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文檔簡(jiǎn)介
§2.3離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義若隨機(jī)變量X
的可能取值是有限多個(gè)或無(wú)窮可列多個(gè),則稱(chēng)X
為離散型隨機(jī)變量描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布或分布律,即概率分布的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概念
非負(fù)性
規(guī)范性1
F(x)是分段階梯函數(shù),在X
的可能取值
xk處發(fā)生間斷,間斷點(diǎn)為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度
pk離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)2?1?2??k?k+1?o?1?o?o?oF(X)3(2)二項(xiàng)分布背景:n
重Bernoulli試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)感興趣的事件A
在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)——X是一離散型隨機(jī)變量若P(A)=p,則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p
的二項(xiàng)分布,記作0–1分布是n=1的二項(xiàng)分布5二項(xiàng)分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見(jiàn),當(dāng)
時(shí),分布取得最大值此時(shí)的稱(chēng)為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8679二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)則稱(chēng)為最可能出現(xiàn)的次數(shù)10當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時(shí),在k=[(n+1)p]與
[(n+1)p]–1處的概率取得最大值對(duì)固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對(duì)稱(chēng)分布;固定p,隨著
n
的增大,其取值的分布趨于對(duì)稱(chēng)當(dāng)(n+1)p
整數(shù)時(shí),在k=[(n+1)p]處的概率取得最大值11問(wèn)題如何計(jì)算?
本例啟示
小概率事件雖不易發(fā)生,但重復(fù)次數(shù)多了,就成大概率事件.由此可見(jiàn)日常生活中“提高警惕,防火防盜”的重要性.由于時(shí)間無(wú)限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流等都是必然的,毫不奇怪.同樣,人生中發(fā)生車(chē)禍、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都是十分正常的,大可不必怨天尤人,更不要想不開(kāi)而跳樓自殺.13Possion定理則對(duì)固定的
k設(shè)Poisson定理說(shuō)明:若X~B(n,p),則當(dāng)n
較大,p
較小,而適中,則可以用近似公式14超幾何分布:從裝有
a
個(gè)白球,b
個(gè)紅球的袋中不放回地任取n個(gè)球,其中恰有k
個(gè)白球的概率為當(dāng)時(shí),對(duì)每個(gè)n有結(jié)論超幾何分布的極限分布是二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的極限分布是Poisson分布15例5
某廠產(chǎn)品不合格率為0.03,現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱,若要以不小于90%的概率保證每箱中至少有100個(gè)合格品,則每箱至少應(yīng)裝多少個(gè)產(chǎn)品?解
設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+n個(gè),每箱的不合格品個(gè)數(shù)為X
,則X~B(100+n,0.03)應(yīng)用Poisson定理由題意
3(100+n)0.03=3+0.03n取=317查Poisson分布表=3一欄得n+1=6,n=5所以每箱至少應(yīng)裝105個(gè)產(chǎn)品,才能符合要求.18在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng)n
20,p0.05時(shí),可用上述公式近似計(jì)算;而當(dāng)n
100,np10時(shí),精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015按二項(xiàng)分布按Possion公式
kn=10
p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=119令則查附表2得N=421三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為22設(shè)30臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為
Y~B(30,0.01)設(shè)每個(gè)人獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備,第i個(gè)人負(fù)責(zé)的30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件Ai
則三個(gè)人各獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件故
三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備比各自負(fù)責(zé)好!23(3)Poisson分布或或若其中是常數(shù),則稱(chēng)
X服從參數(shù)為的Poisson分布,記作在一定時(shí)間間隔內(nèi):一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù);大賣(mài)場(chǎng)的顧客數(shù);應(yīng)用場(chǎng)合電話(huà)總機(jī)接到的電話(huà)次數(shù);25一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù);放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù);一本書(shū)中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù);某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)都可
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