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文檔簡(jiǎn)介

《計(jì)算方法》2插值法主要知識(shí)點(diǎn)Lagrange插值(含線性插值、拋物插值、n次Lagrange插值公式);牛頓(Newton)插值及余項(xiàng)、差商的定義與性質(zhì);埃爾米特(Hermite)插值公式及余項(xiàng);等距節(jié)點(diǎn)的多項(xiàng)式插值、分段低次多項(xiàng)式插值、三次樣條插值。插值問題描述設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值:插值問題:根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式,以便于計(jì)算點(diǎn)的函數(shù)值,或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。多項(xiàng)式插值定義

在眾多函數(shù)中,多項(xiàng)式最簡(jiǎn)單、最易計(jì)算,已知函數(shù)個(gè)互不相同的點(diǎn)處的函數(shù)值,為求的近似式,自然應(yīng)當(dāng)選次多項(xiàng)式使

滿足條件:插值的幾何意義插值多項(xiàng)式的幾何意義插值唯一性定理定理:(唯一性)滿足的n

階插值多項(xiàng)式是唯一存在的。存在唯一性定理證明設(shè)所要構(gòu)造的插值多項(xiàng)式為:由插值條件得到如下線性代數(shù)方程組:存在唯一性定理證明(續(xù))此方程組的系數(shù)行列式為范得蒙行列式!當(dāng)

時(shí),

D

0,因此,Pn(x)由a0,a1,…,an唯一確定。插值方法一、解方程組法:類似插值唯一性定理證明過程,先設(shè)插值多項(xiàng)式函數(shù)為,將(n+1)個(gè)節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值代入多項(xiàng)式里,便得到(n+1)個(gè)等式,得到一個(gè)關(guān)于多項(xiàng)式里系數(shù)的線性方程組,解此線性方程組,便得到所要求的插值多項(xiàng)式。二、基函數(shù)法:一種既能避免解方程組,又能適合于計(jì)算機(jī)求解的方法,下面將具體介紹。拉格朗日插值公式拉格朗日(Lagrange)插值公式的基本思想是,把pn(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為(n+1)個(gè)插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,…,n)的構(gòu)造。線性插值函數(shù)x0x1(x0,y0)(x1,y1)P1(x)f(x)可見是過和兩點(diǎn)的直線。拋物插值函數(shù)x0x1x2p2(x)f(x)f(x)因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線,故稱為拋物插值。N次插值函數(shù)要求:無重合節(jié)點(diǎn),即設(shè)連續(xù)函數(shù)

在[a,b]上對(duì)給定n+1個(gè)不同結(jié)點(diǎn):分別取函數(shù)值其中試構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過n的插值多項(xiàng)式使之滿足條件

i=0,1,2,…,n一次Lagrange插值多項(xiàng)式(1)

已知函數(shù)在點(diǎn)上的值為,要求多項(xiàng)式,使,。其幾何意義,就是通過兩點(diǎn)的一條直線,如圖所示。一次Lagrange插值多項(xiàng)式(2)一次插值多項(xiàng)式一次Lagrange插值多項(xiàng)式(3)由直線兩點(diǎn)式可知,通過A,B的直線方程為

它也可變形為

顯然有:一次Lagrange插值多項(xiàng)式(4)記可以看出的線性組合得到,其系數(shù)分別為,稱為節(jié)點(diǎn),的線性插值基函數(shù)一次Lagrange插值多項(xiàng)式(5)線性插值基函數(shù)滿足下述條件1001并且他們都是一次函數(shù)。注意他們的特點(diǎn)對(duì)下面的推廣很重要一次Lagrange插值多項(xiàng)式(6)稱

為點(diǎn)

的一次插值基函數(shù),

為點(diǎn)

的一次插值基函數(shù)。它們?cè)趯?duì)應(yīng)的插值點(diǎn)上取值為1,而在另外的插值點(diǎn)上取值為0。插值函數(shù)

是這兩個(gè)插值基函數(shù)的線性組合,其組合系數(shù)就是對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的函數(shù)值。這種形式的插值稱作為拉格朗日(Lagrange)插值。二次Lagrange插值多項(xiàng)式1

線性插值只利用兩對(duì)值及求得的近似值,誤差較大。

p2(x)是x的二次函數(shù),稱為二次插值多項(xiàng)式。通過三點(diǎn)的插值問題稱為二次插值或拋物插值。二次Lagrange插值多項(xiàng)式2以過節(jié)點(diǎn)的二次函數(shù)為插值函數(shù)。用基函數(shù)的方法獲得其中設(shè)被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為N次插值函數(shù)1我們看到,兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式,而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。當(dāng)插值點(diǎn)增加到n+1個(gè)時(shí),我們可以利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項(xiàng)式,如下所示:N次插值多項(xiàng)式問題2已知n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值求一個(gè)n次插值函數(shù)滿足N次插值多項(xiàng)式3構(gòu)造各個(gè)插值節(jié)點(diǎn)上的基函數(shù)滿足如下條件100001000001N次插值多項(xiàng)式4求n次多項(xiàng)式,

k=0,1,…,n則

i=0,1,2,…,n即

滿足插值條件根據(jù)

的表達(dá)式,以外所有的結(jié)點(diǎn)都是

的根,N次插值多項(xiàng)式5又由

,得:

因此令N次插值多項(xiàng)式6從而得n階拉格朗日(Lagrange)插值公式:N次插值多項(xiàng)式7在[a,b]內(nèi)存在,考察截?cái)嗾`差設(shè)節(jié)點(diǎn),且f

滿足條件,

存在使得。且推廣:若使得使得羅爾定理:若在[]連續(xù),在充分光滑,N次插值多項(xiàng)式8注:

通常不能確定x

,而是估計(jì)x(a,b)

,

將作為誤差估計(jì)上限。

當(dāng)

f(x)為任一個(gè)次數(shù)n

的多項(xiàng)式時(shí),,可知插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)n的多項(xiàng)式是精確的。例題分析1例:已知特殊角處的正弦函數(shù)值分別為求正弦函數(shù)的一次、二次插值多項(xiàng)式,并用插值函數(shù)近似計(jì)算,并估計(jì)誤差解:一次插值函數(shù)為例題分析2誤差為在所求點(diǎn)的函數(shù)值為誤差為知例題分析3二次插值多項(xiàng)式為誤差為所求函數(shù)值為例題分析4誤差為右圖中紅色曲線為圖形,綠色曲線為插插值函數(shù)的圖形。Newton插值

求作n次多項(xiàng)式使得:插值問題討論Lagrange插值雖然易算,但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。TheGiant“NatureandNature'slawslayhidinnight:Godsaid,LetNewtonbe!andallwaslight.”---AlexanderPopeNewton插值的承襲性Newton插值具有承襲性的插值公式

線性插值公式可以寫成如下形式:其中,其修正項(xiàng)的系數(shù)再修正可以進(jìn)一步得到拋物插值公式其中以上討論說明,為建立具有承襲性的插值公式,需要引進(jìn)差商概念并研究其性質(zhì)。差商的概念1.差商的定義定義1:設(shè)有函數(shù)f(x)以及自變量的一系列互不相等的x0,x1,…,xn

(即在ij時(shí),xixj)的值f(xi)

,

稱為f(x)在點(diǎn)xi,xi處的一階差商,并記作f[xi,xj],差商的概念(續(xù))又稱為在點(diǎn)處的二階差商

為f(x)在點(diǎn)處的n階差商。差商表xf(x)一階差商二階差商三階差商x0f(x0)x1f(x1)f(x0,x1)x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)由差商定義可知:高階差商是兩個(gè)低一階差商的差商。差商形式的插值公式

再考慮拉格朗日插值問題:?jiǎn)栴}求作次數(shù)多項(xiàng)式,使?jié)M足條件,利用差商其解亦可表達(dá)為如下形式:

這種差商形式的插值公式稱為牛頓插值公式。Newton插值容易證明牛頓插值多項(xiàng)式滿足插值條件。由插值多項(xiàng)式的唯一性,得牛頓插值多項(xiàng)式的誤差估計(jì)Newton插值(續(xù))牛頓插值公式的優(yōu)點(diǎn)是:當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),只要再增加一項(xiàng)就行了,即有遞推式:

例題分析Hermite插值公式Newton插值和Lagrange插值雖然構(gòu)造比較簡(jiǎn)單,但插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處與被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不相同.為了保證插值多項(xiàng)式能更好地逼近,對(duì)增加一些約束條件,例如要求在某些結(jié)點(diǎn)處與相切,即具有相同的導(dǎo)數(shù)值.一、Hermite插值問題求一個(gè)次數(shù)不大于n+r+1的代數(shù)多項(xiàng)式,滿足:------(1)48稱以上的插值問題為Hermite插值問題.注意:式(1)包含n+r+2個(gè)條件,所以能夠確定次數(shù)不大于n+r+1的代數(shù)多項(xiàng)式.二、Hermite插值公式推導(dǎo)令------(2)其中,都是n+r+1次待定多項(xiàng)式,并且它們滿足以下條件:.49------(3)------(4)顯然滿足條件(3),(4)的多項(xiàng)式(2)的次數(shù)不大于n+r+1次,且滿足插值條件(1).1.求解由條件(3)知是的二重零點(diǎn).50且由條件(3)知是的零點(diǎn).其中,A,B是待定系數(shù)即------(5)51由上述兩式解得:52將A,B代入式(5),得------(6)53其中,54------(7)將C代入式(7),得-(8)55其中,2.求解綜合(1)(2)得到即式(6),(8)由條件(4)知是的二重零點(diǎn).56且由條件(4)知是的零點(diǎn).-----(9)將D代入式(9),得-----(10)57其中,由式(2)(6)(8)(10)所表示的多項(xiàng)式稱為Hermite插值多項(xiàng)式其中由式(6)(8)(10)所表示的多項(xiàng)式稱為Hermite插值基函數(shù)證明:58存在性已由上面推導(dǎo),下證唯一性.反證法,設(shè)插值問題式(1)有兩個(gè)不同的解令59證明:6061-----(11)62--(12)63例1.解:64作為多項(xiàng)式插值,三次已是較高的次數(shù),次數(shù)再高就有可能發(fā)生Runge現(xiàn)象,因此,對(duì)有n+1節(jié)點(diǎn)的插值問題,我們可以使用分段兩點(diǎn)三次Hermite插值65高次插值的龍格現(xiàn)象

對(duì)代數(shù)插值來說,插值多項(xiàng)式的次數(shù)很高時(shí),逼近效果往往很不理想。例如,考察函數(shù),設(shè)將區(qū)間分為等份,表取個(gè)等分點(diǎn)作節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式,如下圖所示,當(dāng)增大時(shí),在兩端會(huì)發(fā)出激烈的振蕩,這就是所謂龍格現(xiàn)象。66分段插值的概念

所謂分段插值,就是將被插值函數(shù)逐段多項(xiàng)式化。一般來說,分段插值方法的處理過程分兩步:

先將所考察的區(qū)間作一分劃并在每個(gè)子段上構(gòu)造插值多項(xiàng)式,然后把它們裝配在一起,作為整個(gè)區(qū)間上的插值函數(shù),即稱為分段多項(xiàng)式。如果函數(shù)在分劃的每個(gè)子段上都是次式,則稱為具有分劃的分段次式。1.分段線性插值;2.分段拋物插值;3.分段低次多項(xiàng)式插值;原因:高次插值會(huì)發(fā)生Runge現(xiàn)象,逼近效果并不算太好!67

分段線性插值

滿足條件具有分劃的分段一次式在每個(gè)子段上都具有如下表達(dá)式:

68分段三次埃爾米特插值問題求作具有分劃的分段三次式,使得成立解由于每個(gè)子段上的都是三次式,且滿足埃爾米特插值條件:

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