第六章二次型及其標準型

第六章二次型§

6.1

二次型及其矩陣表示、合同矩陣

定義6.1.1：含有n個變量x1,x2,…,xn的二次齊次多項式

當系數(shù)屬于數(shù)域F時，稱為數(shù)域F上的一個n元二次型.本章討論實數(shù)域上的n元二次型，簡稱二次型.令aij=aji，則2

aij

xixj=aij

xixj

+aji

xixj

，于是其中

A=(aij)n×n,x=(x1,x2,···,xn)T

A為對稱矩陣，稱A為二次型的矩陣，A的秩為二次型的秩.二次型和它的矩陣是互相唯一確定的.即有一個二次型就有唯一的對稱矩陣

A；而對稱矩陣A對應唯一的二次型.例如，二次型的矩陣是

A是一個對稱矩陣.

反之，對稱矩陣A所對應的二次型為設

是兩個n元變量，則線性變換代入

有

其中

,因此

是以B

為矩陣的y的n元二次型.如果有下面的形狀：

我們稱為二次型的標準形.

易知，

6.2化二次型為標準形●用配方法化二次型為標準形●用正交變換法化二次型為標準形

化二次型為標準形定理6.2.1

任何一個二次型都可以通過非退化線性變換化為標準形。定理6.2.2

對任意一個n階實對稱矩陣A，都存在可逆矩陣C，使得CTAC=diag(d1,d2,¨,dn)方法一、用配方法把二次型為標準型方法二、用正交變換法把二次型為標準型用正交變換法化二次型為標準形定理6.2.3

對于二次型f(x)=XTAX，一定存在正交矩陣Q，使得經(jīng)過正交變換X=QY后能夠把它化為標準形其中是二次型f(x)的矩陣A的全部特征值。例1

用正交變換把下面的二次型化為標準形，并寫出所作的正交變換。解二次型的矩陣為求得A的特征方程為解得特征值為例1

用正交變換把下面的二次型化為標準形，并寫出所作的正交變換。解求出使A相似于對角矩陣的正交矩陣為因此，作正交變換X=QY，就可以使二次型化為標準形6.3二次型與對稱矩陣的

正定性定義6.3.1

具有對稱矩陣A的二次型f(x)=XTAX，如果對于任何X=(x1,x2,¨,xn)T≠0，都有XTAX>0，(或<0)成立，則稱f(x)=XTAX為正定(負定)二次型，矩陣A稱為正定矩陣(負定矩陣)。

如果對于任何X=(x1,x2,¨,xn)T，都有XTAX≥0，(或≤0)則稱f(X)=XTAX為半正定(負定)二次型，矩陣A稱為半正定(半負定)矩陣。且有，使，二次型正定(負定)，半正定(半負定)，則它對應的矩陣為正定(負定)，半正定(半負定)；反之亦然。定理6.3.1

設A為正定矩陣，如果AB，則B也是正定矩陣。定理6.3.2對角矩陣為正定矩陣的充分必要條件是定理6.3.3

矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在非奇異矩陣C，使得A=CTC，即A合同于單位矩陣。推論6.3.1

n階矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指標p=n。推論6.3.2

如果A為正定矩陣，則|A|>0。定理6.3.4對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的所有特征值都是正數(shù)。定義6.3.2

設n階矩陣稱為A的k階順序主子式，即例如，的順序主子式為定理6.3.5矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的所有順序主子式都大于零，即推論6.3.3如果A是負定矩陣，則－A為正定矩陣。因此A為負定矩陣的充分必要條件是正定矩陣的有關結論：1.對稱矩陣A是半正定(半負定)矩陣的充要條件是A的所有主子式都大于(小于)或等于零。2.對稱矩陣A是半正定(半負定)矩陣的充要條件是A的全部特征值都大于(小于)或等于零。注意:一個實對稱矩陣的順序主子式全大于零或等于零時，A未必是半正定的。例如，三階對稱矩陣

的順序主子式為但A并不是半正定矩陣。例6.3.4

判別二次型是否正定。解法一由定義將二次型化為標準形故該二次型正定。例6.3.4

判別二次型是否正定。解法二特征值法。二次型對應的矩陣為因此A的特征值分別為3、6、9都是正數(shù)，故該二次型正定。例6.3.4

判別二次型是否正定。解法三順序主子式法。故該二次型正定。