初中數(shù)學(xué)浙教版九年級下冊第2章直線與圓的位置關(guān)系切線長定理

切線長定理1.如圖，從⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的長是(B)A.4B.8C.4eq\r(,3)D.8eq\r(,3)(第1題)(第2題)2.如圖，PA，PB，CD分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，E，若PA＝7，則△PCD的周長為(B)A.7B.14C.D.3.如圖，過⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，OP交⊙O于點(diǎn)C，D是優(yōu)弧eq\o(ADB,\s\up8(︵))上不與點(diǎn)A，C重合的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)AD，CD.若∠APB＝80°，則∠ADC的度數(shù)是(C)A.15°B.20°C.25°D.30°(第3題)4.如圖，一圓內(nèi)切于四邊形ABCD，且BC＝10，AD＝7，則四邊形ABCD的周長為(B)(第4題)A.32B.34C.36D.5.如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA，PB于點(diǎn)C，D.若⊙O的半徑為r，△PCD的周長為3r，連結(jié)OA，OP，則eq\f(OA,PA)的值是(D)A.eq\f(2\r(13),13)B.eq\f(12,5)C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)(第5題)(第6題)6.如圖，⊙O與△ABC中AB，AC的延長線及BC邊相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊長依次為3，4，5，則⊙O的半徑是2.(第7題)7.如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，連結(jié)OP與⊙O交于點(diǎn)C，連結(jié)AC，BC.求證：AC＝BC.【解】∵PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC.∴AC＝BC.(第8題)8.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上的一個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)M，C重合)，以AB為直徑作⊙O，過點(diǎn)P作⊙O的切線交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E.求四邊形CDFP的周長.【解】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，即OA⊥AD，OB⊥BC.∵OA，OB是半徑，∴AF，BP是⊙O的切線.又∵PF是⊙O的切線，∴FE＝FA，PE＝PB，∴四邊形CDFP的周長為DC＋PC＋DF＋FP＝DC＋PC＋DF＋FE＋PE＝DC＋PC＋DF＋FA＋PB＝DC＋AD＋CB＝2＋2＋2＝6.9.如圖，在直角梯形ABCD中，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，BO交半圓O于點(diǎn)F，DF的延長線交AB于點(diǎn)P，連結(jié)DE.有下列結(jié)論：①DE∥OF；②AB＋CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB·DC.其中正確的結(jié)論是(C)(第9題)A.①②③④B.①②C.①②④D.③④【解】連結(jié)AE.∵四邊形ABCD是直角梯形，∴CD⊥AD，AB⊥AD.∵AD是半圓O的直徑，∴CD，AB是半圓O的切線.∵BC是半圓O的切線，∴BO是∠ABE的平分線，CD＝CE，AB＝BE，∴OB⊥AE，AB＋CD＝BC，故②正確.∵點(diǎn)E在半圓O上，∴DE⊥AE，∴DE∥OF，故①正確.連結(jié)OC.易得△OAB∽△CDO，∴eq\f(OA,CD)＝eq\f(AB,DO)，即OA·OD＝AB·CD，∴AD2＝4AB·DC，故④正確.③無法證明，故正確的結(jié)論是①②④.(第10題)10.如圖，⊙D的半徑為3，A是⊙D外一點(diǎn)，且AD＝5，AB，AC分別與⊙D相切于B，C兩點(diǎn)，G是eq\o(BC,\s\up8(︵))上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)G作⊙D的切線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.(1)△AEF的周長是8.(2)當(dāng)G為線段AD與⊙D的交點(diǎn)時(shí)，連結(jié)CD，則五邊形DBEFC的面積是9.【解】(1)∵AB，AC分別與⊙D相切于點(diǎn)B，C，∴AB＝AC，∠ABD＝∠ACD＝90°.又∵BD＝3，AD＝5，∴AB＝eq\r(AD2－BD2)＝4.∵EF切⊙O于點(diǎn)G，∴BE＝EG，F(xiàn)G＝FC.∴△AEF的周長＝AE＋EG＋FG＋AF＝AB＋AC＝8.(第10題解)(2)如解圖，AG＝AD－DG＝5－3＝2.在△AEG和△ADB中，∵∠AGE＝∠ABD＝90°，∠GAE＝∠BAD，∴△AEG∽△ADB，∴eq\f(S△AEG,S△ADB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AG,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).又∵S△ADB＝eq\f(1,2)AB·BD＝eq\f(1,2)×4×3＝6，∴S△AEG＝eq\f(3,2).同理，S△ACD＝6，S△AFG＝eq\f(3,2).∴S五邊形DBEFC＝S△ABD＋S△ACD－S△AEG－S△AFG＝6＋6－eq\f(3,2)－eq\f(3,2)＝9.11.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為F.(第11題)(1)求證：DE＝eq\f(1,2)BC.(2)若AC＝6，BC＝8，求S△ACD∶S△EDF的值.【解】(1)由題意，得EC，ED都是⊙O的切線，∴EC＝ED，∠ECD＝∠EDC.∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＋∠EDB＝90°，∠ECD＋∠B＝90°，∴∠EDB＝∠B，∴ED＝BE.∴DE＝BE＝EC.∴DE＝eq\f(1,2)BC.(2)在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10.易知△ADC∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，∴AD＝AC2÷AB＝，∴BD＝AB－AD＝，∴S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝9∶16.∵ED＝EB，EF⊥BD，∴S△EDF＝eq\f(1,2)S△EBD.同理可得S△EBD＝eq\f(1,2)S△BCD，∴S△EDF＝eq\f(1,4)S△BCD，∴S△ACD∶S△EDF＝eq\f(9,4).12.如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與BC相交于F，G兩點(diǎn)，且與AB，AC分別相切于點(diǎn)D，E，DE∥BC，連結(jié)DF，EG.(1)求證：AB＝AC.(2)若AB＝10，BC＝12，求當(dāng)四邊形DFGE是矩形時(shí)⊙O的半徑.(第12題)【解】(1)∵⊙O與AB，AC分別相切于點(diǎn)D，E，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.(2)如解圖，連結(jié)AO，交DE于點(diǎn)M，延長AO交BC于點(diǎn)N，連結(jié)OE，DG.(第12題解)設(shè)⊙O的半徑為r.∵四邊形DFGE是矩形，∴∠DFG＝90°.∴DG是⊙O的直徑.∵⊙O與AB，AC分別相切于點(diǎn)D，E，∴OD⊥AB，OE⊥AC.又∵OD＝OE，∴AN平分∠BAC.∵AB＝AC，∴AN⊥BC，BN＝eq\f(1,2)BC＝6，∴AN＝eq\r(AB2－BN2)＝eq\r(102－62)＝8.∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ADO＝∠ANB＝90°.又∵∠OAD＝∠BAN，∴△AOD∽△ABN，∴eq\f(OD,BN)＝eq\f(AD,AN)，即eq\f(r,6)＝eq\f(AD,8).∴AD＝eq\f(4,3)r.∴BD＝AB－AD＝10－eq\f(4,3)r.∵OD⊥AB，∴∠GDB＝∠ANB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△GBD∽△ABN，∴eq\f(BD,BN)＝eq\f(GD,AN)，即eq\f(10－\f(4,3)r,6)＝eq\f(2r,8)，∴r＝eq\f(60,17).∴當(dāng)四邊形DFGE是矩形時(shí)，⊙O的半徑為eq\f(60,17).13.如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝α(定值)，⊙O的圓心O在AB上，并分別與AC，BC相切于點(diǎn)P，Q.(第13題)(1)求∠POQ的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示).(2)設(shè)D是CA延長線上的一個(gè)動點(diǎn)，DE與⊙O相切于點(diǎn)M，點(diǎn)E在CB的延長線上，試判斷∠DOE的度數(shù)是否保持不變，并說明理由.(3)在(2)的條件下，如果AB＝m(m為已知數(shù))，cosα＝eq\f(3,5)，設(shè)AD＝x，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式(并指出自變量x的取值范圍).【解】(1)∵AC＝BC，∴∠OBQ＝∠OAP＝α.∵⊙O分別與AC，BC相切于點(diǎn)P，Q，∴∠OPA＝∠OQB＝90°，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°－α，∴∠POQ＝180°－2(90°－α)＝2α.(2)∠DOE的度數(shù)保持不變.理由如下：連結(jié)OM.由切線長定理，得EM＝EQ.又∵OM＝OQ，OE＝OE，∴△OEM≌△OEQ.∴∠MOE＝∠QOE.同理，∠MOD＝∠POD.∴∠DOE＝eq\f(1,2)(∠POM＋∠QOM)＝eq\f(1,2)(360°－∠POQ)＝180°－α.∵α為定值，∴∠DOE的度數(shù)保持不變.(3)∵OP＝OQ，∠APO＝∠BQO＝90°，∠PAO＝∠QBO，∴△APO≌△BQO.∴OA＝OB.∵AB＝m，∴OA＝OB＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(m,2)，∴BQ＝AP＝AO·cosα＝eq\f(3,10)m，∴DM＝DP＝eq\f(3,10)m＋x.∵∠ADO＋∠AOD＝∠OAP＝α，∠BOE＋∠AOD＝180°－∠DOE＝α，∴∠ADO＝∠BOE.又∵∠DAO＝∠OBE＝180°－α，∴△ADO∽△BOE，∴eq\f(AD,A