生物統(tǒng)計(jì)學(xué)抽樣分布及應(yīng)用㈠課件

第二章抽樣分布及其應(yīng)用㈠第一節(jié)單個(gè)母總體抽樣第二節(jié)顯著性檢驗(yàn)的原理第三節(jié)兩個(gè)母總體抽樣第四節(jié)檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)差異（含F(xiàn)分布、方差的齊性檢驗(yàn)）第五節(jié)配對(duì)數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)第二章要點(diǎn)提示抽樣分布既是本課程的基礎(chǔ)，又是本課程的難點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)①要注意抽樣分布的特點(diǎn)及其與上一章正態(tài)分布的統(tǒng)一性；②要注意樣本統(tǒng)計(jì)量如、Σy、、?的概率分布類型（正態(tài)分布）及其參數(shù)與母總體概型及其參數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別（中心極限定理）；③應(yīng)充分理解顯著性檢驗(yàn)的原理和特點(diǎn)，熟悉兩尾檢驗(yàn)與一尾檢驗(yàn)的異同；④重點(diǎn)掌握檢驗(yàn)?和?1－?2時(shí)依據(jù)的抽樣分布類型及標(biāo)準(zhǔn)誤σ?、S?和差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤σ?1-?2、S?1-?2的計(jì)算公式，并與檢驗(yàn)?時(shí)依據(jù)的差數(shù)的抽樣分布和計(jì)算差數(shù)平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤σ?、S?的公式相區(qū)別。涉及教材內(nèi)容：第四章第六、七節(jié)，第五章第一、二、三節(jié)。作業(yè)布置：P56～P57T6、T7、T10、T11、T12、T13、T15、T16；教材P78T9、T11、T12。

第一節(jié)單個(gè)母總體抽樣例2.1給定一有限總體｛2，3，3，4｝,即N=4,μ=3,σ2=1/2；現(xiàn)從中以n=2進(jìn)行復(fù)置抽樣，則所有可能的樣本數(shù)為Nn=16個(gè)，計(jì)算各樣本的統(tǒng)計(jì)量并整理成右表。解視?為變量的衍生總體參數(shù)：μ?=Σ?/Nn=48÷16=3σ2?=〔148–482÷16〕/16=1/4視Σy為變量的衍生總體參數(shù)：μΣy=Σ(Σy)/Nn=96÷16=6σ2Σy=〔592–962÷16〕/16=1以上兩個(gè)衍生總體均由“一切可能的抽樣觀察結(jié)果組成”，并且實(shí)際應(yīng)用中遇到的多為無(wú)限總體，可以想象得到，但“看不見(jiàn)，也摸不著”。2，3，3，42，22，32，32，43，23，33，33，4第一節(jié)單個(gè)母總體抽樣前例可歸納出抽樣研究的部分結(jié)論：⑴由Nn個(gè)?構(gòu)成的衍生總體；?～N（μ?，σ2?）且有：μ?=μ，σ2?=σ2/n并有：u=（?－μ?）÷σ?⑵由Nn個(gè)Σy構(gòu)成的衍生總體；Σy～N（μΣy，σ2Σy）且有：μΣy=nμ，σ2Σy=nσ2又有：u=（Σy－μΣy）÷σΣy⑴和⑵表明抽樣分布的類型實(shí)質(zhì)上還是正態(tài)分布，只是其變量特殊罷了。⑶只有以自由度n–1算得的樣本方差

S2才是σ2的無(wú)偏估計(jì)值。（但S不是σ的無(wú)偏估計(jì)值）

（ΣS2/Nn=8÷16=1/2=σ2）第一節(jié)單個(gè)母總體抽樣例2.2調(diào)查336個(gè)平方米的小地老虎蟲危害結(jié)果，μ=4.73頭，σ=2.63頭。求抽樣n=30時(shí)?≤4.37頭的概率。解由上述結(jié)論⑴知，須先求標(biāo)準(zhǔn)誤：

σ?=σ/√n

=2.63÷√30=0.48頭

u=（?－μ）÷σ/√n=

-0.75

=（4.37－4.73）÷0.48

P(?≤4.37)=Φ(-0.75)=0.2266查附表2表明本例所求結(jié)果實(shí)際為獲得|-0.36|這種抽樣誤差的兩尾概率（之和）為2×0.2266=0.4532。?fN(?)

n=1n=4n=9第一節(jié)單個(gè)母總體抽樣

回眸例1.5求獲得抽樣誤差的概率：

μ=43.5g，σ=4.65g，N=623；?=44.05g，S=4.523g，n=25解按慣例所求兩尾概率即抽樣誤差的絕對(duì)值達(dá)到0.55的概率，因此有：σ?=σ/√n

=4.65÷√25=0.93gu=0.55÷σ/√n=

0.59反查附表2或順查附表1可得：P(|?–μ|≥0.55)=

P(|u|≥0.59)=2P(u≤-0.59)=2Φ(-0.59)=2×0.2776=0.5552≈0.56以上兩例已由總體標(biāo)準(zhǔn)差σ深化到總體標(biāo)準(zhǔn)誤σ?，使連續(xù)性變量的概率分布研究從誤差y–μ升華到抽樣誤差?－μ?，即?–μ。但這還不夠，歷史上也沒(méi)有因此避免正態(tài)分布在應(yīng)用上的危機(jī)，因?yàn)橐@得σ的準(zhǔn)確數(shù)值，其難度比μ大得多。到1908年W.S.Gosset公開發(fā)表一篇論文才使抽樣誤差的研究走出應(yīng)用上的困境。如例2.1中定義樣本標(biāo)準(zhǔn)誤S?=S/√n，則可將抽樣誤差轉(zhuǎn)換成另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化變量t=(?－μ)÷S/√n=0.55÷0.9=0.61

查附表3可知獲得0.55的兩尾概率當(dāng)在0.5以上（n－1=24）。

第二節(jié)顯著性檢驗(yàn)的原理α=0.05也叫顯著水平，是一個(gè)概率臨界值，它是根據(jù)“小概率事件在當(dāng)前這次試驗(yàn)(觀察)中實(shí)際不可能發(fā)生”這種“道德確定性”、基于農(nóng)業(yè)和生物學(xué)領(lǐng)域的行業(yè)要求而規(guī)定的小概率標(biāo)準(zhǔn)。α=0.05只能理解為否定Ho時(shí)容許犯錯(cuò)誤的概率,本例獲得27kg抽樣誤差的概率雖然很小,但尚未小到否定Ho時(shí)規(guī)定的顯著水平,反過(guò)來(lái)講就是沒(méi)有95%以上的把握來(lái)認(rèn)定其表面效應(yīng)是“本質(zhì)差別”而不是抽樣誤差;或者說(shuō)表面效應(yīng)雖然較大,但還沒(méi)有大到有95%以上的把握來(lái)排除它是抽樣誤差的可能性。上述通過(guò)計(jì)算兩尾概率評(píng)價(jià)其表面效應(yīng)的做法通常針對(duì)的提問(wèn)方式是：“新品種的單產(chǎn)與當(dāng)?shù)仄贩N有無(wú)顯著差異？”實(shí)際上評(píng)價(jià)表面效應(yīng)還有一種問(wèn)法：“新品種的單產(chǎn)是否高于當(dāng)?shù)仄贩N？”解這樣提問(wèn)往往是根據(jù)專業(yè)方面的信息已明知新品種的單產(chǎn)不可能低于當(dāng)?shù)仄贩N，于是檢驗(yàn)方法由雙側(cè)檢驗(yàn)變成單側(cè)檢驗(yàn)。1.仍假定表面效應(yīng)是抽樣誤差；Ho：μ≤μo或μ≤300kg2.計(jì)算獲此抽樣誤差的單側(cè)概率；P(?–μ≥27)=P(?–μo≥27)=P(u≥9/5)=Φ(-1.8)=0.0363.根據(jù)小概率原理推斷：Ho不成立。

第二節(jié)顯著性檢驗(yàn)的原理二、顯著性檢驗(yàn)的特點(diǎn)1.是一種概率反證法；先假定(單向)成立，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤，然后將表面效應(yīng)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)化變量后查算其屬于抽樣誤差的概率是否為小概率,是則拒絕Ho;否則接受Ho。2.用了小概率原理；否定Ho有95%以上的把握，但不可能為100%，即表面效應(yīng)只要大到視其為抽樣誤差時(shí)的雙側(cè)或單側(cè)概率小到顯著水平就能否定Ho，不然就暫且接受Ho，決不意味著接受Ho時(shí)有95%以上的把握。3.不同的場(chǎng)合依據(jù)不同的抽樣分布。三、關(guān)于t分布定義：t=(?－μ)÷S?

其中S?=S/√n叫樣本標(biāo)準(zhǔn)誤參數(shù):μt=0,σt=√〔ν/(ν-2)〕曲線特性:

以μt=0處的縱軸對(duì)稱,并以之為曲線最高點(diǎn)位置,而后往兩側(cè)遞降;不同的ν決定一條特異的t分布曲線;曲線形狀隨著ν的增加,峰頂由下往上朝標(biāo)準(zhǔn)

曲線的峰頂逼近,兩尾由上往下朝標(biāo)準(zhǔn)曲線的兩尾收攏;而當(dāng)ν→∞(＞120)時(shí),t分布曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線N(0,1)重合。4.附表3與t分布的關(guān)系。第二節(jié)顯著性檢驗(yàn)的原理附表3所列為9種雙側(cè)概率對(duì)應(yīng)的|t|,如右圖所示,當(dāng)n–1=9時(shí),0.05和0.10欄目下的2.262和1.833就表明所得標(biāo)準(zhǔn)化變量t在n=10時(shí)絕對(duì)值超過(guò)2.262的概率(雙側(cè)面積)為0.05,超過(guò)1.833的概率(雙側(cè)面積)為0.10。按照顯著性檢驗(yàn)原理，計(jì)算獲得某抽樣誤差的概率只是為了確認(rèn)它是否為小概率，那反過(guò)來(lái)也就可以根據(jù)0.05的顯著水平確定標(biāo)準(zhǔn)化變量u或t的“臨界值”，再和抽樣誤差標(biāo)準(zhǔn)化的結(jié)果相比較就是了，由此而來(lái)的顯著性檢驗(yàn)步驟見(jiàn)下例。0.900.050.0250.0251.833↓2.262↓tf(t)←ν=9第二節(jié)顯著性檢驗(yàn)的原理四、顯著性檢驗(yàn)的步驟例2.3已知某品種母豬的懷孕期為μ0=114d，現(xiàn)抽查其10頭母豬得懷孕期平均日數(shù)?=114.5d，S=1.581d，則檢驗(yàn)所得樣本的懷孕期是否顯著超過(guò)114d的步驟為：

H0:μ≤μo或μ≤114d;S?=S/√n=1.581÷√10=0.50t=(?－μ)÷S?=0.5÷0.50=1.00按自由度ν=9查得：?jiǎn)蝹?cè)t0.05=雙側(cè)t0.10=1.833推斷：t＜t0.05，H0

成立。即所得樣本的懷孕期沒(méi)有顯著超過(guò)114d

本次測(cè)驗(yàn)的顯著水平：α=0.05本例是按照題目要求進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)，實(shí)際應(yīng)用中這種提問(wèn)方式必須有所謂的“附加知識(shí)”為依據(jù)，即有來(lái)自專業(yè)方面的信息表明所得樣本的懷孕期不可能低于114d，否則就只能用雙側(cè)檢驗(yàn)。

H0:μ=μo或μ=114d;S?=S/√n=1.581÷√10=0.50t=(?－μ)÷S?=0.5÷0.50=1.00(3)按自由度ν=9查得兩尾t0.05=2.262(4)推斷：t＜t0.05，

H0

成立。意即所得樣本的懷孕期與114d無(wú)顯著差異。

本例雙側(cè)檢驗(yàn)對(duì)H0的態(tài)度與單側(cè)檢驗(yàn)相同，但實(shí)際研究中有不相同的。第二節(jié)顯著性檢驗(yàn)的原理例2.4按飼料配方規(guī)定，每1000kg某種飼料中維生素C不得少于μ0=247g，現(xiàn)從某工廠的產(chǎn)品中隨機(jī)抽查12份樣品得平均含量?=252g，S=9.115g，則檢驗(yàn)所得樣本的Vc含量是否顯著超過(guò)247g的步驟為：

H0:μ≤μo或μ≤247g;S?=S/√n=9.115÷√12=2.631t=(?－μ)÷S?=5÷2.631=1.90按自由度ν=11查得：?jiǎn)蝹?cè)t0.05=雙側(cè)t0.10=1.796推斷：t＞

t0.05，H0

不成立。即所得樣本的Vc含量顯著超過(guò)247g

本次檢驗(yàn)的顯著水平：α=0.05本例是按照題目要求進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)，實(shí)際應(yīng)用中這種提問(wèn)方式必須有所謂的“附加知識(shí)”為依據(jù)，即有來(lái)自生產(chǎn)方面的要求表明所得樣本來(lái)自Vc含量不低于247g的總體，否則就只能用雙側(cè)檢驗(yàn)。

H0:μ=μo或μ=247g;S?=S/√n=9.115÷√12=2.631t=(?－μ)÷S?=5÷2.631=1.90(3)按自由度ν=11查得雙側(cè)t0.05=2.201(4)推斷：t＜t0.05，

H0

成立。意即所得樣本的Vc含量與247g無(wú)顯著差異。

本例雙側(cè)檢驗(yàn)對(duì)H0的態(tài)度與單側(cè)檢驗(yàn)截然不同，說(shuō)明有“附加知識(shí)”時(shí)應(yīng)用一尾測(cè)驗(yàn)有利于否定H0

。第三節(jié)兩個(gè)母總體抽樣例2.5假定第一總體｛2，4，6｝,N1=3，μ1=4,σ12=8/3；第二總體｛3，6｝,N2=2，μ2=4.5,σ22=9/4?，F(xiàn)從中分別以n1=2和n2=3進(jìn)行復(fù)置抽樣,試研究?1-?2抽樣分布。解來(lái)自兩個(gè)母總體的?之差數(shù)?1-?2構(gòu)成的衍生總體容量N1n1

×N2n2=9×8=72，其全部可能的取值及次數(shù)分布列表如右,按數(shù)據(jù)整理時(shí)用過(guò)的加權(quán)法計(jì)算其參數(shù)如下:μ?1-?2=Σf(?1-?2)÷Σf=-36/72=μ?1-μ?2=

μ1-μ2=-0.5σ2?1-?2=Σf(?1-?2+0.5)2

/Σf=150/72=σ2?1+

σ2?2=σ12

/n1

+σ22

/n2

=8/3÷2

+

9/4÷3=25/12e=(?1-?2)

–μ?1-?2=(?1-?2)

–(μ1-μ2)

第三節(jié)兩個(gè)母總體抽樣復(fù)置抽樣時(shí)總體和隨機(jī)樣本的關(guān)系n=1n=2n=3第三節(jié)兩個(gè)母總體抽樣復(fù)置抽樣后差數(shù)?1-?2構(gòu)造衍生總體示意圖第三節(jié)兩個(gè)母總體抽樣

由例2.5針對(duì)“平均數(shù)的差數(shù)”?1-?2進(jìn)行的抽樣研究結(jié)果，實(shí)際上也是中心極限定理內(nèi)容之一：?1-?2～N（μ?1-?2，σ2?1-?2），于是又有：u=〔(?1-?2)－μ?1-?2〕÷σ?1-?2=〔(?1-?2)－(μ1-μ2)〕/

可見(jiàn)，來(lái)自兩個(gè)母總體的差數(shù)?1-?2與其真值μ?1-?2的抽樣誤差e取值的概率分布也可以用正態(tài)分布來(lái)描述，當(dāng)兩個(gè)母總體的參數(shù)已知時(shí)，同樣可以轉(zhuǎn)化為用標(biāo)準(zhǔn)分布求算概率。只是因?yàn)閷?shí)際應(yīng)用中遇到的多為兩個(gè)母總體參數(shù)未知的情況，所以差數(shù)的抽樣誤差無(wú)法轉(zhuǎn)化成正態(tài)離差u而只能轉(zhuǎn)化成另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化離差t，即：t=〔(?1-?2)－μ?1-?2〕÷S?1-?2，其中，S?1-?2叫差數(shù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)誤，由S12

、S22算出，并且計(jì)算公式和差數(shù)的總體標(biāo)準(zhǔn)誤相類似。

第四節(jié)檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)差異一、測(cè)驗(yàn)?1-?2例2.7某種豬場(chǎng)分別測(cè)定長(zhǎng)白后備種豬和藍(lán)塘后備種豬90kg時(shí)的背膘厚度,各獲得n1=12和n2=11頭豬的觀察值，并算得?

1=1.202mm，SS1=0.11mm2；?2=1.817mm，SS2=0.151mm2，故檢驗(yàn)兩品種背膘厚度有無(wú)顯著差異的步驟為：

（1）H0：μ1=μ2或μ1-μ2=0（2）F=S大2/S小2=0.151/10÷0.11/11=1.51ns

查得右尾F0.05，10，11=2.86，于是有：Se2=(SS1+SS2)/(ν1+ν2)=0.261÷21=(ν1S12+ν2S22)/(ν1+ν2)=0.0124S

?1-?2==0.0465t=〔(?1-?2)－μ?1-?2〕÷S?1-?2

=〔(?1-?2)－(μ1-μ2)〕÷S?1-?2

=(1.202–1.817)/0.0465=-13.226（3）按ν=11+10=21查得兩尾t0.05=2.080（4）推斷：|t|＞t0.05H0不成立

本例屬于實(shí)際應(yīng)用中普遍遇到的參數(shù)σ12及σ22未知的情形，不可能用u-test而只能用t-test，由于S?1-?通過(guò)合并均方Se2計(jì)算時(shí)必須以兩樣本均方經(jīng)F-test證實(shí)無(wú)顯著差異(齊性檢驗(yàn))為先決條件,

故要在用加權(quán)法合并兩個(gè)樣本方差前插入一個(gè)F-test過(guò)程。倘若經(jīng)F-test證實(shí)有顯著差異,表明σ12≠σ22,那就不能計(jì)算Se2而只能仿照中心極限定理有關(guān)結(jié)論計(jì)算:

S

?1-?2=,只是以它為分母轉(zhuǎn)換出來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)化變量已不再是嚴(yán)格意義上的“t”變量……先了解一下F分布。第四節(jié)檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)差異關(guān)于F的定義及其分布從一個(gè)母總體N(μ,σ2)中隨機(jī)抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本,算得兩個(gè)樣本均方依次為S12、S22，則定義：F=S12/S22。抽樣研究的結(jié)果證明,F是一個(gè)連續(xù)性隨機(jī)變量,理論上存在著抽樣分布，這就是F分布。它具有平均數(shù)為：μF=ν2/(ν2-2)㈠F分布是由自由度ν1、ν2決定的曲線系統(tǒng),因?yàn)槭蹻≮0的限制,任一條限于縱坐標(biāo)右側(cè)；㈡F分布曲線不對(duì)稱往左傾斜，左傾程度隨著ν1、ν2的一齊增加而減小，ν2→∞時(shí)，μF的取值從大于1的那邊由右往左→1，曲線峰頂向上、向右往μF→1的垂線逼近；㈢附表4(右尾F臨界值表)與F分布的關(guān)系。

第四節(jié)檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)差異Ff(F)←ν1=1,ν2=7←ν1=1,ν2=4←─ν1=1,ν2=25.59↓7.71↓↓18.51↓↓↓這里只顯示ν1=1的反J型曲線，ν1=2時(shí)也是如此；當(dāng)ν1≥3時(shí)，F(xiàn)分布曲線就轉(zhuǎn)為偏態(tài)，呈現(xiàn)反S型。第四節(jié)檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)差異一、測(cè)驗(yàn)?1-?2例2.9某家禽研究所用粵黃雞對(duì)A、B兩種飼料的增重效果進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，時(shí)間60d，各獲得8只雞的觀察值，算得?

1

=705.625g，SS1=2022g2；?

2=696.125g，SS2=967g2，檢驗(yàn)增重效果有無(wú)顯著差異的步驟為：（1）H0：μ1=μ2或μ1-μ2=0（2）F=S大2/S小2=2022/7÷967/7=2.09ns

查得右尾F0.05，7，7=3.76，于是有：Se2=(SS1+SS2)/(ν1+ν2)=2989÷14=(ν1S12+ν2S22)/(ν1+ν2)=213.5S

?1-?2==7.306t=〔(?1-?2)－μ?1-?2〕÷S?1-?2

=〔(?1-?2)－(μ1-μ2)〕÷S?1-?2

=(705.625–696.125)/7.306=1.300（3）按ν=7+7=14查得兩尾t0.05=2.145（4）推斷：|t|

＜

t0.05H0成立

本例屬于實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到的兩樣本觀察值個(gè)數(shù)n1=

n2

=

n的情形，此時(shí)計(jì)算公式可簡(jiǎn)化：Se2=(SS1+SS2)/(ν1+ν2)=(ν1S12+ν2S22)/(ν1+ν2)=(S12+S22)/2S

?1-?2=

=即使經(jīng)F-test證實(shí)有顯著差異,表明σ12≠σ22時(shí)也是如此：

S

?1-?2=

=