第二章 插值法

《計算方法》2插值法主要知識點Lagrange插值(含線性插值、拋物插值、n次Lagrange插值公式)；牛頓（Newton）插值及余項、差商的定義與性質;埃爾米特(Hermite)插值公式及余項；等距節(jié)點的多項式插值、分段低次多項式插值、三次樣條插值。插值問題描述設已知某個函數關系在某些離散點上的函數值：插值問題：根據這些已知數據來構造函數的一種簡單的近似表達式,以便于計算點的函數值，或計算函數的一階、二階導數值。多項式插值定義

在眾多函數中,多項式最簡單、最易計算，已知函數個互不相同的點處的函數值，為求的近似式，自然應當選次多項式使

滿足條件：插值的幾何意義插值多項式的幾何意義插值唯一性定理定理：(唯一性)滿足的n

階插值多項式是唯一存在的。存在唯一性定理證明設所要構造的插值多項式為：由插值條件得到如下線性代數方程組：存在唯一性定理證明(續(xù))此方程組的系數行列式為范得蒙行列式！當

時，

D

0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一確定。插值方法一、解方程組法：類似插值唯一性定理證明過程，先設插值多項式函數為，將(n+1)個節(jié)點的函數值代入多項式里，便得到(n+1)個等式，得到一個關于多項式里系數的線性方程組，解此線性方程組，便得到所要求的插值多項式。二、基函數法：一種既能避免解方程組，又能適合于計算機求解的方法，下面將具體介紹。拉格朗日插值公式拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的構造問題轉化為(n+1)個插值基函數li(x)(i=0,1,…,n)的構造。線性插值函數x0x1(x0，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可見是過和兩點的直線。拋物插值函數x0x1x2p2(x)f(x)f(x)因過三點的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。N次插值函數要求：無重合節(jié)點，即設連續(xù)函數

在[a,b]上對給定n+1個不同結點：分別取函數值其中試構造一個次數不超過n的插值多項式使之滿足條件

i=0,1,2,…,n一次Lagrange插值多項式(1)

已知函數在點上的值為，要求多項式，使，。其幾何意義，就是通過兩點的一條直線，如圖所示。一次Lagrange插值多項式(2)一次插值多項式一次Lagrange插值多項式(3)由直線兩點式可知，通過A，B的直線方程為

它也可變形為

顯然有：一次Lagrange插值多項式(4)記可以看出的線性組合得到，其系數分別為，稱為節(jié)點,的線性插值基函數一次Lagrange插值多項式(5)線性插值基函數滿足下述條件1001并且他們都是一次函數。注意他們的特點對下面的推廣很重要一次Lagrange插值多項式(6)稱

為點

的一次插值基函數，

為點

的一次插值基函數。它們在對應的插值點上取值為1，而在另外的插值點上取值為0。插值函數

是這兩個插值基函數的線性組合，其組合系數就是對應點上的函數值。這種形式的插值稱作為拉格朗日（Lagrange）插值。二次Lagrange插值多項式1

線性插值只利用兩對值及求得的近似值，誤差較大。

p2(x)是x的二次函數，稱為二次插值多項式。通過三點的插值問題稱為二次插值或拋物插值。二次Lagrange插值多項式2以過節(jié)點的二次函數為插值函數。用基函數的方法獲得其中設被插函數在插值節(jié)點處的函數值為N次插值函數1我們看到，兩個插值點可求出一次插值多項式，而三個插值點可求出二次插值多項式。當插值點增加到n+1個時，我們可以利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項式，如下所示：N次插值多項式問題2已知n+1個節(jié)點處的函數值求一個n次插值函數滿足N次插值多項式3構造各個插值節(jié)點上的基函數滿足如下條件100001000001N次插值多項式4求n次多項式，

k=0,1,…,n則

i=0,1,2,…,n即

滿足插值條件根據

的表達式，以外所有的結點都是

的根，N次插值多項式5又由

，得：

因此令N次插值多項式6從而得n階拉格朗日（Lagrange）插值公式：N次插值多項式7在[a,b]內存在,考察截斷誤差設節(jié)點，且f

滿足條件,

存在使得。且推廣：若使得使得羅爾定理:若在［］連續(xù)，在充分光滑，N次插值多項式8注：

通常不能確定x

,而是估計x(a,b)

,

將作為誤差估計上限。

當

f(x)為任一個次數n

的多項式時，,可知插值多項式對于次數n的多項式是精確的。例題分析1例：已知特殊角處的正弦函數值分別為求正弦函數的一次、二次插值多項式，并用插值函數近似計算，并估計誤差解：一次插值函數為例題分析2誤差為在所求點的函數值為誤差為知例題分析3二次插值多項式為誤差為所求函數值為例題分析4誤差為右圖中紅色曲線為圖形,綠色曲線為插插值函數的圖形。Newton插值

求作n次多項式使得：插值問題討論Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數li(x)都需重新算過。TheGiant“NatureandNature'slawslayhidinnight:Godsaid,LetNewtonbe!andallwaslight.”---AlexanderPopeNewton插值的承襲性Newton插值具有承襲性的插值公式

線性插值公式可以寫成如下形式：其中，其修正項的系數再修正可以進一步得到拋物插值公式其中以上討論說明，為建立具有承襲性的插值公式，需要引進差商概念并研究其性質。差商的概念1．差商的定義定義1：設有函數f(x)以及自變量的一系列互不相等的x0,x1,…,xn

（即在ij時，xixj）的值f(xi)

,

稱為f(x)在點xi,xi處的一階差商，并記作f[xi,xj]，差商的概念(續(xù))又稱為在點處的二階差商

稱

為f(x)在點處的n階差商。差商表xf(x)一階差商二階差商三階差商x0f(x0)x1f(x1)f(x0,x1)x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)由差商定義可知：高階差商是兩個低一階差商的差商。差商形式的插值公式

再考慮拉格朗日插值問題：問題求作次數多項式，使?jié)M足條件，利用差商其解亦可表達為如下形式：

這種差商形式的插值公式稱為牛頓插值公式。Newton插值容易證明牛頓插值多項式滿足插值條件。由插值多項式的唯一性，得牛頓插值多項式的誤差估計Newton插值(續(xù))牛頓插值公式的優(yōu)點是：當增加一個節(jié)點時，只要再增加一項就行了，即有遞推式:

例題分析Hermite插值公式Newton插值和Lagrange插值雖然構造比較簡單，但插值多項式在節(jié)點處與被插函數的導數不相同.為了保證插值多項式能更好地逼近，對增加一些約束條件，例如要求在某些結點處與相切，即具有相同的導數值.一、Hermite插值問題求一個次數不大于n+r+1的代數多項式，滿足：------(1)48稱以上的插值問題為Hermite插值問題.注意：式(1)包含n+r+2個條件，所以能夠確定次數不大于n+r+1的代數多項式.二、Hermite插值公式推導令------(2)其中，都是n+r+1次待定多項式，并且它們滿足以下條件：.49------(3)------(4)顯然滿足條件(3),(4)的多項式(2)的次數不大于n+r+1次，且滿足插值條件(1).1.求解由條件(3)知是的二重零點.50且由條件(3)知是的零點.其中，A,B是待定系數即------(5)51由上述兩式解得：52將A,B代入式(5)，得------(6)53其中，54------(7)將C代入式(7)，得-(8)55其中，2.求解綜合(1)(2)得到即式(6),(8)由條件(4)知是的二重零點.56且由條件(4)知是的零點.-----(9)將D代入式(9)，得-----(10)57其中，由式(2)(6)(8)(10)所表示的多項式稱為Hermite插值多項式其中由式(6)(8)(10)所表示的多項式稱為Hermite插值基函數證明：58存在性已由上面推導，下證唯一性.反證法，設插值問題式(1)有兩個不同的解令59證明：6061-----(11)62--(12)63例1.解:64作為多項式插值,三次已是較高的次數，次數再高就有可能發(fā)生Runge現象,因此，對有n+1節(jié)點的插值問題，我們可以使用分段兩點三次Hermite插值65高次插值的龍格現象

對代數插值來說，插值多項式的次數很高時，逼近效果往往很不理想。例如，考察函數,設將區(qū)間分為等份，表取個等分點作節(jié)點的插值多項式，如下圖所示，當增大時，在兩端會發(fā)出激烈的振蕩，這就是所謂龍格現象。66分段插值的概念

所謂分段插值，就是將被插值函數逐段多項式化。一般來說，分段插值方法的處理過程分兩步:

先將所考察的區(qū)間作一分劃并在每個子段上構造插值多項式，然后把它們裝配在一起，作為整個區(qū)間上的插值函數，即稱為分段多項式。如果函數在分劃的每個子段上都是次式，則稱為具有分劃的分段次式。1.分段線性插值；2.分段拋物插值；3.分段低次多項式插值；原因：高次插值會發(fā)生Runge現象,逼近效果并不算太好！67

分段線性插值

滿足條件具有分劃的分段一次式在每個子段上都具有如下表達式：

68分段三次埃爾米特插值問題求作具有分劃的分段三次式，使得成立解由于每個子段上的都是三次式，且滿足埃爾米特插值條件：