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第七章潛周期模型的參數(shù)估計潛周期模型的參數(shù)估計混合自回歸潛周期模型的參數(shù)估計二維隨機場的潛周期模型及其參數(shù)估計潛周期模型通常的余弦信號是用潛周期模型描述的.其中正數(shù)是相應于第個j角頻率的振幅.是一個零均值的線性平穩(wěn)序列,被稱為有色噪聲.第一節(jié)潛周期模型的參數(shù)估計A.復值潛周期模型的初估計B.角頻率的精估計C.實值模型(1.1)的參數(shù)估計D.模型的預測它是對周期疊加項的隨機干擾.滿足(1.1)的時間序列被稱為潛頻率或潛周期序列.模型(1.1)還可以寫成復的形式-復值潛周期模型定理1.1(見文獻[13])設是獨立同分布的線性濾波器滿足平穩(wěn)噪聲由定義.則有如下的結(jié)果其中是的譜密度.A.復值潛周期模型的參數(shù)估計對于來自復值潛周期模型(1.3)的觀測數(shù)據(jù)引入函數(shù)類似地定義于是
于是,當N充分大以后,實值連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形具有如下的形狀:(1)在每個的鄰域內(nèi)有一峰群,其最高峰的高度大于最高峰的下面隱藏著角頻率;(2)在所有的的鄰域外(3)峰群的個數(shù)就是潛周期模型中的周期(或角頻率)個數(shù)的估計.根據(jù)的圖形形狀,可以給出對潛周期模型(1.3)中的角頻率個數(shù),角頻率向量和振幅向量進行估計得方法.一般采用下面三種離散化的方法.方法1
當潛周期模型中的各振幅的絕對值差別不大,并且平穩(wěn)噪聲的譜密度沒有明顯的峰值時可以采用本方法.取滿足:當時,第一步定義計算
第二步計算的最大值.當,定義,停止計算.否則,定義在中計算的最大值.當,定義,停止計算.以此類推.當在的最大值,在的最大值時,定義q的估計為并將最大值點按從小到大重排后得到的角頻率向量的初估計
方法2
當潛周期模型中的各振幅的絕對值有較大的差別,但是平穩(wěn)噪聲的譜密度沒有明顯的峰值時可以采用本方法.
取正整數(shù)滿足:當時,和第一步定義計算第二步和方法1中的第二步相同.最后得到角頻率向量的初估計(1.9).方法3
當潛周期模型中的各振幅的絕對值有較大的差別,但是平穩(wěn)噪聲的譜密度有陡峭的峰值時可以采用本方法.第一步取正數(shù),定義計算第二步和方法1中的第二步相同.最后得到角頻率向量的初估計(1.9).定理1.2(見文獻[25])設模型(1.3)中的平穩(wěn)噪聲滿足定理1.1中的條件,則幾乎必然的當N充分大后,由上面的三種方法定義的和初估計滿足
有了角頻率的估計量(1.9),就可以定義振幅的估計如下:B.角頻率的精估計得到角頻率的初估計(1.9)后,可以用以下的方法改進估計得精度,得到精度更高的估計量.方法1周期圖的最大估計對每一,在它的8/N鄰域中用加密計算函數(shù)的方法來得到經(jīng)加密計算后的最大值點如果計算的密度可以達到,就稱為的周期圖最大估計.用代替(1.12)中的,從而得到振幅的精估計:定理1.3(見文獻[25])設模型(1.3)中的平穩(wěn)噪聲滿足定理1.1中的條件,則有如下的結(jié)果:方法2
角頻率估計得二次分析法用表示c的輻角.取正整數(shù),則存在正整數(shù)m,滿足對于定義最后將改進的初估計代入(1.13),就得到的估計.C.實值模型(1.1)的參數(shù)估計由于觀測數(shù)據(jù)是實值的,所以是偶函數(shù),因而只需在上找出峰值的個數(shù)作為角頻率個數(shù)k的估計.每個峰群中的最高峰下對應一個角頻率的估計設由(1.13)或(1.14)定義.定義的估計如下:如果,取如果,取初始相位的估計取作D.模型的檢測對于實值模型(1.1),在得到周期個數(shù)的估計,角頻率的估計,振幅的估計和初始相位的估計后,為了檢測模型是否合理,需要計算殘差和它的樣本自相關函數(shù)這里是的樣本均值.如果有收斂到零的性質(zhì),就認為模型合適.第二節(jié)混合自回歸潛周期模型的參數(shù)估計A.混合自回歸潛周期模型B.模型(2.5)的參數(shù)估計C.模型(2.5)的擬合檢驗和預測D.混合ARMA潛周期模型的參數(shù)估計A.混合自回歸潛周期模型在模型(1.3)中,如果有色噪聲是AR(p)序列,則可以寫成其中是,實系數(shù)多項式A(z)滿足最小相位條件當利用(2.1)可以將(1.6)寫成在上式兩邊同時乘上,取,就得到其中于是可以將(2.3)寫成混合自回歸潛周期模型(2.4)描述的時間序列比自回歸模型或潛周期模型更加廣泛.它不僅考慮多個頻率成分的疊加,還考慮了歷史對現(xiàn)狀的影響.實值得混合自回歸潛周期模型具有如下的一般形式:設是多項式A(z)的所有互異根,
是的重數(shù),則滿足模型(2.4)的任何時間序列具有如下的形式:其中由的Taylor展開式?jīng)Q定.B.模型(2.5)的參數(shù)估計設觀測數(shù)據(jù)
滿足模型(2.5),定義
(2.8)利用(2.8)和(2.6)可以把(2.5)改寫成這是一個潛周期模型,只是多出了一個加項.利用定理1.1可得所以模型(2.4)中的潛頻率個數(shù)和潛頻率的估計可以利用上節(jié)的方法得到.注意,計算時也要先對數(shù)據(jù)進行零均值化處理.假設已經(jīng)得到潛周期個數(shù)q的估計和角頻率的初估計(或周期圖最大估計)定義定義按6.1節(jié)的方法對進行AR(p)擬合,可以得到自回歸的介紹p,自回歸系數(shù)和白噪聲方差的估計定義模型(2.4)的振幅的估計最后,對于實值模型(2.5),定義k的估計如下模型(2.5)中的振幅角頻率和初始相位的估計按第一節(jié)的C中的方法得到:如果,取如果,取初始相位的估計取作C.模型(2.5)的擬合檢驗和預測得到明顯(2.5)的參數(shù)估計后就可以計算殘差如果殘差(2.14)可以通過白噪聲的檢驗,就認為模型參數(shù)的選擇是合理的.這時可以用對進行預測.對依次定義后,可以用對進行遞推預測.D.混合ARMA潛周期模型的參數(shù)估計更一般地還可以對數(shù)據(jù)擬合混合ARMA潛周期模型(2.15)其中,除了要求自回歸和潛周期部分滿足模型(2.5)中的所有條件外,還要求運動平均部分的系數(shù)滿足可逆條件當模型(2.15)的參數(shù)估計方法和自回歸潛周期模型的參數(shù)估計方法相同.首先將明顯(2.15)改寫成(2.16)利用觀測數(shù)據(jù)計算出(2.10)和(2.11)的和后,對用(2.12)定義的按6.3節(jié)的方法建立模型.設得到的ARMA模型的參數(shù)估計是在利用(2.13)估計(2.16)的振幅.最后得到模型(2.15)中k的估計振幅,角頻率和初相位的估計按如下的方法給出:如果,取如果,取初始相位的估計取作第三節(jié)二維隨機場的潛周期模型及其參數(shù)估計二維隨機場也稱為二維時空序列,它是定義在平面格點上的隨機變量的集合如果對中的任何和,有就稱是平穩(wěn)隨機場或平穩(wěn)時空序列.二維離散信號場是定義在的信號矩陣這里是點的信號.最簡單的二維復三角信號場就是一個重要的例子,它具有如下形式其中,和是中的分數(shù),分別稱作水平角頻率和垂直角頻率.
類似一維復三角信號,當輸入信號是p個復三角成分的疊加時,經(jīng)過(絕對可和的)線性濾波器后的輸出信號仍然是p個具有相同角頻率的復三角信號的疊加.在上述的輸入輸出系統(tǒng)中如果有隨機干擾的存在,輸出信號就變成(3.2)其中是一個二維零均值實值噪聲,滿足
(3.3)滿足(3.3)的時空序列被稱為二維白噪聲.模型(3.2)被稱為二維潛周期模型,它是一維潛周期模型(1.6)在隨機場上的體現(xiàn).我們的統(tǒng)計問題是對觀測數(shù)據(jù)建立模型(3.2).設觀測數(shù)據(jù)(3.4)滿足模型(3.2).經(jīng)簡單計算得到(3.5)對充分大的N,M勾畫出函數(shù)的大致圖形.連續(xù)函數(shù)在每個角頻率的附近處都有一個峰群,最高峰的高度約為.在所有角頻率點的鄰域外,被某一致控制.于是,潛頻率個數(shù)p的估計就是函數(shù)在的峰群數(shù).在每個峰群的最高峰下面是一個角頻率點的估計.因此,可以定義的估計如下:
(3.7)第八章時間序列的譜估計平穩(wěn)序列的譜表示平穩(wěn)序列的周期圖加窗譜估計加窗譜估計得比較第一節(jié)平穩(wěn)序列的譜表示
A.隨機積分的定義B.隨機積分的性質(zhì)C.平穩(wěn)序列的譜表示D.線性平穩(wěn)序列的譜表示E.離散譜序列的特征F.離散譜序列的隨機測度G.平穩(wěn)序列的頻譜性質(zhì)H.平穩(wěn)序列的分解A.隨機積分的定義
定義1.1稱復值時間序列是正交增量過程,如果它滿足(1)對一切(2)對任何有其中表示的共軛.
定義1.2
稱正交增量過程是右連續(xù)的,如果時,對任何,有
定理1.1
設是正交增量過程,則有唯一的分布函數(shù),使得在任何,有證明取,則對,利用正交增量性得到
例1.1
設是上的獨立增量過程,對,這時是上的布朗運動,因而是正交增量過程,B.隨機積分的性質(zhì)
定理1.2設是正交增量過程,有相應的分布函數(shù).對于隨機積分I(g)有如下的性質(zhì):(1)(2)這里a,b是復常數(shù)(3)(4)證明設階梯函數(shù)使得當時,利用內(nèi)積的連續(xù)性得到(2)因為階梯函數(shù)在中收斂到,隨機變量在中收斂到所以按隨機積分的定義得到(2).(3)利用內(nèi)積的連續(xù)性和(7)得到最后一個等號用到中內(nèi)積的連續(xù)性.
(4)在(3)中將f,g都取成(f-g),再利用(2)得到
C.平穩(wěn)序列的譜表示
定理1.3(譜表示定理)對零均值平穩(wěn)序列,有右連續(xù)的正交增量過程,使得和并且相應于的分布函數(shù)恰好是的譜密度函數(shù).如果另有右連續(xù)的正交增量過程也滿足上述的條件,則在上述定理中,稱正交增量過程為的隨機測度.
定義1.2(接例1.1)對于布朗運動定義平穩(wěn)序列則有譜函數(shù),有譜密度于是是白噪聲.又從隨機積分的定義知道,是一個復值得正態(tài)白噪聲.D.線性平穩(wěn)序列的譜表示設是,從譜表示定理知道,存在惟一的正交增量過程,使得設實數(shù)列平方可和,是由生成的線性平穩(wěn)序列
則它有譜密度和譜函數(shù)如下:
由于級數(shù)在中均方收斂,所以在中
其中是右連續(xù)的正交增量過程,有分布函數(shù).于是,是的隨機測度.E.離散譜序列的特征設平穩(wěn)序列的譜函數(shù)是階梯函數(shù),則可以證明是離散譜序列.定理1.4
如果平穩(wěn)序列的譜函數(shù)是階梯函數(shù),且只在有跳躍高度,則當時,存在零均值隨機變量序列,使得和成立.特別,當譜函數(shù)只p個跳躍點時,F(xiàn).離散譜序列的隨機測度如果離散譜序列由定義,其中滿足可以證明
是的隨機測度.G.平穩(wěn)序列的譜性質(zhì)設平穩(wěn)序列有譜表示,譜函數(shù).當絕對連續(xù)時,有譜密度
如果在處有一個峰值,則在有增量這是正交增量過程在集中的能量.H.平穩(wěn)序列的分解從實變函數(shù)論知道,每個分布函數(shù)可以唯一分解成絕對連續(xù)部分,跳躍部分和奇異部分:這種分解被稱為Lebesgue分解.定理1.5設零均值平穩(wěn)序列有譜函數(shù).相應于的Lebesgue分解,可以惟一分解成三個相互正交的零均值平穩(wěn)序列的和其中有譜函數(shù)
.第二節(jié)平穩(wěn)序列的周期圖A.周期圖的定義B.周期圖的性質(zhì)
由于平穩(wěn)序列的譜密度形狀能體現(xiàn)該平穩(wěn)序列的頻率特性,所以對于平穩(wěn)序列的譜密度進行估計,特別是估計譜密度的峰值情況是應用時間序列分析的重要任務之一.平穩(wěn)序列的周期圖中蘊含了譜密度的信息,所以有必要對周期圖詳加考察.本節(jié)假設所述的平穩(wěn)序列是零均值的和實值的.A.周期圖的定義設平穩(wěn)序列有譜密度和自協(xié)方差,則如果絕對可和:,則于是從觀測數(shù)據(jù)出發(fā),譜密度的估計應當定義為
下面研究的基本性質(zhì).
定義
引理2.1
證明記用表示元素都是1的N維列向量,則定義2.1
稱由定義的為觀測數(shù)據(jù)的周期圖.定理2.2
對于時間序列的觀測值,定義則B.周期圖的性質(zhì)定理2.3如果零均值平穩(wěn)序列的自協(xié)方差絕對可和:,則是的漸進無偏估計:證明利用定理2.2和Kronecker引理得到定理2.4
設是獨立同分布的,實數(shù)列滿足.線性平穩(wěn)序列由定義.用表示的周期圖,則有如下的結(jié)果其中是的譜密度.例2.1
設是標準正態(tài)白噪聲,則有譜密度則服從標準正態(tài)白噪聲N(0,1).于是的分布于N無關.因而不依概率收斂到零.也就是說,不是f(0)的弱相合估計.例2.2
平穩(wěn)AR(2)序列的譜密度是從120個觀測數(shù)據(jù)的周期圖可知,它圍繞劇烈擺動.第三節(jié)加窗譜估計A.時窗B.譜窗C.幾種常見的譜窗和時窗A.時窗對周期圖加上權函數(shù)后得到加權譜估計為了克服周期圖的振動,應當是的單調(diào)減少函數(shù).通常上式中的權函數(shù)稱為時窗.稱此式是加時窗譜估計,簡稱為加窗譜估計.例3.1
在例2.2中,如果取時窗就得到由(2.11)定義的譜估計.對于序列來講,這個加窗譜估計要比周期圖好得多.一般來講,如果時窗取得合適,都會得到相合的加窗譜估計.例3.2
設是MA(q)序列,滿足由于自協(xié)方差函數(shù)q后截尾,所以的譜密度是對正整數(shù),取時窗則加窗譜估計為如果是獨立分布的白噪聲,則當時,收斂到.于是這表明加窗譜估計是的強相合估計.B.譜窗定義3.1
如果譜密度的估計可以寫成就稱是的加譜窗譜估計,也簡稱為加窗譜估計.稱權函數(shù)為譜窗.加窗譜估計的時窗和譜窗之間有以下的換算關系:C.幾個常用的譜窗和時窗設是經(jīng)過零均值化的觀測樣本.樣本的自協(xié)方差函數(shù)是周期圖是取正整數(shù),滿足和.實際應用時可以將取成,這里A是正常數(shù),一般取值在1和3之間.常見的譜窗有:截斷窗,Bartlett窗,Daniell窗,Turkey窗,Parzen窗,Bartlett-Priestley窗第四節(jié)加窗譜估計的比較A.方差的比較B.分辨率的比較A.方差的比較定理4.1
設是平穩(wěn)正態(tài)序列,有連續(xù)可微的譜密度譜窗函數(shù)滿足第三節(jié)中的條件(1)—(5).加窗譜估計有(3.4)定義,則有如下的結(jié)果:(1)是的漸近無偏估計:(2)是的均方相合估計:(3)當N充分大后,有其中B.分辨率的比較設譜密度連續(xù),在處有一個明顯的峰值,如果有滿足當稱是在處的帶寬,完全類似的可以定義譜密度在處有一明顯低谷時的帶寬.用表示譜窗,關于譜窗的帶寬有以下幾種常用的定義.B1半功率帶寬.其中由決定.B2Parzen帶寬.B3Jenkin帶寬第九章多維平穩(wěn)序列介紹多維平穩(wěn)序列多維平穩(wěn)序列的均值和自協(xié)方差函數(shù)的估計多維AR(p)序列第一節(jié)多維平穩(wěn)序列一、二階矩有窮的多維時間序列定義1.1設為m維隨機向量序列,其中
若,則稱為二階矩有窮的m維隨機向量序列,簡稱為m維隨機序列。記分別稱為的均值向量函數(shù)和協(xié)方差陣函數(shù),其中*表示共軛轉(zhuǎn)置。
二、多維平穩(wěn)時間序列定義1.2:設為m維二階矩有窮隨機序列,若均值向量函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)滿足則稱為m維平穩(wěn)序列,稱為平穩(wěn)相關。
定理1.1為m維平穩(wěn)序列的協(xié)方差陣函數(shù),則(i)(ii)(iii)
(iv)對任意正整數(shù),m維復向量,有即為非負定陣。
定義1.3:若m維平穩(wěn)序列滿足
(1.1)
其中S>0(正定陣),則稱是m維平穩(wěn)白噪聲序列,簡稱m維白噪聲序列。
定義1.4:若m維隨機序列滿足:
(1.2)其中為滿足(1.1)的s維白噪聲序列,為常值陣序列,滿足
則稱為m維平穩(wěn)線性序列。可證(1.2)中的每個分量都均方收斂,且有常見多維平穩(wěn)模型1、多維滑動平均模型2、多維自回歸模型第二節(jié)多維平穩(wěn)序列的均值和
自協(xié)方差函數(shù)的估計一.均值的估計設是m維平穩(wěn)序列,是觀測值,均值的點估計定義為
相合性:定理2.1如果的每個分量序列都是嚴平穩(wěn)遍歷序列,則當時定理2.2如果自協(xié)方差函數(shù)滿足條件
則其中
定理2.3如果則當時,有
定理2.4如果為以下的m維平穩(wěn)線性序列
二.自協(xié)方差函數(shù)的估計設是m維平穩(wěn)序列,是觀測值,的估計為
相關系數(shù)的估計為
其中表示的第(i,j)元素,自相關系數(shù)矩陣的估計是
第三節(jié)多維AR(p)序列一.多維ARMA模型定義3.1設為實m維平穩(wěn)序列,稱它為m維ARMA(p,q)序列,如果滿足如下m維隨機差分方程
(3.1)
其中為實系數(shù)陣,為實m維白噪聲序列,記
(3.2)
且滿足如下條件:(i)(ii)和是左互質(zhì),即若,則(iii),rank表示秩。若滿足條件(i),則稱(3.1)具有平穩(wěn)性和可逆性,且有當p=0時,稱(3.1)為m維MA(q)模型,當q=0時,稱(3.1)為m維AR(p)模型。
多維ARMA(p,q)模型(3.1)的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式分別為:
且
注:對多維ARMA(p,q)模型建模時遇到兩大困難,(1)多維ARMA(p,q)模型的參數(shù)不可由唯一決定,當然也不可由的自協(xié)方差函數(shù)唯一決定稱之為多維ARMA模型的不可識別性。(2)一維ARMA模型中,對滑動平均參數(shù)的估計常要采用非線性最小二乘估計,對于多維情形就更復雜、更困難。二.多維AR模型定義3.2設為實m維平穩(wěn)序列,稱它為m維AR(p)序列,如果滿足如下m維隨機差分方程
(3.3)
其中為實系數(shù)陣,為實m維白噪聲序列,記
(3.4)
且滿足如下條件:(i)(ii)VAR(1)模型的解:VAR(1)序列的自協(xié)方差函數(shù):
三.多維AR模型的參數(shù)估計目的:假定自回歸的階數(shù)p已知,求出自回歸系數(shù)陣和白噪聲方差陣S的估計。1.自回歸系數(shù)陣的矩估計設為VAR(p)序列
(3.3)
對(3.3)等式兩邊右乘,再求數(shù)學期望得,
(3.5)式取n=1,2,…,p可表為矩陣型的線性方程組:
(3.7)
令
稱(3.6)式為Yule-Walker方程,它可表為
(3.7)設為的長度為n的樣本,當n充分大時,m維樣本自協(xié)方差陣
(3.8)
可作為的估計。于是,系數(shù)陣的估計:AR(p)模型的系數(shù)陣的估計
(3.9)稱為的矩估計,又稱為Yule-Walker估計。
白噪聲方差S的矩估計為(3.10)
2.多維AR(p)模型系數(shù)的最小二乘估計求使得,
(3.11)達最小,則必須滿足:
(3.12)其中是的第行第j列的元素。
則有,
(3.13)記
(3.14)
則(3.13)為
(3.15)當n充分大時,漸近相等。
系數(shù)陣的最小二乘估計:由(3.15)解出,記稱之為的最小二乘估計。m維白噪聲序列的方差陣S的最小二乘估計:
(3.16)
3.多維AR(p)模型系數(shù)陣的遞推估計1).m維AR模型系數(shù)陣隨階數(shù)p的遞推算法為了表示自回歸系數(shù)陣隨著模型階數(shù)p而變,將它表示為則模型表示為:
(3.17)相應的記為,它滿足
(3.18)
記,并定義
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