復(fù)變函數(shù)-復(fù)變函數(shù)1緒論課件

引言在十六世紀(jì)中葉，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程沒有根，并把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為。在當(dāng)時(shí)，包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實(shí)上，復(fù)數(shù)被Cardano引入后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀(jì)，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于L.Euler的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法國(guó).1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來表示，以及K.F.Gauss(德國(guó)1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù)為一對(duì)有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對(duì)復(fù)數(shù)真實(shí)性的長(zhǎng)久疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。1課件復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)及其表示法一對(duì)有序?qū)崝?shù)（）構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)，記為.自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù),它是本課程的研究對(duì)象.由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算,本章將在原有的基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充;然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念,為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ).x,y分別稱為Z的實(shí)部和虛部,記作x=Re(Z),y=Im(Z),.稱為Z的共軛復(fù)數(shù)。2課件與實(shí)數(shù)不同,一般說來,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等他們的實(shí)部和虛部都相等特別地，1.代數(shù)形式:復(fù)數(shù)的表示法1)點(diǎn)表示yz(x,y)xx0yr復(fù)平面實(shí)軸虛軸3課件當(dāng)z=0時(shí),|z|=0,而幅角不確定.argz可由下列關(guān)系確定:說明：當(dāng)z在第二象限時(shí)，5課件2.指數(shù)形式與三角形式利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系:x=r

cosq,y=r

sinq,可以將z表示成三角表示式: 利用歐拉公式eiq=cosq+isinq得指數(shù)表示式:例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此6課件2)顯然,r=|z|=1,又因此練習(xí)：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：7課件加減法與平行四邊形法則的幾何意義:乘、除法的幾何意義:,,,定理1兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和.9課件等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, 的意思是等式的兩邊都是無限集合,兩邊的集合相等,即每給定等式左邊的一個(gè)數(shù),就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng),反之亦然.

幾何上z1z2相當(dāng)于將z2的模擴(kuò)大|z1|倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Argz1.0110課件例2：設(shè)求：解：若取則若取則11課件2.乘方與開方運(yùn)算1）乘方DeMoivre公式：13課件2）開方:若滿足，則稱w為z的n次方根，記為

于是推得14課件從而幾何解釋：z1/n的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。例2求[解]因?yàn)樗?5課件§1.3復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例3將通過兩點(diǎn)z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示.

[解]通過點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)17課件由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0t1)取得知線段的中點(diǎn)為例4求下列方程所表示的曲線:18課件解：設(shè)z=x+iy

,方程變?yōu)?iOxy幾何上,該方程表示到點(diǎn)2i和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。19課件§1.4復(fù)數(shù)域的幾何模型---復(fù)球面0N21課件x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).

對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,

而N點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.

這樣的球面稱作復(fù)球面.22課件擴(kuò)充復(fù)數(shù)域---引進(jìn)一個(gè)“新”的數(shù)∞:擴(kuò)充復(fù)平面---引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”:無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

∞.約定:

23課件設(shè)G為一平面點(diǎn)集,z0為G中任意一點(diǎn).如果存在z0的一個(gè)鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn).

如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),則稱G為開集平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域,如果它滿足下列兩個(gè)條件:

1)D是一個(gè)開集;

2)D是連通的。就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D

的一條折線連接起來.設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn),這樣的點(diǎn)P稱為D的邊界點(diǎn).D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.25課件區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,記作D.

如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為無界的.2.單連通域與多連通域

平面曲線在數(shù)學(xué)上,經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線.如果x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù),則方程組

x=x(t),y=y(t),(atb)

代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

則此曲線可用一個(gè)方程

z=z(t) (atb)

來代表.這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.26課件定義復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域,一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域29課件§1.5復(fù)變函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的定義定義設(shè)D是復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集,稱為復(fù)變函數(shù).其確定了自變量為x和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u,v.例如,考察函數(shù)w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,則

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

因而函數(shù)w=z2

對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy30課件在以后的討論中,D常常是一個(gè)平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).2.映射的概念

函數(shù)w=f(z)在幾何上可以看做是把z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D(定義集合)變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G(函數(shù)值集合)的映射(或變換).如果D中的點(diǎn)z被映射w=f(z)映射成G中的點(diǎn)w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW31課件設(shè)函數(shù)w=z=x–iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w232課件設(shè)函數(shù)w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w133課件函數(shù)w=z2

對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù):u=x2-y2,v=2xy

把z平面上的兩族雙曲線x2-y2=c1,2xy=c2分別映射成w平面上的兩族平行直線u=c1,v=c2.101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-1034課件如果函數(shù)(映射)w=f(z)與它的反函數(shù)(逆映射)z=j(w)都是單值的,則稱函數(shù)(映射)w=f(z)是一一的.此時(shí),我們也稱集合D與集合G是一一對(duì)應(yīng)的.舉例：曲線在映射下的像

例題1

35課件例題2例題3例題4

36課件§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域0<|z-z0|<r內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對(duì)于任意給定的e>0,相應(yīng)地必有一正數(shù)d(e)(0<d),使得當(dāng)0<|z-z0|<d時(shí)有|f(z)-A|<e,則稱A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限,記作或記作當(dāng)zz0時(shí),f(z)A.37課件幾何意義:

xyOz0dzOuvAef(z)38課件等價(jià)定義：

設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,則運(yùn)算性質(zhì)：39課件當(dāng)z0時(shí)的極限不存在例1

證明函數(shù)[證]令z=x+iy,則由此得讓z沿直線y=kx

趨于零,我們有故極限不存在.40課件2.函數(shù)的連續(xù)性

定義則說f(z)在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),我們說f(z)在D內(nèi)連續(xù).函數(shù)f(z)=u(x,y)