第八章 假設(shè)檢驗(yàn)8.1,8.2

第八章假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想四、小結(jié)一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不知其參數(shù)的情況下,為了推斷總體的某些性質(zhì),提出某些關(guān)于總體的假設(shè).假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)作出判斷:

是接受,還是拒絕.例如,提出總體服從泊松分布的假設(shè);如何利用樣本值對(duì)一個(gè)具體的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)?通常借助于直觀分析和理論分析相結(jié)合的做法,其基本原理就是人們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中經(jīng)常采用的所謂實(shí)際推斷原理:“一個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的”。下面結(jié)合實(shí)例來(lái)說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想.假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題是統(tǒng)計(jì)推斷的另一類(lèi)重要問(wèn)題例8-1

某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝味精,包得的袋裝糖的重量是一個(gè)隨機(jī)變量X,它服從正態(tài)分布N(,0.0152).當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值=0.5千克.某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)地抽取它所包裝的袋裝糖9袋,稱(chēng)得凈重為(千克):0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,問(wèn)機(jī)器是否正常?問(wèn)題:根據(jù)樣本值判斷問(wèn)題:根據(jù)樣本值判斷提出兩個(gè)對(duì)立假設(shè)再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè)H0(拒絕假設(shè)H1),還是拒絕假設(shè)H0(接受假設(shè)H1).如果作出的判斷是接受H0,即認(rèn)為機(jī)器工作是正常的;否則,則認(rèn)為是不正常的.由于要檢驗(yàn)的假設(shè)為總體均值,故可借助于樣本均值來(lái)判斷.于是可以選定一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)k,

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00Hknxx拒絕假設(shè)時(shí)滿(mǎn)足當(dāng)觀察值>-sm

.,/

,00Hknxx接受假設(shè)時(shí)滿(mǎn)足當(dāng)觀察值反之-sm由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點(diǎn)的定義取),1,0(~/00NnXHsm-為真時(shí)因?yàn)楫?dāng).

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,,/02/002/0HunxHunx接受時(shí)拒絕時(shí)當(dāng)aasmsm->-于是拒絕假設(shè)H0,認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常.假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程如下:,96.1

025.02/===uuka則以上所采取的檢驗(yàn)法是符合實(shí)際推斷原理的.

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,2/002/000幾乎是不會(huì)發(fā)生的的觀察值等式由一次試驗(yàn)得到滿(mǎn)足不為真就可以認(rèn)為如果根據(jù)實(shí)際推斷原理小概率事件是一個(gè)時(shí)即為真因而當(dāng)xunxHunXHaasmsmmm>-tyü?íì>-=.

,,/

,002/0HHxunx因而拒絕正確性的的假設(shè)則我們有理由懷疑原來(lái)的觀察值得到了滿(mǎn)足不等式在一次試驗(yàn)中asm>-.

,

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002/0HHunxx因而只能接受沒(méi)有理由拒絕假設(shè)則滿(mǎn)足不等式若出現(xiàn)觀察值asm-上述假設(shè)檢驗(yàn)的判別轉(zhuǎn)化為判斷在哪一個(gè)范圍內(nèi)取值：/0nxu=sm-，2/ua若|u|>拒絕H0，2/ua若|u|不拒絕H0二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念1.

統(tǒng)計(jì)假設(shè)在許多實(shí)際問(wèn)題中,需要根據(jù)理論與經(jīng)驗(yàn)對(duì)總體X的分布函數(shù)或其所含的一些參數(shù)作出某種假設(shè)H0,這種假設(shè)稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)假設(shè)(簡(jiǎn)稱(chēng)假設(shè))。當(dāng)統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0僅僅涉及總體分布的未知參數(shù)時(shí)（如假設(shè)H0：=0.5）,稱(chēng)之為參數(shù)假設(shè);當(dāng)統(tǒng)計(jì)假設(shè)Ho涉及總體的分布函數(shù)形式時(shí)（如假設(shè)H0：總體X服從泊松分布）,稱(chēng)之為非參數(shù)假設(shè)。2.

顯著性水平

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,0來(lái)作決定。還是小于值大于等于的觀察值的絕對(duì)然后按照統(tǒng)計(jì)量定就可以確數(shù)后選定當(dāng)樣本容量固定時(shí)nxuu/2sma-=u/2u/2,

,/000Hxnxu則我們拒絕的差異是顯著的與則稱(chēng)如果msm>-=u/2

,

,

,/

,000Hxnxu則我們接受不顯著的的差異是與則稱(chēng)如果反之msm-=u/23.

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量4.

原假設(shè)與備擇假設(shè).

/0稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量nXusm-=

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0100mmmm1=HH檢驗(yàn)假設(shè)

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10稱(chēng)為備擇假設(shè)稱(chēng)為原假設(shè)或零假設(shè)HH5.

拒絕域與臨界值當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí),我們拒絕原假設(shè)H0,則稱(chēng)區(qū)域C為拒絕域(記為W),拒絕域的邊界點(diǎn)稱(chēng)為臨界值或臨界點(diǎn).如在前面實(shí)例中,拒絕域?yàn)閃={}||2/auu>

2/2/aau和u-臨界值為6.

兩類(lèi)錯(cuò)誤及記號(hào)假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)是:小概率事件在一次試驗(yàn)中很難發(fā)生,但很難發(fā)生不等于不發(fā)生,因而假設(shè)檢驗(yàn)所作出的結(jié)論有可能是錯(cuò)誤的.這種錯(cuò)誤有兩類(lèi):(1)當(dāng)原假設(shè)H0為真,觀察值卻落入拒絕域,而作出了拒絕H0的判斷,稱(chēng)做第一類(lèi)錯(cuò)誤,又叫拒真錯(cuò)誤,這類(lèi)錯(cuò)誤是“以真為假”.犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率是顯著性水平P{|H0成立}=||2/auu>P{(x1,x2,…,xn)

W|H0成立}=犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為(2)當(dāng)原假設(shè)H0不真,而觀察值卻落入接受域,而作出了接受H0的判斷,稱(chēng)做第二類(lèi)錯(cuò)誤,又叫取偽錯(cuò)誤,這類(lèi)錯(cuò)誤是“以假為真”.

當(dāng)樣本容量n一定時(shí),若減少犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率,則犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率往往增大.若要使犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率都減小,除非增加樣本容量.P{|H1成立}=||2/auuP{(x1,x2,…,xn)

W|H1成立}=7.

顯著性檢驗(yàn)只對(duì)犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率加以控制,而不考慮犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率的檢驗(yàn),稱(chēng)為顯著性檢驗(yàn).8.

雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗(yàn).

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01000010100為雙邊假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)形如假設(shè)稱(chēng)為雙邊備擇也可能小于可能大于表示備擇假設(shè)中和在mmmmmmmmmmm1=1=HHHHH9.

右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱(chēng)為單邊檢驗(yàn).

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0100稱(chēng)為右邊檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)形如mmmm>HH

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0100稱(chēng)為左邊檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)形如mmmm<HH三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟3.確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及拒絕域形式;五、小結(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理、相關(guān)概念和一般步驟.真實(shí)情況(未知)所作決策接受H0拒絕H0H0為真正確犯第一類(lèi)錯(cuò)誤H0不真犯第二類(lèi)錯(cuò)誤正確假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤第二節(jié)一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)一、單個(gè)總體均值的檢驗(yàn)二、單個(gè)總體方差的檢驗(yàn)三、小結(jié)一、單個(gè)總體均值的檢驗(yàn)

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0100mmmm1=HH假設(shè)檢驗(yàn)拒絕域?yàn)閃={}||2/auu>例某切割機(jī)在正常工作時(shí),切割每段金屬棒的平均長(zhǎng)度為10.5cm,標(biāo)準(zhǔn)差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15段進(jìn)行測(cè)量,其結(jié)果如下:假定切割的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差沒(méi)有變化,試問(wèn)該機(jī)工作是否正常?解

5.10:,5.10:

101=mmHH要檢驗(yàn)假設(shè)查表得

,

22的無(wú)偏估計(jì)是因?yàn)閟s,

s來(lái)取代故用s根據(jù)第六章定理6.3(P132)知,)1(~/

,00--ntnsXHm為真時(shí)當(dāng)},{01HHP拒絕為真當(dāng)/ns

0kxt>m-=拒絕域的形式為W={}

)1(

2/->ntta拒絕域?yàn)閃={}在實(shí)際中,正態(tài)總體的方差常為未知,所以常用t

檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問(wèn)題.上述利用t

統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法稱(chēng)為t檢驗(yàn)法.例8-2車(chē)輛廠生產(chǎn)的螺桿直徑X服從正態(tài)分布N(,2),現(xiàn)從中抽取5支,測(cè)得直徑(單位:毫米)為:22.3,21.5,22.0,21.8,21.4如果方差2未知，試問(wèn)直徑均值=21是否成立？解查表得

21:,21:

101=mmHH要檢驗(yàn)假設(shè)故拒絕H0，即螺桿直徑均值不是21練習(xí)某切割機(jī)所切割的每段金屬棒的長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布,

今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15段進(jìn)行測(cè)量,其結(jié)果如下:問(wèn)該機(jī)切割的金屬棒的平均長(zhǎng)度是否為10.5?解查表得故接受H0，即平均長(zhǎng)度是為10.5單個(gè)總體均值的檢驗(yàn)二、單個(gè)總體的方差情況要求檢驗(yàn)假設(shè):

,

22的無(wú)偏估計(jì)是由于ss根據(jù)第六章定理6.2（P131）),1(~)1(

,22020--nsnHcs為真時(shí)當(dāng)

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)1(

2022作為統(tǒng)計(jì)量取scsn-=

,

a給定顯著水平為)1(22/1和--na)1(22/-nacc查附表4可得從而得拒絕域?yàn)?例

某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池,其壽命長(zhǎng)期以來(lái)服從方差=5000(小時(shí)2)的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它生產(chǎn)情況來(lái)看,壽命的波動(dòng)性有所變化.現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池,測(cè)出其壽命的樣本方差=9200(小時(shí)2).問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有