指數(shù)函數(shù)隱龍谷課件

為什么要規(guī)定a>0,且a1呢？①若a=0，則當(dāng)x>0時(shí)，=0；0時(shí)，無(wú)意義.當(dāng)x②若a<0，則對(duì)于x的某些數(shù)值，可使無(wú)意義.

如③若a=1，則對(duì)于任何xR，=1，是一個(gè)常量，沒(méi)有研究的必要性.為了便于研究，規(guī)定：a>0,且a≠1在規(guī)定以后，對(duì)于任何xR，都有意義，且>0.因此指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是(0,+∞).

時(shí)就沒(méi)有意義。想一想：識(shí)記與理解?練習(xí)：（口答）判斷下列函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)，為什么？√√例1

已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，求f(0),f(1),f(-3)。

解:因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4),所以f(2)=4,即,解得a=2,于是f(x)=所以,f(0)=1,f(1)=2,f(-3)=8__15.函數(shù)y=ax和y=a-x的圖象關(guān)于

對(duì)稱；函數(shù)y=ax和y=-a-x的圖象關(guān)于

對(duì)稱.6.當(dāng)a>1時(shí)，af(x)>ag(x)

；當(dāng)0<a<1時(shí)，af(x)>ag(x)f(x)<g(x).y軸原點(diǎn)f(x)>g(x)5.函數(shù)y=ax和y=a-x的圖象關(guān)于

對(duì)稱；函數(shù)y=ax和y=-a-x的圖象關(guān)于

對(duì)稱.6.當(dāng)a>1時(shí)，af(x)>ag(x)

；當(dāng)0<a<1時(shí)，af(x)>ag(x)f(x)<g(x).學(xué)點(diǎn)一基本概念指出下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)：（1）y=4x;（2）y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a>,且a≠1.）【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.【解析】由定義，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù).由此可以確定（1）（5）（8）是指數(shù)函數(shù).（2）不是指數(shù)函數(shù).（3）是-1與指數(shù)函數(shù)4x的積.(4)中底數(shù)-4<0,所以不是指數(shù)函數(shù).(6)是二次函數(shù),不是指數(shù)函數(shù).(7)底數(shù)x不是常數(shù),不是指數(shù)函數(shù).求下列函數(shù)的定義域、值域:（1）y=2;（2）y=（）（3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10.【解析】（1）令x-4≠0,得x≠4.∴定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠4}.∴≠0,∴2≠1,∴y=2的值域?yàn)閧y|y>0，且y≠1}.（2）定義域?yàn)閤∈R.∵|x|≥0,∴y==≥=1,故y=的值域?yàn)閧y|y≥1}.（3）定義域?yàn)镽.∵y=4x+2x+1+1=(2)2+2·2x+1=(2+1)2,且>0,∴y>1.故y=4x+2x+1+1的值域?yàn)閧y|y>1}.XX（4）令≥0,得≥0,解得x<-1或x≥1.故定義域?yàn)閧x|x<-1或x≥1}.值域?yàn)閧y|y≥0,且y≠10}.(3)∵1-≥0∴≤1,∴x≥0,即定義域?yàn)閧x|x≥0}.比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大小：（1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.【解析】（1）指數(shù)函數(shù)y=1.7x，由于底數(shù)1.7>1，∴指數(shù)函數(shù)y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函數(shù).∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.（2）函數(shù)y=0.8x，由于0<0.8<1,∴指數(shù)函數(shù)y=0.8x在(-∞,+∞)上為減函數(shù).∵-0.1>-0.2，∴0.8-0.1<0.8-0.2.（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.【解析】令=t,∵x∈［-3,2］,∴t∈,∴y==t2-t+1=,當(dāng)t=時(shí)，y=;當(dāng)t=8時(shí)，y=57.∴函數(shù)的最大值為57,最小值為.求函數(shù)y=，x∈［-3,2］的最大值和最小值.【分析】令=t，化函數(shù)為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求解.已知函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>1)在區(qū)間［-1,1］上的最大值是14,求a的值.令t=ax,∵x∈［-1,1］，且a>1,∴t∈.原函數(shù)化為y=t2+2t-1=(t+1)2-2.∴單調(diào)增區(qū)間是［-1,+∞),∴當(dāng)t∈時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,∴當(dāng)t=a時(shí),=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5,又∵a>1,∴a=3.畫(huà)出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象指出這個(gè)函數(shù)的一些重要性質(zhì).【解析】其圖象是由兩部分合成的，一是把y=2x的圖象向右平移1個(gè)單位，在x≥1的部分，二是把的圖象向右平移1個(gè)單位，在x<1的部分，對(duì)接處的公共點(diǎn)為(1,1)，如上圖.畫(huà)出函數(shù)y=2x-1+1的圖象，然后指出其單調(diào)區(qū)間及值域.先畫(huà)出指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象，然后將其向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位即可，由圖象可看出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞),函數(shù)的值域?yàn)?1,+∞).設(shè)a是實(shí)數(shù)，f(x)=a-(x∈R).（1）證明：不論a為何實(shí)數(shù)，f(x)均為增函數(shù)；（2）試確定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.(1)證明：設(shè)x1,x2∈R，且x1<x2，x1-x2<0,則f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)==.由于指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，且x1<x2,所以,即.又由2x>0得所以f(x1)-f(x2)<0,因?yàn)榇私Y(jié)論與a的取值無(wú)關(guān)，所以不論a為何實(shí)數(shù)，f(x)均為增函數(shù).（2）由f(-x)+f(x)=0得得a=1.刪除

知識(shí)要點(diǎn)1.整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算法則

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)（1）根式的定義；（2）根式的性質(zhì)；（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；一般地，若則x叫做a的n次方根n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=|a|=設(shè)函數(shù)y1=a2x2+1,y2=ax2+5,求使y1<y2的x的值.解:(1)當(dāng)a>1時(shí)，使y1<y2,由性質(zhì)(3)有2x2+1<x2+5x2<4

-2<x<2

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，使y1<y2,由性質(zhì)(3)有2x2+1>x2+5x2>4

x>2或x<-2即解為{x|x>2或x<-2}

求下列各等式中的x的值(1)2x2+1=2x+3；(2)22x-3(2x)-4=0解(1)要使兩個(gè)同底的冪相等，只需它們的冪指數(shù)相等，所以由原式得x2+1=x+3

即x2–x-2=0∴x=-1或2

(2)設(shè)z=2x，原等式化為z2-3z-4=0(z+1)(z-4)=0即z=-1(舍去)或z=4由2x=4，得x=2

例1,比較下列各題中幾個(gè)值的大?。?/p>

（1）（2）Oxy(0,1)y=1Oxy(0,1)y=1

解：

(1)考察函數(shù)y=1.7x，由于底數(shù)1.7＞1，所以指數(shù)函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù).∵2.5＜3,∴1.72.5＜1.73

(2)

考察函數(shù)y=0.8x.由于底數(shù)0.8﹤1，所以指數(shù)函數(shù)y=0.8x在R上是減函數(shù).∵－0.1﹥－0.2,∴0.8–0.1﹤0.8–0.2

(3)已知2m﹤2n判斷m,n的大小

(4)已知am﹥an(0﹤a﹤1)判斷m,n的大小解:(3)考察函數(shù)y=2x，由于底數(shù)２﹥1,所以指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)?！?m﹤2n∴m﹤n.

(4)考察函數(shù)y=ax.由于底數(shù)0﹤a﹤1,所以指數(shù)函數(shù)y=ax在R上是減函數(shù)∵am﹥an∴m﹤n.

求下列函數(shù)的定義域和值域.解:(1)要使函數(shù)有意義，必須使x≠0，所以定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞);因?yàn)閤≠0，則y≠1所以函數(shù)的值域?yàn)?0,1)∪(1,+∞).(2)要使函數(shù)有意義，必須使x-1≥0，即x≥1,所以定義域?yàn)閇1,+∞);因?yàn)橹笖?shù)大于等于0，所以y≥1，即函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞).(1,+)(0,+)[1,+)(0,1](-1/2,0)><二、課前練習(xí)例4.如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象．則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是()在y軸右側(cè)的圖象，底大圖高.xyo①②③④a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.a<b<1<d<cC.b<a<1<c<dB在第一象限內(nèi),按逆時(shí)針?lè)较?底數(shù)越來(lái)越大.記憶方法:x=1例1、解下列不等式(1)解：∵1＝60

∴原不等式可化為

∵y＝6x是R上的增函數(shù)∴原不等式等價(jià)于

x2－1<0解得：-1<x<1∴原不等式的解集為(-1，1)

四、例題講解∵當(dāng)0<a<1時(shí)y＝ax是R上的減函數(shù)∴原不等式等價(jià)于

3x<x2-4即x2-3x-4>0解得：x<-1或x>4∴當(dāng)0<a<1時(shí)原不等式的解集為(-∞，-1)∪(4，+∞)

(2)解：

∵當(dāng)a>1時(shí)y＝ax是R上的增函數(shù)∴原不等式等價(jià)于

3x>x2-4即x2-3x-4<0解得：-1<x<4當(dāng)a>