專業(yè)課配套課本課件-4自動(dòng)控制原理

主要內(nèi)容§4—1根軌跡的基本概念§4—2繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則§4—3廣義根軌跡§4—4滯后系統(tǒng)的根軌跡§4—5利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能§4—6用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析§4—1根軌跡的基本概念系統(tǒng)特征根的圖解方法!!!根軌跡：當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)在規(guī)定范圍內(nèi)變化時(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根在s平面上的位置也隨之變化移動(dòng)，一個(gè)根形成一條軌跡。廣義根軌跡:系統(tǒng)的任意一變化參數(shù)形成根軌跡。狹義根軌跡（通常情況）：變化參數(shù)為開環(huán)增益K，且其變化取值范圍為0到∞。問題1:如何按希望性能將閉環(huán)極點(diǎn)合適的位置?閉環(huán)極點(diǎn)（即閉環(huán)特征方程根）閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、瞬態(tài)響應(yīng)特性問題2:當(dāng)系統(tǒng)的某些參數(shù)（如開環(huán)增益）變化時(shí)，反復(fù)求解，不方便,有沒有簡(jiǎn)便分析方法?K＝0時(shí)兩個(gè)負(fù)實(shí)根K值增加相對(duì)靠近移動(dòng)離開負(fù)實(shí)軸，分別s=-1/2直線向上和向下移動(dòng)。一對(duì)共軛復(fù)根

根軌跡圖系統(tǒng)的相關(guān)動(dòng)靜態(tài)性能信息過阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為非周期過程；臨界阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為非周期過程；欠阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。1）當(dāng)K值確定之后，根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)的位置，該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)指標(biāo)便可求出。2）閉環(huán)極點(diǎn)不可能出現(xiàn)在S平面右半部，系統(tǒng)始終穩(wěn)定。!系統(tǒng)開環(huán)增益確定閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上的位置也確定。

閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)間的關(guān)系前向通道根軌跡增益反饋通道根軌跡增益前向通道增益開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益前向通道零點(diǎn)反饋通道零點(diǎn)前向通道極點(diǎn)反饋通道極點(diǎn)m個(gè)零點(diǎn)(m=f+l)n個(gè)極點(diǎn)(n=q+h)m個(gè)零點(diǎn)(m=f+l)n個(gè)極點(diǎn)(n=q+h)3）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益=開環(huán)系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。1）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)=前向通道的零點(diǎn)+反饋通道的極點(diǎn)；2）閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及根軌跡增益均有關(guān)；

！根軌跡法：由開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，不通過解閉環(huán)特征方程找出閉環(huán)極點(diǎn)。單位反饋系統(tǒng)（1）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益；（2）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)就是開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)?！?—2繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件二、繪制根軌跡的基本規(guī)則三、閉環(huán)極點(diǎn)的確定一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件根軌跡方程m個(gè)零點(diǎn)n個(gè)極點(diǎn)（nm）幅值條件1）幅值條件不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；2）必要條件：幅角條件（k=0,1,2,…）1）幅角條件只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)2）充要條件：

幅值條件K＝2幅值條件成立！不是根軌跡上的一點(diǎn)根軌跡上的一點(diǎn)必要條件：

S平面上的某一點(diǎn)s是根軌跡上的點(diǎn)，則幅值條件成立；

S平面上的任一點(diǎn)s滿足幅值條件，該點(diǎn)卻不一定是根軌跡上的點(diǎn)。幅值條件是必要條件開環(huán)極點(diǎn)（“×”）p1=0開環(huán)零點(diǎn)（“〇”）!!幅角均以反時(shí)針方向進(jìn)行。如果幅角條件成立，則s1即根軌跡上的一個(gè)點(diǎn)。1開環(huán)零點(diǎn)至s1的幅角1、2、3、4：開環(huán)極點(diǎn)至s1的幅角。由幅值條件幅角條件繪制根軌跡，幅值條件定K值單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)P1=0

負(fù)實(shí)軸上點(diǎn)s1s2=-1-j負(fù)實(shí)軸上都是根軌跡上的點(diǎn)！

負(fù)實(shí)軸外的點(diǎn)都不是根軌跡上的點(diǎn)！

舉例二、繪制根軌跡的基本規(guī)則一、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)二、根軌跡分支數(shù)三、根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性四、實(shí)軸上的根軌跡五、根軌跡的漸近線六、根軌跡的分離點(diǎn)

七、根軌跡的起始角和終止角八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積一、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)幅值條件s值必須趨近于某個(gè)開環(huán)極點(diǎn)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)s值必須趨近于某個(gè)開環(huán)零點(diǎn)根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)二、根軌跡分支數(shù)n階系統(tǒng)，根軌跡有n個(gè)起始點(diǎn)，系統(tǒng)根軌跡有n個(gè)分支2）實(shí)際物理系統(tǒng)，開環(huán)極點(diǎn)一般多于開環(huán)零點(diǎn)，即n>m。m條終止于開環(huán)零點(diǎn)（有限值零點(diǎn))；（n－m）條根軌跡分支終止于（n－m）個(gè)無(wú)限遠(yuǎn)零點(diǎn)。1）系統(tǒng)特征方程的階次為n次特征方程有n個(gè)根

K變化(0到∞

),n個(gè)根隨著變化n條根軌跡。三、根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性根軌跡是連續(xù)曲線，且對(duì)稱于實(shí)軸。閉環(huán)特征方程的根在開環(huán)零極點(diǎn)已定的情況下，各根分別是K的連續(xù)函數(shù)；特征方程的根為實(shí)根或共軛復(fù)數(shù)根。僅需先畫出S平面上半部和實(shí)軸上的根軌跡，下半部由鏡象求得。四、實(shí)軸上的根軌跡如果實(shí)軸上某一區(qū)段的右邊的實(shí)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)段實(shí)軸必是根軌跡。開環(huán)零點(diǎn)：z1開環(huán)極點(diǎn)：p1、p2、p3、p4、p5在實(shí)軸區(qū)段[p2，p3]上取試驗(yàn)點(diǎn)s1每對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)所提供的幅角之和為360°；s1左邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為0°。s1右邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為180°；？已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實(shí)軸上的根軌跡。[-1，-2]右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=3。[-4，-6]右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=7。五、根軌跡的漸近線當(dāng)系統(tǒng)n>m時(shí)，有（n－m）條根軌跡分支終止于無(wú)限遠(yuǎn)零點(diǎn)。沿著漸近線趨于無(wú)限遠(yuǎn)處，漸近線也對(duì)稱于實(shí)軸（包括與實(shí)軸重合）。漸近線與實(shí)軸的傾角（k=0，1，2，…）：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值：證明長(zhǎng)除法K’∞時(shí)，s∞，取前兩項(xiàng)改寫為模和相角的形式兩邊開（n－m）次方牛頓二項(xiàng)式定理展開，由于s∞，忽略分母為s的二次冪和二次冪以上各項(xiàng)1）當(dāng)k值取不同值時(shí)，a有（n－m）個(gè)值，而a不變；2）根軌跡在s∞時(shí)的漸近線為 （n－m）條與實(shí)軸交點(diǎn)為a

、傾角a為的一組射線。說(shuō)明已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：0、-1、-5一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：-4n-m=3-1=2漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：根軌跡的漸近線例一已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：0、-1+j、-1-j、-4一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：-1n-m=4-1=3漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：根軌跡的漸近線例二六、根軌跡的分離點(diǎn)

分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：根軌跡在S平面某一點(diǎn)相遇后又立即分開。分離點(diǎn)必然是為D(s)某一數(shù)值時(shí)的重根點(diǎn)。1、b坐標(biāo)值由分式方程解出證明例2、由極值點(diǎn)求解b

坐標(biāo)值由解出b

證明例必要條件：當(dāng)解得多個(gè)s值時(shí)，其中k’值為正實(shí)數(shù)時(shí)才有效。3、重根法求解b

證明由解出b

分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）處的根軌跡的會(huì)合角（或分離角）會(huì)合（或分離）的根軌跡的條數(shù)分離點(diǎn)上的根軌跡的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角例r重根

r>1含兩邊求導(dǎo)b必要條件：!!當(dāng)解得多個(gè)s值時(shí)，其中k’值為正實(shí)數(shù)時(shí)才有效。[-1，-2]區(qū)間無(wú)根軌跡舍去由極值點(diǎn)求解b坐標(biāo)值由分式方程解出根軌跡在S平面上相遇并有重根，設(shè)重根為s1，根據(jù)代數(shù)中的重根條件，有

或兩式相除或即得解出s1，即為分離點(diǎn)b已知某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布，試概略畫出其根軌跡。規(guī)則1、2、3根軌跡有三條分支，分別起始于開環(huán)極點(diǎn)0、－2、－3，終止于一個(gè)開環(huán)有限零點(diǎn)－1和二個(gè)無(wú)限零點(diǎn)。根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。規(guī)則4實(shí)軸上0到－1和－2到－3兩個(gè)區(qū)域段為根軌跡規(guī)則5根軌跡有兩條漸近線（n－m＝2),令k=0

規(guī)則6在實(shí)軸上有根軌跡分離點(diǎn)，且在區(qū)段－2到－3之間由極值點(diǎn)求解b

假定s點(diǎn)沿實(shí)軸自p2點(diǎn)移向p1點(diǎn),k’增益：從零開始逐漸增大， 到達(dá)b點(diǎn)時(shí)為最大， 逐漸減小， 到p1點(diǎn)時(shí)k’為零。根軌跡分離點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的k’增益具有極值

？！取在根軌跡上的解。規(guī)則1、2、3、4

根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，有四條根軌跡分支，分別起始于極點(diǎn)0，－4和－2±j4，終止于無(wú)限遠(yuǎn)零點(diǎn)。實(shí)軸上0～－4區(qū)段為根軌跡。輻角條件

p3、p4的連接線為根軌跡根據(jù)規(guī)則5

根軌跡有四條漸近線根據(jù)規(guī)則6求根軌跡的分離點(diǎn)p3、p4的連接線上七、根軌跡的起始角和終止角起始角p:從開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的一支根軌跡，在該極點(diǎn)處根軌跡的切線與實(shí)軸之間的夾角。根軌跡起始角的一般計(jì)算式(0～360°)k＝0，1，…

證明

終止角z:進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處根軌跡的切線與實(shí)軸之間的夾角。根軌跡終止角一般計(jì)算式(0～360°)

例根軌跡上，靠近起點(diǎn)p1處取一點(diǎn)s1相角方程s1p1起始角p四條分支起始點(diǎn)p1＝0、p2、3＝―0.5+j1.5、p4＝―2.5終止點(diǎn)z1＝－1.5、z2，3

＝－2±j、－∞實(shí)軸上0～－1.5和－2.5～－∞兩區(qū)段是根軌跡取k＝0p3和p2為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡起始角對(duì)稱。或取k＝1z2和z3為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡終止角對(duì)稱。八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸相交閉環(huán)特征方程有純虛根、系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。1）應(yīng)用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界的臨界值K’，由K’值求出相應(yīng)的ω值例2）代數(shù)法代入特征方程聯(lián)立求解，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)ω值和相應(yīng)的臨界K’值。例系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。閉環(huán)特征方程系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K’值：K’=6陣列中s2行元素構(gòu)成輔助方程根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式zi開環(huán)零點(diǎn)si閉環(huán)極點(diǎn)pi開環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）與特征方程的系數(shù)關(guān)系：1）(n-m)2時(shí)，根之和與根軌跡增益K’無(wú)關(guān)，是個(gè)常數(shù)，且有2）根之和不變K’增大，一些根軌跡分支向左移動(dòng)，則一定會(huì)相應(yīng)有另外一些根軌跡分支向右移動(dòng)。根軌跡增益K’=3K。根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，有四條根軌跡分支分別起始于開環(huán)極點(diǎn)0，－3，－1±j，終止于零點(diǎn)－2和另外三個(gè)無(wú)限遠(yuǎn)零點(diǎn)。實(shí)軸上區(qū)段0～－2和－3～－∞為根軌跡。根軌跡有三條漸近線（n－m＝3），與實(shí)軸的傾角為取k＝0、1＋60°、－60°、＋180°漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為系統(tǒng)特征方程根軌跡與虛軸的交點(diǎn)兩條根軌跡分支起始于共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)－1±j各閉環(huán)極點(diǎn)之和為－5當(dāng)實(shí)軸上根軌跡分支向左趨向于無(wú)限零點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的根軌跡分支趨向于右邊無(wú)限零點(diǎn)。K＝2.34時(shí)根軌跡與虛軸兩個(gè)交點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)之和為－5閉環(huán)交點(diǎn)之積為2K’=-14.04三、閉環(huán)極點(diǎn)的確定例:

設(shè)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比ξ=0.5,求系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)。解：（1）根據(jù)根軌跡畫法基本規(guī)則畫出根軌跡圖；（2）在根軌跡圖上畫出阻尼比線；（3）求出根軌跡與阻尼比線的交點(diǎn)得到閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置；（4）根據(jù)幅值條件，求出對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益；（5）利用閉環(huán)特征方程的根之和和根之積確定其它閉環(huán)極點(diǎn)。阻尼比線閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為根據(jù)幅值條件開環(huán)增益為特征方程§4—3廣義根軌跡一、參數(shù)根軌跡二、多回路根軌跡三、正反饋和零度根軌跡一、參數(shù)根軌跡以系統(tǒng)中任意一個(gè)參數(shù)（開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)、反饋比例系數(shù)等）繪制的根軌跡。研究參數(shù)根軌跡的目的

分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響繪制參數(shù)根軌跡圖基本原理常規(guī)根軌跡方程：參數(shù)根軌跡方程：等效開環(huán)傳遞函數(shù)以α為可變參數(shù)繪制的根軌跡即為參數(shù)根軌跡例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制以α為參數(shù)的參數(shù)根軌跡，并討論α值對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解：（1）以α為參量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)特征方程等效開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)極點(diǎn)實(shí)軸上的根軌跡漸近線根軌跡與虛軸的交點(diǎn):特征方程交點(diǎn)為出射角:勞斯表對(duì)于-1+j1.73處的極點(diǎn)有對(duì)于-1-j1.73處的極點(diǎn)有二、多回路根軌跡根軌跡不僅適合于單回路,也適用于多回路。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)特征方程以α為參數(shù)研究以KC、Kf為變量的根軌跡系統(tǒng)有兩個(gè)環(huán)，內(nèi)環(huán)的極點(diǎn)就是外環(huán)的開環(huán)零點(diǎn)??！1）繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡圖內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則繪制出以Kf為參數(shù)的內(nèi)環(huán)根軌跡圖2)確定內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)假定內(nèi)環(huán)的反饋系數(shù)3.2<Kf<3.5內(nèi)環(huán)的特征方程可選Kf=3.36,則求得內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)為3)繪制外環(huán)的根軌跡圖外環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)三、正反饋和零度根軌跡1、局部正反饋系統(tǒng)的框圖正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程幅值條件幅角條件（k=0,1,2,…）繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則（1）、根軌跡的分支數(shù)(相同)（2）、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)(相同)（3）、根軌跡的對(duì)稱性(相同)（4）、實(shí)鈾上的根軌跡：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)(實(shí)軸上)開環(huán)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)目之和相應(yīng)為偶數(shù)(0也視為偶數(shù))。（5）、根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線與實(shí)袖的交點(diǎn)(相同)根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為（6）、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)(相同)（7）、根軌跡的出射角和入射角

（8）、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)(相同)（9）、閉環(huán)極點(diǎn)的和與積(相同)例控制系統(tǒng)方框圖如下所示系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)為正反饋，繪制內(nèi)環(huán)根軌跡圖。解：（1）內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)（4）實(shí)軸上的根軌跡（2）根軌跡的分支數(shù)3（3）根軌跡的起點(diǎn)0，-1，-3終點(diǎn)均為∞

（5）根軌跡的漸近線（6）根軌跡的分離點(diǎn)特征方程§4—4滯后系統(tǒng)的根軌跡在自動(dòng)控制系統(tǒng)中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)純時(shí)間滯后現(xiàn)象滯后環(huán)節(jié)的存在使系統(tǒng)的根軌跡具有一定的特殊性，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)帶來(lái)不利的影響。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程這是一個(gè)超越方程，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根不再是有限個(gè)，而是無(wú)限多個(gè)，這是滯后系統(tǒng)的重要特征。滯后系統(tǒng)根軌跡幅值相位條件幅值條件相角條件繪制滯后系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則（3）、實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)(實(shí)軸上)開環(huán)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)目之和相應(yīng)為奇數(shù)。（4）、根軌跡的漸近線：（1）、滯后系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的并對(duì)稱于實(shí)軸（2）、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)終點(diǎn)根軌跡漸近線有無(wú)數(shù)條，且平行于實(shí)軸根軌跡漸近線僅與虛軸相交，交點(diǎn)為（5）、根軌跡的分離點(diǎn)：（6）、根軌跡的出射角和入射角：（7）、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：例：設(shè)滯后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制此系統(tǒng)的根軌跡圖。解：系統(tǒng)特征方程為繪制根軌跡的相角條件為（1）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)p1=-1,σ=-∞終點(diǎn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)（2）實(shí)軸上的根軌跡（-∞，-1]（3）根軌跡的漸近線平行于實(shí)軸并與虛軸交于（4）令k=0畫出主根軌跡k=0的根軌跡，稱為主根軌跡k=1、2、…的根軌跡，稱為輔助根軌跡作圖方法系統(tǒng)中滯后環(huán)節(jié)的存在對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利影響,如果系統(tǒng)的開環(huán)增益較大,即使原來(lái)為一階的系統(tǒng)也可能變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。說(shuō)明：1、以近似式畫出的根軌跡圖與主根軌跡近似。2、當(dāng)開環(huán)增益較大時(shí)，近似方法誤差很大?！?—5利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能系統(tǒng)性能系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)位置根軌跡閉環(huán)極點(diǎn)位置一、暫態(tài)響應(yīng)性能分析設(shè)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，此外還有若干實(shí)數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為。當(dāng)Sk

為實(shí)數(shù)極點(diǎn)時(shí)q為sk右面零、極點(diǎn)數(shù)目之和設(shè)S1、S2為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的零型系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間近似估算公式系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)位置與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系：（1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于閉環(huán)極點(diǎn)的位置。（2）如果閉環(huán)極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)數(shù)，且無(wú)零點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為非振蕩的，響應(yīng)時(shí)間取決于距離虛軸最近的極點(diǎn)，若其它極點(diǎn)距離虛軸的距離比最近極點(diǎn)的距離大5倍以上，可以忽略不計(jì)。（3）如果系統(tǒng)具有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率并與其它極點(diǎn)接近原點(diǎn)的程度有關(guān)，調(diào)整時(shí)間主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部（4）如果系統(tǒng)中存在非常接近的零點(diǎn)和極點(diǎn)，其相互距離比其本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，則把這對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)稱為偶極子。偶極子的位置距離原點(diǎn)非常近時(shí)，其對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響一般需要考慮，但不會(huì)影響閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的主導(dǎo)作用。偶極子的位置距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，其對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略。（5）除其它閉環(huán)極點(diǎn)外的其它極點(diǎn)的存在會(huì)增大系統(tǒng)的阻尼比，使響應(yīng)速度減慢，超調(diào)量減少。閉環(huán)零點(diǎn)的存在減小系統(tǒng)阻尼，使響應(yīng)速度加快，超調(diào)量增加。二、附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響漸近線與實(shí)軸傾角隨著m數(shù)增大而增加根軌跡向左方向彎曲漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)隨著Zc增大（Zc點(diǎn)在實(shí)軸上向右移）而左移提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性例：一個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為分析附加一個(gè)零點(diǎn)S+Z時(shí)系統(tǒng)根軌跡的變化

在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中有時(shí)為改善系統(tǒng)的性能而增設(shè)零點(diǎn)，由此給根軌跡帶來(lái)明顯的改變。附加一個(gè)零點(diǎn)相當(dāng)于增加一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)，在實(shí)際中，能夠得到的比例微分作用的環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的復(fù)合環(huán)節(jié)。只要選取P>5Z，可以產(chǎn)生類似附加單純零點(diǎn)的作用。增加的零點(diǎn)相對(duì)靠近虛軸而起主導(dǎo)作用零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢量幅角附加提供一個(gè)超前角

開環(huán)傳遞函數(shù)上附加極點(diǎn)降低了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性漸近線與實(shí)軸傾角隨著n數(shù)增大而減小根軌跡向右方向彎曲漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)隨著pc增大（pc點(diǎn)在實(shí)軸上向右移）而右移，故更靠近原點(diǎn)。向右彎曲趨勢(shì)隨著所增加的極點(diǎn)移近原點(diǎn)而加劇三、附加極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響增加開環(huán)極點(diǎn)的影響右移極點(diǎn)增加一個(gè)極點(diǎn)的情況四、開環(huán)偶極子開環(huán)偶極子距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)幅值條件和幅角條件中的作用相互抵消；對(duì)離其較遠(yuǎn)的近虛軸區(qū)域的根軌跡形狀和開環(huán)增益