高中數(shù)學(xué)北師大版1第一章常用邏輯用語(yǔ)命題 第1章

§1命題1.了解命題的概念.(重點(diǎn))2.掌握四種命題的結(jié)構(gòu)形式.會(huì)寫(xiě)出命題的逆命題、否命題、逆否命題.(難點(diǎn))3.熟練判斷命題的真假性.(易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1命題及相關(guān)概念閱讀教材P3“問(wèn)題提出”以上的部分，完成下列問(wèn)題.(1)定義：可以判斷真假，用文字或符號(hào)表述的語(yǔ)句叫命題.(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命題：判斷為真的語(yǔ)句.,假命題：判斷為假的語(yǔ)句.))(3)形式：通常把命題表示為“若p則q”的形式，其中p是條件，q是結(jié)論.1.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“x＞16”(2)“一個(gè)實(shí)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)”是真命題.()(3)若兩個(gè)命題為互否命題，則它們的真假性肯定不相同.()【解析】(1)×，因?yàn)闆](méi)有給定變量x的值，無(wú)法確定其真假，故不是命題.(2)×，因?yàn)?既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，所以是假命題.(3)√，互否命題的真假性相反.【答案】(1)×(2)×(3)√2.下列語(yǔ)句是命題的是()不是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)＞5C.請(qǐng)同學(xué)們用好《非常學(xué)案》！D.三角形是平面圖形嗎？【解析】B不能判斷其真假，C、D分別是祈使句、疑問(wèn)句不是命題.【答案】A教材整理2四種命題及關(guān)系閱讀教材P3“問(wèn)題提出”～P4“例1”以上的部分，完成下列問(wèn)題.1.四種命題互逆命題一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件互否命題一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定互為逆否命題一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定2.四種命題之間的關(guān)系互為逆命題、互為否命題、互為逆否命題都是說(shuō)的兩個(gè)命題之間的關(guān)系.圖1-1-11.命題：“兩對(duì)角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對(duì)角線相等的四邊形”的()A.逆命題 B.否命題C.逆否命題 D.等價(jià)命題【解析】根據(jù)逆命題的定義知，選項(xiàng)A正確.【答案】A2.將下列命題改寫(xiě)成“若p則q”的形式，并寫(xiě)出其逆命題、否命題、逆否命題，并判斷相應(yīng)命題的真假.(1)正數(shù)a的平方根不等于0；(2)兩條對(duì)角線不相等的平行四邊形不是矩形.【解】(1)“若a是正數(shù)，則a的平方根不等于0”逆命題是：“若a的平方根不等于0，則a是正數(shù)”，假命題；否命題是“若a不是正數(shù)，則它的平方根等于0”，假命題；逆否命題是：“若a的平方根等于0，則a不是正數(shù)”，真命題.(2)“若平行四邊形的兩條對(duì)角線不相等，則它不是矩形”，逆命題是：“若平行四邊形不是矩形，則它的兩條對(duì)角線不相等”，真命題；否命題是“若平行四邊形的兩條對(duì)角線相等，則它是矩形，真命題；逆否命題是：“若平行四邊形是矩形，則它的兩條對(duì)角線相等”，真命題.[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問(wèn)2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問(wèn)3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]命題及其真假判斷(1)命題“若x，y都是奇數(shù)，則x＋y是偶數(shù)”的條件為_(kāi)_______，結(jié)論為_(kāi)_______.【自主解答】命題“若p則q”其中p為條件，q為結(jié)論.【答案】x，y都是奇數(shù)，x＋y是偶數(shù).(2)①x2－5x＋6＝0.②函數(shù)f(x)＝x2是偶數(shù).③若ac＞bc則b＞c.④證明x∈R，方程x2＋x＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根.以上語(yǔ)句是命題的為_(kāi)_______.【自主解答】①因?yàn)閤的值不確定，無(wú)法判斷其真假，故不是命題，②，③是命題，④是祈使句，故不是命題.【答案】②③(3)“常數(shù)列是等差數(shù)列”是____命題，“常數(shù)列是等比數(shù)列”是____命題.(填“真”或“假”)【自主解答】常數(shù)列是等差數(shù)列是真命題，如果常數(shù)為0,0,0，……則不是等比數(shù)列，故“常數(shù)列是等比數(shù)列”是假命題.【答案】真假1.能否判斷真假是命題的本質(zhì)條件，形式上陳述句是命題的主要表現(xiàn)形式，疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句都不是命題.2.判斷一個(gè)命題是真命題，一般需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理論證；判斷一個(gè)命題是假命題，只需要舉出一個(gè)反例即可.命題的結(jié)構(gòu)分別寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題：【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32550000】(1)若a2＋b2＝0，則a，b都為0；(2)兩個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù).【精彩點(diǎn)撥】將命題寫(xiě)成“若p，則q”的形式，然后再依照四種命題的關(guān)系寫(xiě)出相應(yīng)的逆命題、否命題、逆否命題.【自主解答】(1)原命題：若a2＋b2＝0，則a，b都為0.逆命題：若a，b都為0，則a2＋b2＝0.否命題：若a2＋b2≠0，則a，b不都為0.逆否命題：若a，b不都為0，則a2＋b2≠0.(2)原命題：若兩個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)的和是偶數(shù).逆命題：若兩個(gè)整數(shù)的和是偶數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)都是奇數(shù).否命題：若兩個(gè)整數(shù)不都是奇數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)的和不是偶數(shù).逆否命題：若兩個(gè)整數(shù)的和不是偶數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)不都是奇數(shù).1.當(dāng)一個(gè)命題不是“若p，則q”的形式時(shí)，要先將命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式，明確條件是什么，結(jié)論是什么，然后結(jié)合四種命題的關(guān)系寫(xiě)出該命題的逆命題、否命題和逆否命題.2.“都是”的否定是“不都是”；“全是”的否定是“不全是”.[再練一題]1.設(shè)原命題為“若ab＝0則a＝0”.【解】逆命題：若a＝0，則ab＝0，否命題：若ab≠0，則a≠0，逆否命題：若a≠0，則ab≠0.四種命題的真假判斷設(shè)命題為“若m＞0，則關(guān)于x的方程x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”試寫(xiě)出它的否命題、逆命題和逆否命題，并分別判斷它們的真假.【精彩點(diǎn)撥】利用四種命題的關(guān)系給出其他三種形式，對(duì)每一個(gè)命題判斷真假即可.【自主解答】否命題為：“若m≤0，則關(guān)于x的方程x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根”；逆命題為：“若關(guān)于x的方程x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根，則m＞0”；逆否命題：“若關(guān)于x的方程x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m≤0”.由方程的判別式Δ＝1＋4m≥0得m≥－eq\f(1,4)，即m≥－eq\f(1,4)時(shí)，方程有實(shí)根.∴m＞0使1＋4m＞0，方程x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根，∴原命題為真，從而逆否命題為真.但方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，必須m≥－eq\f(1,4)，不能推出m＞0，故逆命題為假，所以否命題也為假命題.對(duì)一個(gè)原命題來(lái)說(shuō)，其逆命題和否命題、原命題和逆否命題同真同假.在進(jìn)行真假判斷時(shí)，應(yīng)抓住四個(gè)命題之間的關(guān)系，在二者之間選擇較簡(jiǎn)單的命題進(jìn)行判斷.[再練一題]2.設(shè)命題為：“若q＜1，則方程x2＋2x＋q＝0有實(shí)根”.試寫(xiě)出它的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32550001】【解】逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實(shí)根，則q＜1，假命題.否命題：若q≥1，則方程x2＋2x＋q＝0無(wú)實(shí)根，假命題.逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無(wú)實(shí)根，則q≥1，假命題.[探究共研型]命題及其真假探究含有變量的語(yǔ)句是否是命題？【提示】對(duì)于含有變量的語(yǔ)句，要根據(jù)變量的取值范圍，看能否判斷其真假，若能，就是命題；若不能，就不是命題.例如，x2＋4x＋5＞0是命題；x2＋4x＋3＞0不是命題.因?yàn)閤2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0，對(duì)于x∈R，可以判斷真假，是命題，并且是真命題；而x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，對(duì)于x∈R，x2＋4x＋3可以表示正數(shù)，也可以表示負(fù)數(shù)和零，不能判斷真假，所以x2＋4x＋3＞0不是命題.四種命題及其關(guān)系探究1是否只有“若p，則q”形式的命題才有逆命題、否命題和逆否命題？【提示】根據(jù)四種命題的概念，可知只有能改寫(xiě)為“若p，則q”形式的命題才有逆命題、否命題、逆否命題.注意：將非“若p，則q”的命題改寫(xiě)為“若p，則q”形式的命題不是唯一的.如“兩條平行線的同位角相等”，可以寫(xiě)成“若兩直線平行，則同位角相等”，或“若兩個(gè)角是兩條平行線的同位角，則這兩個(gè)角相等”.探究2四種命題中真命題有幾個(gè)？【提示】因?yàn)樵}與逆否命題有相同的真假性，逆命題與否命題有相同的真假性，因此四種命題中真命題的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，即真命題的個(gè)數(shù)只可能為0,2,4.并且，根據(jù)四種命題中真命題的個(gè)數(shù)只可能為0,2,4，可以檢驗(yàn)寫(xiě)出的逆命題、否命題、逆否命題是否正確.探究3如何運(yùn)用互為逆否命題的兩個(gè)命題之間的關(guān)系？【提示】互為逆否命題的兩個(gè)命題同真同假，也稱為等價(jià)命題，在本節(jié)的主要應(yīng)用有兩點(diǎn)：(1)通過(guò)判斷逆否命題的真假判斷原命題的真假.(2)用于證明命題：當(dāng)原命題的真假性不易證明時(shí)，可以先證明它的逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性.探究4若一個(gè)命題有大前提，在寫(xiě)其他三種命題時(shí)，應(yīng)注意什么？【提示】(1)有大前提的命題，改寫(xiě)成“若p，則q”的形式時(shí)，要注意其書(shū)寫(xiě)格式為“大前提，若p，則q”.(2)對(duì)于含有大前提的命題，在寫(xiě)其他三種命題時(shí)，應(yīng)保持大前提不變.(3)對(duì)于由多個(gè)并列條件組成的命題，在寫(xiě)其他三種命題時(shí)，應(yīng)把其中一個(gè)(或幾個(gè))作為大前提.將命題“當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大，”寫(xiě)成“若p，則q”的形式，并寫(xiě)出其否命題.【精彩點(diǎn)撥】原命題有兩個(gè)條件：“a＞0”和“x增大”，其中“a＞0”是大前提，改寫(xiě)為“若p，則q”的形式時(shí)，要把“a＞0”置于“若”字的前面，把“x增大”作為條件.寫(xiě)否命題時(shí)，易把“a＞0”和“x增大”都否定了，從而改變了一次函數(shù)的性質(zhì)，特別是當(dāng)a＝0時(shí)，便失去了研究“增”與“不增”的意義.【自主解答】“若p，則q”的形式：當(dāng)a＞0時(shí)，若x增大，則函數(shù)y＝ax＋b的值也隨著增大.否命題：當(dāng)a＞0時(shí)，若x不增大，則函數(shù)y＝ax＋b的值也不增大.[再練一題]3.寫(xiě)出命題“已知x，y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時(shí)，y＝3，x＝2”【解】逆命題：已知x，y為正整數(shù)，若y＝3，x＝2則y＝x＋1.[構(gòu)建·體系]1.下列語(yǔ)句不是命題的是()是3的倍數(shù) 難道不能被3整除嗎？是15的約數(shù) 和5都是15的約數(shù)【解析】根據(jù)命題的定義選B.【答案】B2.命題“若a2＞b2，則a＞b”的否命題是()A.若a2＞b2，則a≤b B.若a2≤b2，則a≤bC.若a≤b，則a2＞b2 D.若a≤b，則a2≤b2【解析】根據(jù)命題的四種形式可知，命題“若p，則q”的否命題是“若﹁p，則﹁q.”該題中，p為a2＞b2，q為a＞b，故﹁p為a2≤b2，﹁q為a≤b.所以原命題的否命題為：若a2≤b2，則a≤b.【答案】B3.下列命題是真命題的是()A.若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng)B.若x2＝1，則x＝1C.若x＝y(tǒng)，則eq\r(x)＝eq\r(y)D.若x＜y，則x2＜y2【解析】x2＝1?x＝±1，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝y(tǒng)＜0時(shí)，eq\r(x)＝eq\r(y)無(wú)意義；當(dāng)x＝－2，y＝1時(shí)，顯然x2＞y2.【答案】A4.命題“無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”中，條件是________________，結(jié)論是____________________.【解析】該命題可改寫(xiě)為“如果一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)，那么它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”.條件是：一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)；結(jié)論是：它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).【答案】一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)5.把下列命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式，并寫(xiě)出它們的逆命題，否命題與逆否命題.(1)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并平分弦所對(duì)的弧；(2)已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d.【解】(1)原命題：若一條直線是弦的垂直平分線，則這條直線經(jīng)過(guò)圓心，且平分弦所對(duì)的弧.逆命題：若一條直線經(jīng)過(guò)圓心，且平分弦所對(duì)的弧，則這條直線是弦的垂直平分線.否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不經(jīng)過(guò)圓心或不平分弦所對(duì)的弧.逆否命題：若一條直線不經(jīng)過(guò)圓心或不平分弦所對(duì)的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線.(2)原命題：已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d.逆命題：已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a＋c＝b＋d，則a＝b且c＝d.否命題：已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a與b，c