏電導§

2.8邊值問題的分類與解的唯一性定理

數(shù)學物理方程是描述物理量隨空間和時間的變化規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。穩(wěn)恒場的場量與時間無關，因此其位函數(shù)所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點的電位就是穩(wěn)恒場的邊值問題。第三類邊值問題：給定一部分邊界上每一點的電位，同時給定另一部分邊界上每一點的電位法向?qū)?shù)。第二類邊值問題：給定邊界上每一點位函數(shù)的法向?qū)?shù)，即已知給定導體上的總電量亦屬于第二類邊值問題。

第一類邊值問題：給定整個邊界上的位函數(shù)值，即；已知其中表示邊界。1、邊值問題的分類

對于任何數(shù)學物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問題。解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。解的穩(wěn)定性是指當定解條件發(fā)生微小變化時，所求得的解是否會發(fā)生很大的變化。

解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。

電磁場是客觀存在的，因此位函數(shù)微分方程解的存在確信無疑。2、格林定理設矢量函數(shù)為其中與均為標量函數(shù)。其中是所涉及區(qū)域體積的邊界閉合面。即得

這就是格林第一恒等式。n是面元的外法向，即閉合面的外法向。又設矢量函數(shù)為進行如上相同的運算，可得（1）式與（2）式相減，可得該式稱為格林第二恒等式。2、唯一性定理內(nèi)容：對于三類邊值問題中的任何一類，在滿足方程和邊界條件下，無論用什么方法所得的解都是正確的，且是唯一的。設在區(qū)域V內(nèi)有兩個不同的解

和，它們均滿足泊松方程在V的邊界S上，和滿足同樣的邊界條件，即以下以第一類邊值問題為例證明唯一性定理。令，則在V內(nèi)，，在邊界面S上，。在格林第二恒等式中，令，則由于，所以有

因為在S上，有可得，即即為同一個解，最多相差一個常數(shù)?！?.9

鏡像法

1、鏡像法用鏡像法求解的依據(jù)是解的唯一性定理。

鏡像法是求解靜態(tài)場邊值問題的一種方法。該方法的實質(zhì)是在滿足方程和邊界條件下，用簡單電荷代替復雜的感應電荷或極化電荷。

求解的關鍵問題是確定像電荷的位置、電量、電性等，依據(jù)是邊界條件，像電荷只能置于求解區(qū)域外。2、平面鏡像法

例、求置于無限大接地平面導體上方，距導體面為h處的點電荷q的電位。

介質(zhì)

導體

qrP分析：

導體平面上空的電場是由點電荷和導體表面的感應電荷共同產(chǎn)生。但感應電荷分布非均勻，且未知，直接求解困難。該問題的求解條件是：當導體上方時，（除點電荷所在位置）；當導體表面處時，；

設在導體下方與點電荷對稱的位置處有一點電荷（像電荷），用該像電荷代替導體上的感應電荷，即引入后，就像把導體平面抽走一樣，用兩點電荷的場疊加計算。

用一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即

解：

介質(zhì)

導體

qrP

介質(zhì)qrPhh

介質(zhì)z0對于平面上的任一點的電位有即像電荷與原點電荷電量相等，電性相反；的作用代替了導體上的感應電荷。在區(qū)域內(nèi)，電位的解為可得導體表面的面電荷密度：導體表面總的感應電荷：

電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。電場線等位線z電場線等位線由此可見，電場線處處垂直于導體平面，而零電位面與導體表面吻合。

半空間等效：上述等效性僅對于導體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。例、求a圖相互正交的兩個無限大接地導體平面間的電場b圖給出了a圖解的鏡像電荷

對于半無限大導體平面形成的劈形邊界也可應用鏡像法。但是僅當這種導體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為的導電劈需引入5個鏡像電荷。

q/3/3q

連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導體平面附近時，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應用鏡像法求解。平面介質(zhì)鏡像法

例、設兩種介電常數(shù)分別為ε1、ε2的介質(zhì)充填于x<0及x>0的半空間，在介質(zhì)2中點(d,0,0)處有一點電荷q,如圖所示，求空間各點的電位。

21qetenx

為了求解上半空間的場可用鏡像電荷q'等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為2的均勻空間。對于下半空間，可用位于原點電荷處的q"等效原來的點電荷q

與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1的均勻空間。(a)介質(zhì)鏡像問題；(b)與x>0區(qū)域等效；(c)與x<0區(qū)域等效+

必須使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向分量保持連續(xù)，電位移的法向分量應該相等，即

各個點電荷產(chǎn)生的電場強度分別為E2

2

2qr0E‘2E2tE2nq'

1

1q"E“1

21qeten=E2

2

2qrE‘2E2tE2nq'

1

1q"E“1+=

21qetenx(a)介質(zhì)鏡像問題；(b)與x>0區(qū)域等效；(c)與x<0區(qū)域等效可解得例2設一根載有恒定電流I的無限長導線與無限大的理想導磁平面平行放置，如圖示。導線與平面間的距離為h

，試求上半空間任一點磁場強度。

xXhy

=

0IOr'hhPyx

0IH1H2H1H2HOrI''

0解采用鏡像法。設在鏡像位置放置一根無限長的恒定電流I

，那么上半空間任一點合成磁場強度為xXhy

=

0IOr'hhPyx

0IH1H2H1H2HOrI''

0

理想導磁體表面的磁場強度的切向分量必須為零，為了滿足這個邊界條件必須要求I=I′。合成磁場為對于邊界上任一點y=0，得

所得結(jié)果滿足前述的邊界條件，即磁場強度垂直于理想導磁體邊界。

3、球面鏡像法

例、

如下圖所示，一個半徑為a的接地導體球，一點電荷q位于距球心d處（d>a)，求球外任一點的電位。

dqo解：先試探用一個鏡像電荷q′等效球面上的感應面電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場。從對稱性考慮，鏡像電荷q′應置于球心與電荷q的連線上，設q′離球心距離為b(b<a)，球外任一點的電位是由電荷q與鏡像電荷q′產(chǎn)生電位的疊加，即

Pabrq當計算球面上一點的電位時，有r、r/分別是從q、q′到球面上點P的距離。在上式中q′和b是待求量。取球面上的點分別位于A、B兩點，可以得到確定q′、b的兩個方程：

解之得

dqoPabrqAB

如果導體球不接地且不帶電，可用鏡像法和疊加原理求球外的電位。此時球面必須是等位面，且導體球上的總感應電荷為零。應使用兩個等效電荷：一個是q′，其位置和大小由上式確定；另一個是q″,q″=-q′,q″位于球心。

如果導體球不接地，且?guī)щ姾蒕，即q′位置和大小同上，q″的位置也在原點，但q″=Q-q′,即q″=Q+qa/d。

可以算出球面上總的感應電荷l線電荷與帶電的導體圓柱

Padbr-lO

在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離b

處，平行放置一根鏡像電荷。已知無限長線電荷產(chǎn)生的電場強度為離線電荷r處，以為參考點的電位為

若令鏡像線電荷產(chǎn)生的電位也取相同的作為參考點，則及在圓柱面上P點共同產(chǎn)生的電位為

已知導體圓柱是一個等位體，為了滿足這個邊界條件，必須要求比值為常數(shù)。與前同理，可令，得

例、空氣中有兩個半徑相同(均等于a)的導體球相切，試用球面鏡像法求該孤立導體系統(tǒng)的電容。解：

設其位于A1處，則右側(cè)的q在左面的導體球面也有一個鏡像電荷，大小也是q1，位于A1’處。由問題本身的對稱性可知，左面的電荷總是與右側(cè)分布對稱。以下僅分析右面的。左面的q1在右導體球上也要成像，這個鏡像電荷記為q2,位于A2處。依此類推，有

因而，導體系統(tǒng)的總電荷為導體面的電位為所以，這個孤立導體系統(tǒng)的電容為4、圓柱面鏡像法（電軸法）

1）線密度為的一對無限長平行線電荷，如圖示，求其電位分布及等位面方程

線電荷的電位：線電荷的電位：任一點p(x,y)的總電位

用直角坐標表示為等位線方程為

這個方程表示一簇圓，圓心在(x0,y0)，半徑是R

（1）每一個給定的m(m>0)值，對應一個等位圓，此圓的電位為（2）幾何關系為2）電軸法

對于長直圓柱導體類的問題，如：一對長直輸電導線，當其帶電時，由于靜電感應，面電荷不再均勻分布，但電荷線密度不變，其表面為等位面，在與軸垂直相交的平面上表現(xiàn)為圓周線。故可利用一對平行直線電荷（等效電軸）的場分布求解，該方法叫電軸法。電軸法的關鍵就是確定電軸。

例、兩平行長直圓柱導體的半徑都為a，導體軸線之間的距離是2h（如圖），求導體單位長度電容。用電軸法求解解之得

解1：設兩個導體圓柱單位長帶電分別為，利用柱面鏡像法，等效電軸（兩線電荷）相距原點均為d，兩個導體面的電位分別為

。有幾何關系為當b>>a時，

解2：設兩個導體圓柱單位長帶電分別為，利用柱面鏡像法，等效電軸（兩線電荷）相距原點均為d，兩個導體面的電位分別為

。有幾何關系為兩導體圓柱間的電壓為兩導體圓柱間的單位長度電容為§

2.10分離變量法1、直角坐標系中的分離變量法設可以表示為三個函數(shù)的乘積，即

在直角坐標系中，拉普拉斯方程為然后用fgh除上式，得令知分離變數(shù)間有關系為分離變數(shù)、、與變量無關，且不可全為實數(shù)或虛數(shù)。這樣，將拉普拉斯方程的求解問題分解為三個分別僅與x、y、z變量有關的常微分方程組的求解，以下以與x有關的微分方程為例，說明當分離變數(shù)取不同值時的特征解。當時，則

當時，則

當時，則

或的特征解有：

例、橫截面如圖所示的導體長槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導體蓋板，截面尺寸為a×b，槽體的電位為零，蓋板的電位為U0，求此區(qū)域內(nèi)的電位。

解：

本題的電位與z無關，只是x、y的函數(shù)。

在區(qū)域0<x<a、0<y<b內(nèi)，邊界條件為：①x=0,(0,y)=0；②x=a,(a,y)=0③y=0,(x,0)=0；④

y=b,(x,b)=U0

設，利用分離變量法求解由邊界條件（1）、（2）知具有周期性，且

取不同的n值對應的并疊加，即由邊界條件④，有其中

左右兩邊同乘以sin(mπx/a)，并在區(qū)間(0，a)積分，有有

所以，當n=1,3,5,…時，

得到待求區(qū)域的電位為2、圓柱坐標系中的分離變量法運用分離變量法，令

當電位與坐標變量z無關時，上式第三項為零，此時電位

(r,φ)滿足二維拉普拉斯方程：兩個常微分方程：

當時，n=1，2，3…為整數(shù)，且()與()是空間同一點，有方程（1）的解為所以，方程（2）的解為三角函數(shù)解，即即電位的通解為上式對n的求和當n=0時，

例、

將半徑為a的無限長導體圓柱置于真空中的均勻電場E0中，柱軸與E