微積分函數(shù)定稿

微積分函數(shù)定稿第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate第一章函數(shù)第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate1.1.1集合

1.集合的概念集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一．通常將具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合，組成這個(gè)集合的每一個(gè)事物稱為該集合的元素．習(xí)慣上常用大寫拉丁字母A，B，C，X，Y，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，x，y，…表示集合中的元素．對(duì)于給定的集合A和元素a，二者的關(guān)系是確定的，要么a在集合A中，記作a∈A，讀作a屬于A；要么a不在集合A中，記作a?

A，讀作a不屬于A，二者必居其一．1.1集合集合1.1第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集；含有無窮多個(gè)元素的集合稱為無限集；不含任何元素的集合稱為空集，用?

表示．表示集合的方法主要有兩種：一是列舉法，二是描述法．列舉法，就是把集合中的所有元素一一列舉出來．如集合A由a1，…，an所組成，則可以將其表示為A={a1，…,an}；而描述法，則是強(qiáng)調(diào)指出具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成，通常表示成A={x|x具有性質(zhì)P}，例如，集合A是方程x2-3x+2=0的解集，就可表示成A={x|x2-3x+2=0}，再如，集合B是不等式0<3x-2≤1的解集，則可表示成B={x|0<3x-2≤1}.第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)2.集合與集合間的關(guān)系設(shè)A、B是兩個(gè)集合，若對(duì)任意a∈A?a∈B,則稱A是B的子集，記作A?B(讀作A含于B)或B?A(讀作B包含A)；若A

?

B且B

?A，則稱A與B相等，記作A=B.特別地，規(guī)定?

?A，其中A為任何集合.如果集合的元素都是數(shù)，則稱其為數(shù)集.常用的數(shù)集有(1)自然數(shù)集(或非負(fù)整數(shù)集)記作N，即N={0，1，2，…，n，…}；

(2)正整數(shù)集記作N+，即N+={1，2，3，…，n，…}；

(3)整數(shù)集記作Z，即Z={…，–n，…，–2，–1，0，1，2，…，n，…}；第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)(4)有理數(shù)集記作Q={|p∈Z,q∈N+且p,q互質(zhì)}；(5)實(shí)數(shù)集記作R;正實(shí)數(shù)集記作R+.1.1.2集合的運(yùn)算1.集合的運(yùn)算集合間的基本運(yùn)算有三種:并、交、差.設(shè)有集合A、B，它們的并集記作A∪B,A∪B?{x|x∈A或x∈B}.集合A與B的交集記作A∩B(或AB)，A∩B?

{x|x∈A且x∈B}.集合A、B的差集記作A＼B,A＼B

?{x|x∈A且x?B}.第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTe`plate

第一章函數(shù)通常我們將所研究的某一問題納入到某個(gè)大集合Ω中進(jìn)行，所研究的其他集合都是Ω的子集，此時(shí)我們稱Ω為全集.而將Ω＼A稱為A的補(bǔ)集或余集用Ac

表示，即記Ac=Ω＼A.如Ω=R時(shí)，集合A={x|-1<x≤1},則Ac={x|x≤-1或x>1}.2.集合的運(yùn)算規(guī)律集合的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律:設(shè)A、B、C及Ai(i=1,2,3，…)為Ω中的集合，則

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(1)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;交換律

(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);結(jié)合律

(3)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);結(jié)合律

(4)(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc;對(duì)偶律

(5)對(duì)偶律以上運(yùn)算規(guī)律均可依據(jù)集合相等的定義加以證明，留給讀者一試.1.1.3區(qū)間與鄰域區(qū)間是常用的一類數(shù)集,大體可以分為有限區(qū)間和無限區(qū)間.

1.有限區(qū)間設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，且a<b,通常有如下定義與記法:

(1)閉區(qū)間［a,b］={x|a≤x≤b};

(2)開區(qū)間(a,b)={x|a<x<b};PowerPointTemplate

第一章函數(shù)第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogo

第一章函數(shù)

(3)半開半閉區(qū)間［a,b)={x|a≤x<b},

(a,b］={x|a<x≤b}.以上區(qū)間稱為有限區(qū)間，a、b稱為區(qū)間端點(diǎn)，a為左端點(diǎn)，b為右端點(diǎn)，數(shù)b-a稱為區(qū)間的長度.從幾何上看，這些區(qū)間是數(shù)軸上長度有限的線段，可以用圖1-1(a)、(b)、(c)和(d)在數(shù)軸上表示出來

2.無限區(qū)間引進(jìn)記號(hào)+∞(讀作正無窮大)及-∞(讀作負(fù)無窮大)，則可類似地給出無限區(qū)間的定義和記法.

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第一章函數(shù)

(1)［a,+∞)={x|x≥a};

(2)(a,+∞)={x|x>a};

(3)(-∞,b］={x|x≤b};

(4)(-∞,b)={x|x<b};

(5)(-∞,+∞)=R.前四個(gè)無限區(qū)間同樣可以在數(shù)軸上分別用圖1-2(a)、(b)、(c)和(d)表示，而(-∞,+∞)就是整個(gè)實(shí)數(shù)軸.圖1-2第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)

3.鄰域及去心鄰域鄰域也是我們經(jīng)常用到的概念.設(shè)a,δ∈R,其中δ>0,稱開區(qū)間(a-δ,a+δ)為點(diǎn)a的δ鄰域，記為U(a,δ)，即U(a,δ)=(a-δ,a+δ)={x|a-δ<x<a+δ}

={x||x-a|<δ}.點(diǎn)a稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑.U(a,δ)可以在數(shù)軸上表示為圖1-3.

圖1-3有時(shí)用到的數(shù)集需要把鄰域的中心去掉，鄰域U(a,δ)去掉中心a后，稱為點(diǎn)a的去心δ鄰域，記作?(a,δ),即

第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)?(a,δ)=(a-δ,a)∪(a,a+δ)={x|0<|x-a|<δ},是兩個(gè)開區(qū)間的并集，見圖1-4.

函合圖1-4

為表達(dá)方便，有時(shí)把開區(qū)間(a-δ,a)稱為a的左δ鄰域，把開區(qū)間(a,a+δ)稱為a的右δ鄰域.有時(shí)在研究某一變化過程中，無需指明a的某鄰域(或去心鄰域)的半徑，此時(shí)就簡單地記為U(a)(或?(a)),讀作a的某鄰域(或a的某去心鄰域).第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)1.2.1函數(shù)的概念在研究自然現(xiàn)象、客觀規(guī)律和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象、經(jīng)濟(jì)規(guī)律過程中，往往會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過程中始終不變，保持一定的數(shù)值，這種量叫做常量；還有一些量在過程中是變化著的，可以取不同的數(shù)值，這種量叫做變量.通常用字母a,b,c等表示常量，用字母x,y,z等表示變量.但變量沒有孤立存在的，變量和變量之間往往都相互作用、相互依賴和相互影響，而函數(shù)是描述變量之間相互依存關(guān)系的重要工具之一.函數(shù)是微積分學(xué)中的基本概念，研究函數(shù)的局部性質(zhì)、整體性質(zhì)、函數(shù)的分解與合成以及函數(shù)的變化規(guī)律構(gòu)成了微積分的基本內(nèi)容.下面我們給出函數(shù)的定義.

定義1-1

設(shè)在某變化過程中有兩個(gè)變量x和y,變量x在一個(gè)給定的數(shù)域D函數(shù)1.2第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)中取值，如果對(duì)于D中每個(gè)確定的變量x的取值，變量y按照一定的法則總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x),x∈D,其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df,即Df=D.函數(shù)定義中，對(duì)每個(gè)取定的x0∈D，按照對(duì)應(yīng)法則f,總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記作f(x0)或y|x=x0=f(x0).當(dāng)x取遍D的各個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值全體組成的數(shù)域稱為函數(shù)的值域，記作Rf,即Rf={y|y=f(x),x∈D}

表示函數(shù)的記號(hào)除了常用f外，還可用其他的英文字母或希臘字母，如“g”、“φ”、“F”、“G”、“Φ”等.相應(yīng)地函數(shù)可以記作y=g(x),y=φ(x),y=第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)F(x)等.有時(shí)還直接用因變量的記號(hào)來表示函數(shù)，即把函數(shù)記作y=y(x).但在研究同一問題時(shí)，與該問題相關(guān)的幾個(gè)不同函數(shù)，要用不同的記號(hào)加以區(qū)別.

由函數(shù)的定義可知，構(gòu)成函數(shù)的基本要素有兩個(gè):一是對(duì)應(yīng)法則，二是定義域.而值域是由以上二者派生出來的，若兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和定義域都相同，則我們認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)相同，而不在意它們的自變量和因變量采用何字母表示.如y=x

sin,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)和s=tsin,t∈(-∞,0)∪(0,+∞),這兩個(gè)函數(shù)是相同的.函數(shù)定義域的確定，取決于兩種不同的研究背景:一是有實(shí)際應(yīng)用背景的函數(shù)；二是抽象地用算式表達(dá)的函數(shù).前者定義域的確定取決于變量的實(shí)際意義；而后者定義域的確定是使得算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域.例如，函數(shù)y=px2,若x表示圓的半徑，y表示圓的面積，則定義域的確定屬于前者，此時(shí)Df=［0,+∞);若不考慮x的實(shí)際意義，則其自然定義域?yàn)镈f=(-∞,+∞).

第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate第一章函數(shù)在函數(shù)的定義中，我們用“唯一確定”來表明所討論的函數(shù)都是單值函數(shù).當(dāng)D中的某些x值有多于一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)時(shí)，我們稱之為多值函數(shù).例如，變量x和y之間的對(duì)應(yīng)法則由方程所給出.顯然，對(duì)任意x∈(-a,a)，對(duì)應(yīng)著y有兩個(gè)值.所以方程確定了一個(gè)多值函數(shù)，我們往往根據(jù)問題的性質(zhì)或研究的需要，取其單值分支或進(jìn)行分析和討論.本書只討論單值函數(shù).函數(shù)的表示方法主要有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).將解析法和圖形法相結(jié)合來研究函數(shù)，可以將抽象問題直觀化，借助于幾何方法研究函數(shù)的有關(guān)特性.相反，一些幾何問題也可借助函數(shù)來做理論研究.所謂函數(shù)y=f(x)的圖形，指的是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集{(x,y)|y=f(x),x∈D}.一個(gè)函數(shù)的圖形通常是平面內(nèi)的一條曲線(圖1-5).圖中的Rf表示函數(shù)y=f(x)的值域.

第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)

例1-1

求函數(shù)y=+lnsinx的定義域.

解函數(shù)的定義域就是使表達(dá)式有意義的全體x,即

例1-2

設(shè)函數(shù)求:

(1)函數(shù)的定義域；

(2)f(0),f(-1),f(3),f(a),f［f(-1)］；第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)

(3)畫出函數(shù)的圖形.

解

(1)函數(shù)的定義域應(yīng)是Df=(-∞,0］∪(0,+∞)

=(-∞,+∞).

(2)因0∈(-∞,0］,-1∈(-∞,0］此時(shí)f(x)=2+x,得f(0)=2+0=2,f(-1)=2+(-1)=1.因3∈(0,+∞),此時(shí)f(x)=2x,得f(3)=23=8.當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)=2+a;當(dāng)a>0時(shí)，f(a)=2a.因f(-1)=1,所以f［f(-1)］=f(1)=21=2.

(3)函數(shù)f(x)的圖形如圖1-6所示.圖1-6下面給出幾個(gè)以后常用的函數(shù).

例1-3絕對(duì)值函數(shù)第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),值域Rf=［0,+∞),它的圖形如圖所示.

例1-4

符號(hào)函數(shù)

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第一章函數(shù)它的定義域D=(-∞,+∞),值域Rf={-1,0,1},它的圖形如圖1-8所示.顯然，對(duì)任意x∈(-∞,+∞)有|x|=xsgnx.

例1-5

取整函數(shù)y=［x］.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,用［x］表示不超過x的最大整數(shù).

例如［-2.2］=-3［2］=2，.這個(gè)函數(shù)可以分段表示如下(圖1-9):y=［x］=n,n≤x<n+1(n∈Z).

圖1-8

第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)它的定義域D=(-∞，+∞)，值域Rf=Z.

這里請(qǐng)讀者注意，例1-2~例1-5這幾個(gè)函數(shù)具有如下特征:在自變量的不同變化范圍內(nèi)，其對(duì)應(yīng)法則是由不同的解析式表示，通常將其稱為分段函數(shù).分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，它也是在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中常用的函數(shù)形式.

1.2.2函數(shù)的幾種特性研究函數(shù)的目的是為了探索它所具有的性質(zhì)，進(jìn)而掌握它的變化規(guī)律.下面給出幾個(gè)我們所關(guān)心的某些函數(shù)所具有的特性.在數(shù)學(xué)邏輯推理中，為了書寫方便，我們通常采用符號(hào)“”表示“任給”或“每一個(gè)”；符號(hào)“”表示“存在”.

1.函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈f,實(shí)數(shù)集X?Df,如果存在數(shù)Q，使得對(duì)x∈X都有f(x)≤Q

第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有上界，而Q稱為f(x)在X上的一個(gè)上界.如果存在數(shù)P，使得對(duì)x∈X都有

f(x)≥P成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而P稱為f(x)在X上的一個(gè)下界.如果存在正數(shù)M，使得對(duì)x∈X都有|f(x)|≤M成立，則稱f(x)在X上有界.如果這樣的M不存在，就稱f(x)在X上無界;即對(duì)M>0,x1∈X,使得|f(x1)|>M,則稱f(x)在X上無界.

注意

函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.

由于|f(x)|≤M得到-M≤f(x)≤M,從幾何直觀上看，如果f(x)在X上有界，則其圖形位于兩條直線y=-M和y=M之間，如圖1-10所示(其中X=［a,b］).

第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)圖1-10

例如，函數(shù)f(x)=sinx，在其定義域(-∞,+∞)內(nèi)有界，因取任何正數(shù)M≥1，都有|f(x)|=|sinx|≤M.數(shù)1和-1分別為它的一個(gè)上界和下界.再如函數(shù)g(x)=，在其定義域(-∞，+∞)內(nèi)也有界,只要取正數(shù)M≥，都有|g(x)|≤M.數(shù)和分別為它的一個(gè)上界和下界.

第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)

2.函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈f，X

?Df，如果對(duì)x1,x2∈X且x1<x2有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),則稱f(x)在X上是單調(diào)增加的(或單調(diào)減少的);如果對(duì)?x1,x2∈X且x1<x2有f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2)),則稱f(x)在X上是單調(diào)不減的(或單調(diào)不增的).函數(shù)的以上性質(zhì)統(tǒng)稱為單調(diào)性.如果y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加(或減少)函數(shù)，則稱區(qū)間I為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加(或減少)區(qū)間.從幾何直觀上看，單調(diào)增加函數(shù)的圖形是X上隨x的增加而上升的曲線(圖1-11)；單調(diào)減少函數(shù)的圖形是X上隨x的增加而下降的曲線(圖1-12).例如，函數(shù)f(x)=(x-1)2-1在(-∞,1］上是單調(diào)減少的，在區(qū)間［1，+∞)上是單調(diào)增加的；但在Df=(-∞,+∞)上f(x)卻不具有單調(diào)性(圖1-13).

第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)又如，函數(shù)f(x)=在(-∞,0)上是單調(diào)減少的，在(0，+∞)上也是單調(diào)減少的；但在Df=(-∞,0)∪(0,+∞)上卻也不具有單調(diào)性(圖1-14).

圖1-11圖1-12

圖1-13圖1-14

第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日PowerPointTemplate

第一章函數(shù)

3.函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域Df是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集，即對(duì)?x∈Df，有-x∈Df.如果對(duì)?x∈Df有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)?x∈Df有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù);如果f(x)既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù)，則稱f(x)為非奇非偶函數(shù).從幾何直觀上，奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(圖1-15)；偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(圖1-16).

例1-7

判斷函數(shù)f(x)=sinx2·log2(x+)的奇偶性.第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)

解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，對(duì)?x∈(-∞,+∞)有

圖1-15圖1-16所以f(x)=sinx2log2(x+)為奇函數(shù).

第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)

奇偶函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)+偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)（0）+偶函數(shù)（0）=非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)4.函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域Df，如果存在正數(shù)T，使得對(duì)?x∈Df，有x+T∈Df，且f(x+T)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù),T稱為f(x)的一個(gè)周期.顯然，如果T是f(x)的一個(gè)周期，則對(duì)?n∈N+,nT也是f(x)的周期.通常我們所說的周期函數(shù)的周期往往是指最小正周期.例如，y=sin(wx+?)和y=cos(wx+?)都是以為周期的周期函數(shù)；而y=tan(wx+?)和y=cot(wx+?)則是以為周期的周期函數(shù).第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)例1-9

設(shè)函數(shù)y=f(x)是以T為周期的周期函數(shù)，證明函數(shù)y=f(ax)(a>0)是以為周期的周期函數(shù).

圖1-17

證只需證明因?yàn)閒(x)以T為周期，所以

f(ax)=f(ax+T),即

所以f(ax)是以為周期的周期函數(shù).第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)1.2.3反函數(shù)

定義1-2

給定函數(shù)y=f(x)，其定義域Df，值域?yàn)镽f,如果對(duì)于?y∈Rf,必定?唯一的x∈Df,使f(x)=y,那么我們稱在Rf上確定了y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f-1(y),y∈Rf.此時(shí)也稱y=f(x)(x∈Df,y∈Rf)在Df上是一一對(duì)應(yīng)的.習(xí)慣上常以x記為自變量，y記為因變量，故反函數(shù)又記為y=f-1(x).相對(duì)反函數(shù)y=f-1(x)來說，原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù).從幾何直觀上看，y=f(x)和y=f-1(x)的圖形關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的.第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)

值得說明的是，并非所有的函數(shù)都有反函數(shù)，例如，函數(shù)y=x2在定義域Df=(-∞，+∞)上不是一一對(duì)應(yīng)的，從而沒有反函數(shù)；但y=x2,x∈(-∞,0]有反函數(shù)y=-.現(xiàn)在我們要問函數(shù)y=f(x)在什么條件下一定存在反函數(shù)，容易證明如下結(jié)論(留給讀者證之):

定理1-1(反函數(shù)存在定理)單調(diào)函數(shù)y=f(x)必存在單調(diào)的反函數(shù)y=f-1(x)，且y=f-1(x)具有與y=f(x)相同的單調(diào)性.

例1-10

求函數(shù)y=的反函數(shù).

第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)

解函數(shù)y=的定義域Df=(-∞,+∞),值域?yàn)镽f=(-1,1).由

可解得x=log3,變換x與y的位置，得反函數(shù)1.2.4復(fù)合函數(shù)在實(shí)際問題中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的情形:在某變化過程中，第一個(gè)變量依賴于第二個(gè)變量，而第二個(gè)變量又依賴于另外一個(gè)變量.例如，某產(chǎn)品的銷售成本C依賴于銷量Q，C=100+3Q，而銷量Q又依賴于銷售價(jià)格P,Q=5e，則通過Q銷售成本C實(shí)際上依賴于銷售價(jià)格P，即C=100+15e.像這樣在一定條件下，將一個(gè)函數(shù)“代入”到另一個(gè)函數(shù)中的運(yùn)算稱為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，而得到的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù).

第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)

定義1-3

設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)镈f,函數(shù)u=?(x)的定義域?yàn)镈?

,值域?yàn)镽?

,當(dāng)R?

∩Df≠?

時(shí)，稱y=f［?

(x)］為由y=f(u)與u=?(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，而u稱為中間變量.但若R?∩Df=?,則稱y=f(u)與u=?(x)二者不能進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算.

利用復(fù)合這個(gè)概念，有時(shí)可以把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解成若干簡單的函數(shù)的某些運(yùn)算，有時(shí)也可以利用幾個(gè)簡單的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)較為復(fù)雜的函數(shù).例如，y=sinlnx可以看作是由y=sinu，和u=lnx復(fù)合而成的；同樣函數(shù)y=eu,u=arctanx二者可以復(fù)合成函數(shù)y=earctanx.

復(fù)合函數(shù)的概念還可推廣到有限多個(gè)函數(shù)復(fù)合的情形.例如y=3可以看成是由三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，其中u、v為中間變量，x為自變量，y為因變量.第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(shù)注：會(huì)裝例設(shè)f(x)=g(x)=tanx，則

f［g(x)］=

g［f(x)］=

f(x)=sinx,g(x)=lnx,h(x)=3x,則

f［g［h(x)］]=sing［h(x)］=注意：復(fù)合函數(shù)中已知f(x)，g(x)和f［g(x)］中任意兩者可以求出第三者。

會(huì)拆：能夠?qū)⒁粋€(gè)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)拆開成若干個(gè)基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)（即基本初等函數(shù)僅僅經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算而得到的函數(shù)的復(fù)合）

第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogo會(huì)拆：能夠?qū)⒁粋€(gè)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)拆開成若干個(gè)基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)（即基本初等函數(shù)僅僅經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算而得到的函數(shù)的復(fù)合）例

解：例解：第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日PowerPointTemplate

第一章函數(shù)

1.3.1基本初等函數(shù)在微積分這門課程中，函數(shù)往往是研究問題的工具，有時(shí)也是研究對(duì)象.常用的函數(shù)都是由常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這些函數(shù)構(gòu)成的，我們將這六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù).

1.常函數(shù)函數(shù)y=C(C是常數(shù))叫做常函數(shù).它的定義域Df

=(-∞,+∞),值域Rf={C}(圖1-19).基本初等函數(shù)與初等函數(shù)1.3第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日PowerPointTemplate

第一章函數(shù)圖1-19

2.冪函數(shù)函數(shù)y=xm(m是常數(shù))叫做冪函數(shù).

冪函數(shù)y=xm

的定義域取決于m

的給定值.例如，當(dāng)m=3時(shí)，y=x3

的定義域?yàn)?-∞，+∞)；當(dāng)m=時(shí)，y=x3/2的定義域?yàn)椋?，+∞)；當(dāng)m=時(shí),y=x的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0，+∞)；當(dāng)m=時(shí)，y=x

的定義域?yàn)?0,+∞);當(dāng)m

為無理數(shù)時(shí)，規(guī)定y=xm

的定義域?yàn)?0,+∞).總之，無論m

取何值，冪函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)有定義.第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日PowerPointTemplate

第一章函數(shù)當(dāng)y=xm

中的m=1,2,3,,-1時(shí)是最常見的冪函數(shù)，它們的圖形如圖1-20所示.

圖1-20

3.指數(shù)函數(shù)函數(shù)

y=ax(a>0且a≠1,a是常數(shù))叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)y=ax

的定義域Df

=(-∞，+∞)，值域Rf

=(0,+∞).當(dāng)a>1時(shí)它第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日PowerPointTemplate

第一章函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，它是單調(diào)減少函數(shù).其圖形總在x

軸的上方，且通過(0，1)點(diǎn)，如圖1-21、圖1-22所示.

圖1-21