第二章 插值法

《計算方法》2插值法主要知識點Lagrange插值(含線性插值、拋物插值、n次Lagrange插值公式)；牛頓（Newton）插值及余項、差商的定義與性質(zhì);埃爾米特(Hermite)插值公式及余項；等距節(jié)點的多項式插值、分段低次多項式插值、三次樣條插值。插值問題描述設(shè)已知某個函數(shù)關(guān)系在某些離散點上的函數(shù)值：插值問題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)的一種簡單的近似表達式,以便于計算點的函數(shù)值，或計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。多項式插值定義

在眾多函數(shù)中,多項式最簡單、最易計算，已知函數(shù)個互不相同的點處的函數(shù)值，為求的近似式，自然應(yīng)當選次多項式使

滿足條件：插值的幾何意義插值多項式的幾何意義插值唯一性定理定理：(唯一性)滿足的n

階插值多項式是唯一存在的。存在唯一性定理證明設(shè)所要構(gòu)造的插值多項式為：由插值條件得到如下線性代數(shù)方程組：存在唯一性定理證明(續(xù))此方程組的系數(shù)行列式為范得蒙行列式！當

時，

D

0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一確定。插值方法一、解方程組法：類似插值唯一性定理證明過程，先設(shè)插值多項式函數(shù)為，將(n+1)個節(jié)點的函數(shù)值代入多項式里，便得到(n+1)個等式，得到一個關(guān)于多項式里系數(shù)的線性方程組，解此線性方程組，便得到所要求的插值多項式。二、基函數(shù)法：一種既能避免解方程組，又能適合于計算機求解的方法，下面將具體介紹。拉格朗日插值公式拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為(n+1)個插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,…,n)的構(gòu)造。線性插值函數(shù)x0x1(x0，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可見是過和兩點的直線。拋物插值函數(shù)x0x1x2p2(x)f(x)f(x)因過三點的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。N次插值函數(shù)要求：無重合節(jié)點，即設(shè)連續(xù)函數(shù)

在[a,b]上對給定n+1個不同結(jié)點：分別取函數(shù)值其中試構(gòu)造一個次數(shù)不超過n的插值多項式使之滿足條件

i=0,1,2,…,n一次Lagrange插值多項式(1)

已知函數(shù)在點上的值為，要求多項式，使，。其幾何意義，就是通過兩點的一條直線，如圖所示。一次Lagrange插值多項式(2)一次插值多項式一次Lagrange插值多項式(3)由直線兩點式可知，通過A，B的直線方程為

它也可變形為

顯然有：一次Lagrange插值多項式(4)記可以看出的線性組合得到，其系數(shù)分別為，稱為節(jié)點,的線性插值基函數(shù)一次Lagrange插值多項式(5)線性插值基函數(shù)滿足下述條件1001并且他們都是一次函數(shù)。注意他們的特點對下面的推廣很重要一次Lagrange插值多項式(6)稱

為點

的一次插值基函數(shù)，

為點

的一次插值基函數(shù)。它們在對應(yīng)的插值點上取值為1，而在另外的插值點上取值為0。插值函數(shù)

是這兩個插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)就是對應(yīng)點上的函數(shù)值。這種形式的插值稱作為拉格朗日（Lagrange）插值。二次Lagrange插值多項式1

線性插值只利用兩對值及求得的近似值，誤差較大。

p2(x)是x的二次函數(shù)，稱為二次插值多項式。通過三點的插值問題稱為二次插值或拋物插值。二次Lagrange插值多項式2以過節(jié)點的二次函數(shù)為插值函數(shù)。用基函數(shù)的方法獲得其中設(shè)被插函數(shù)在插值節(jié)點處的函數(shù)值為N次插值函數(shù)1我們看到，兩個插值點可求出一次插值多項式，而三個插值點可求出二次插值多項式。當插值點增加到n+1個時，我們可以利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項式，如下所示：N次插值多項式問題2已知n+1個節(jié)點處的函數(shù)值求一個n次插值函數(shù)滿足N次插值多項式3構(gòu)造各個插值節(jié)點上的基函數(shù)滿足如下條件100001000001N次插值多項式4求n次多項式，

k=0,1,…,n則

i=0,1,2,…,n即

滿足插值條件根據(jù)

的表達式，以外所有的結(jié)點都是

的根，N次插值多項式5又由

，得：

因此令N次插值多項式6從而得n階拉格朗日（Lagrange）插值公式：N次插值多項式7在[a,b]內(nèi)存在,考察截斷誤差設(shè)節(jié)點，且f

滿足條件,

存在使得。且推廣：若使得使得羅爾定理:若在［］連續(xù)，在充分光滑，N次插值多項式8注：

通常不能確定x

,而是估計x(a,b)

,

將作為誤差估計上限。

當

f(x)為任一個次數(shù)n

的多項式時，,可知插值多項式對于次數(shù)n的多項式是精確的。例題分析1例：已知特殊角處的正弦函數(shù)值分別為求正弦函數(shù)的一次、二次插值多項式，并用插值函數(shù)近似計算，并估計誤差解：一次插值函數(shù)為例題分析2誤差為在所求點的函數(shù)值為誤差為知例題分析3二次插值多項式為誤差為所求函數(shù)值為例題分析4誤差為右圖中紅色曲線為圖形,綠色曲線為插插值函數(shù)的圖形。Newton插值

求作n次多項式使得：插值問題討論Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。TheGiant“NatureandNature'slawslayhidinnight:Godsaid,LetNewtonbe!andallwaslight.”---AlexanderPopeNewton插值的承襲性Newton插值具有承襲性的插值公式

線性插值公式可以寫成如下形式：其中，其修正項的系數(shù)再修正可以進一步得到拋物插值公式其中以上討論說明，為建立具有承襲性的插值公式，需要引進差商概念并研究其性質(zhì)。差商的概念1．差商的定義定義1：設(shè)有函數(shù)f(x)以及自變量的一系列互不相等的x0,x1,…,xn

（即在ij時，xixj）的值f(xi)

,

稱為f(x)在點xi,xi處的一階差商，并記作f[xi,xj]，差商的概念(續(xù))又稱為在點處的二階差商

稱

為f(x)在點處的n階差商。差商表xf(x)一階差商二階差商三階差商x0f(x0)x1f(x1)f(x0,x1)x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)由差商定義可知：高階差商是兩個低一階差商的差商。差商形式的插值公式

再考慮拉格朗日插值問題：問題求作次數(shù)多項式，使?jié)M足條件，利用差商其解亦可表達為如下形式：

這種差商形式的插值公式稱為牛頓插值公式。Newton插值容易證明牛頓插值多項式滿足插值條件。由插值多項式的唯一性，得牛頓插值多項式的誤差估計Newton插值(續(xù))牛頓插值公式的優(yōu)點是：當增加一個節(jié)點時，只要再增加一項就行了，即有遞推式:

例題分析Hermite插值公式Newton插值和Lagrange插值雖然構(gòu)造比較簡單，但插值多項式在節(jié)點處與被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不相同.為了保證插值多項式能更好地逼近，對增加一些約束條件，例如要求在某些結(jié)點處與相切，即具有相同的導(dǎo)數(shù)值.一、Hermite插值問題求一個次數(shù)不大于n+r+1的代數(shù)多項式，滿足：------(1)48稱以上的插值問題為Hermite插值問題.注意：式(1)包含n+r+2個條件，所以能夠確定次數(shù)不大于n+r+1的代數(shù)多項式.二、Hermite插值公式推導(dǎo)令------(2)其中，都是n+r+1次待定多項式，并且它們滿足以下條件：.49------(3)------(4)顯然滿足條件(3),(4)的多項式(2)的次數(shù)不大于n+r+1次，且滿足插值條件(1).1.求解由條件(3)知是的二重零點.50且由條件(3)知是的零點.其中，A,B是待定系數(shù)即------(5)51由上述兩式解得：52將A,B代入式(5)，得------(6)53其中，54------(7)將C代入式(7)，得-(8)55其中，2.求解綜合(1)(2)得到即式(6),(8)由條件(4)知是的二重零點.56且由條件(4)知是的零點.-----(9)將D代入式(9)，得-----(10)57其中，由式(2)(6)(8)(10)所表示的多項式稱為Hermite插值多項式其中由式(6)(8)(10)所表示的多項式稱為Hermite插值基函數(shù)證明：58存在性已由上面推導(dǎo)，下證唯一性.反證法，設(shè)插值問題式(1)有兩個不同的解令59證明：6061-----(11)62--(12)63例1.解:64作為多項式插值,三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生Runge現(xiàn)象,因此，對有n+1節(jié)點的插值問題，我們可以使用分段兩點三次Hermite插值65高次插值的龍格現(xiàn)象

對代數(shù)插值來說，插值多項式的次數(shù)很高時，逼近效果往往很不理想。例如，考察函數(shù),設(shè)將區(qū)間分為等份，表取個等分點作節(jié)點的插值多項式，如下圖所示，當增大時，在兩端會發(fā)出激烈的振蕩，這就是所謂龍格現(xiàn)象。66分段插值的概念

所謂分段插值，就是將被插值函數(shù)逐段多項式化。一般來說，分段插值方法的處理過程分兩步:

先將所考察的區(qū)間作一分劃并在每個子段上構(gòu)造插值多項式，然后把它們裝配在一起，作為整個區(qū)間上的插值函數(shù)，即稱為分段多項式。如果函數(shù)在分劃的每個子段上都是次式，則稱為具有分劃的分段次式。1.分段線性插值；2.分段拋物插值；3.分段低次多項式插值；原因：高次插值會發(fā)生Runge現(xiàn)象,逼近效果并不算太好！67

分段線性插值

滿足條件具有分劃的分段一次式在每個子段上都具有如下表達式：

68分段三次埃爾米特插值問題求作具有分劃的分段三次式，使得成立解由于每個子段上的都是三次式，且滿足埃爾米特插值條件：