初中數(shù)學(xué)人教版七年級上冊有理數(shù)正數(shù)和負數(shù) 微課

【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：正數(shù)和負數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)學(xué)習(xí)目標：1.體會到現(xiàn)實世界中具有相反意義的量的含義，并能用有理數(shù)表示。2.能在數(shù)軸上表示有理數(shù)，并借助數(shù)軸理解相反數(shù)的意義。3.會求有理數(shù)的相反數(shù)?！局R內(nèi)容】一.正數(shù)和負數(shù)在日常生活中，常遇到一些具有相反意義的量，如：向東和向西，零上和零下，收入和支出。上升和下降等，只用原來小學(xué)學(xué)過的數(shù)很難區(qū)分這些具有相反意義的量。例如零上5℃用5表示，那么零下5℃再用一個數(shù)5表示就不夠了，在天氣預(yù)報圖中，零下5℃是用－5℃表示的。對于具有相反意義的量，我們可把其中一種意義的量規(guī)定為正的，用過去學(xué)過的數(shù)表示；把與它意義相反的量規(guī)定為負的。用過去學(xué)過的數(shù)（零除外）前面放上一個“－”（讀作“負”）號表示。就拿溫度為例，通常規(guī)定零上為正，于是零下為負，零下5℃用－5℃表示。象－5，－2等這樣的數(shù)是一種新數(shù)，叫做負數(shù)。過去學(xué)過的那些數(shù)，（零除外），如10，3，等，叫正數(shù)。正數(shù)前面有時也放一個“+”（讀作“正”）號。零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。正整數(shù)、零、負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)，正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。我們可以作出如下的分類表：二.數(shù)軸我們在小學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，就能用直線上依次排列的點表示自然數(shù)，它幫助我們認識了自然數(shù)的大小關(guān)系。我們可以在一條直線上規(guī)定一個正方向，用這條直線上的點表示正數(shù)、負數(shù)、零。具體做法如下：畫一條直線（通常畫成水平位置），在這條直線上任取一點作為原點，用這點表示0，規(guī)定直線上從原點向右為正方向，畫上箭頭，而相反方向為負方向，再取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次標上1，2，3，……，從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次標上－1，－2，－3……，如圖所示像這樣規(guī)定了原點，正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。在數(shù)軸上畫出表示有理數(shù)的點，除了數(shù)零用原點表示外，對于不為零的任一有理數(shù)?？梢韵扔蛇@個數(shù)的符號確定它在數(shù)軸上原點的哪一邊（正數(shù)在原點的右邊，負數(shù)在原點的左邊），再在相應(yīng)的方向上確定它與原點相距幾個單位長度，然后畫上點。例如：表示－的點，應(yīng)在原點的左邊個單位處。在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總是比左邊的數(shù)大。比較有理數(shù)大小的法則：正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)。三.相反數(shù)如圖所示，在數(shù)軸上，－6和6所對應(yīng)的點位于原點兩旁，且與原點的距離相等。也就是說，它們相對于原點的位置只有方向不同。和－所對應(yīng)的點也是這樣。容易看出：－5與5，－4與4都只有符號不同。像以上這樣只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)。例：和－互為相反數(shù)，即是－的相反數(shù)，－是的相反數(shù)。在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等。零的相反數(shù)是零?！镜湫屠}】例1.下列說法是否正確？正確的打“√”，錯誤的打“×”，并說明理由。（1）前進2km記作+2km，那么－5km就表示后退－5km。（）（2）有理數(shù)中不是正數(shù)的數(shù)就是負數(shù)。（）（3）有一種記法，80分以上如88分記為+8，某學(xué)生得分為74分，應(yīng)記為－6分。（）（4）負整數(shù)和非負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。（）分析：本例應(yīng)準確把握互為相反意義的量的含義以及有理數(shù)的兩種分類標準才能準確判斷。解：（1）（×）根據(jù)互為相反意義的量的含義，－5km應(yīng)表示后退5km，后退－5km就表示前進5km。（2）（×）有理數(shù)包括正數(shù)、負數(shù)以及0，而本小題忽視了0為有理數(shù)這一特殊情況。（3）（√）“0”的標準我們可以根據(jù)具體情況而定，故本題80分相當(dāng)于0分，所以80分以上為正，80分以下為負，故74分應(yīng)記為－6分。（4）（√）整數(shù)包括正整數(shù)、負整數(shù)、零，而非負整數(shù)指正整數(shù)和零。所以本題對整數(shù)的分類正確。說明：對類似于本例的說理判斷題，應(yīng)注意靈活運用，全面把握各概念，否則易因考慮不周全，似是而非致錯。例2.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)，，，0，。（1）正整數(shù)集：{……}（2）分數(shù)集：{……}（3）正分數(shù)集：{……}（4）負分數(shù)集：{……}分析：正數(shù)集合包括所有的正整數(shù)和正分數(shù)；分數(shù)集合包括所有的正分數(shù)和負分數(shù)。解：（1）正整數(shù)集：（2）分數(shù)集：（3）正數(shù)集：（4）負分數(shù)集：說明：本例是對有理進行分類，做題之前首先要明確各集合的含義，特別是對于以分數(shù)和百分數(shù)形式出現(xiàn)的數(shù)應(yīng)注意化簡。如本例中的“300%”和“”經(jīng)化簡后為正整數(shù)。例3.用正數(shù)、負數(shù)表示下面各組具有相反意義的量，并指出它們的分界點。（1）零上10℃與零下5℃；（2）高于海平面100米與低于海平面200米。分析：在現(xiàn)實世界中，存在著大量具有相反意義的量，比如收入與支出，上升與下降。零上溫度與零下溫度等。引入負數(shù)后，我們就可以用相應(yīng)的數(shù)表示它們。解：（1）如果用正數(shù)表示零上溫度，那么零上10℃就表示+10℃，零下5℃就表示為－5℃，它的分界點是0℃。（2）如果用正數(shù)表示高出海平面的高度，那么高出海平面100米就表示為+100米，而低于海平面200米就表示為－200米，海平面就是它的分界點，用0表示。說明：具有相反意義的兩個量規(guī)定其中一個用正數(shù)表示，另一個量就用負數(shù)來表示，到底用正數(shù)，還是用負數(shù)來表示其中的一個量，只是我們的一種規(guī)定，但也常遵守人們的習(xí)慣。比如人們習(xí)慣用正數(shù)表示零上溫度，用正數(shù)表示收入等。例4.數(shù)軸上與表示+2的點距離是3個單位長度的點有幾個？它們分別是什么數(shù)？分析：在數(shù)軸上，與已知點距離相等的點一定有兩個，它們分別位于該點的左、右兩邊。解：與表示+2的點的距離是3個單位長度的點有兩個，它們分別是－1和+5。說明：類似于本例借助于數(shù)軸求解的題目，我們只需把已知點按照題中要求移動（如本題移動3個單位長度），左右各移動一次，即可求得兩個數(shù)。本題易出現(xiàn)考慮不全只有一個數(shù)的情況。例5.如圖所示，在數(shù)軸上有三個點A、B、C，請回答：（1）將B點向左移動3個單位后，三個點所表示的數(shù)誰最??？是多少？（2）將A點向右移動4個單位后，三個點所表示的數(shù)誰最小？是多少？（3）將C點向左移動6個單位后，這時B點表示的數(shù)比C點表示的數(shù)大多少？（4）怎樣移動A、B、C中的兩個點，才能使三個點表示的數(shù)相同？有幾種移動的方法？解：（1）因為將B點向左移動3個單位后，點B表示－5，而點A表示－4，點C表示3，因此點B表示的數(shù)最小，是－5；（2）將A點向右移動4個單位后，點A表示0，點B表示－2，點C表示3，因此點B表示的數(shù)最小，是－2；（3）將C點向左移動6個單位后，C點表示數(shù)－3，A點表示數(shù)－4，B點表示數(shù)－2，所以B點表示的數(shù)比C點表示的數(shù)大1。（4）使三個點表示的數(shù)相同共有三種移動的方法。第一種：把點A向右移動2個單位，點C向左移動5個單位；第二種：把B點向左移動2個單位，C點向左移動7個單位；第三種：把A點向右移動7個單位，B點向右移動5個單位。例6.某人從A地向東走10米，然后折回向西走3米，又折回向東走6米，此人在A地哪個方向？距離是多少？分析：我們可以借助數(shù)軸求解，以A地為原點。1cm長表示2m，向東的方向表示數(shù)軸的正方向。解：觀察數(shù)軸得知：此人在A地向東方向，距離為13米。說明：借助數(shù)軸求解，即把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識模型，實際行走路線是。例7.判斷下列語句是否正確？正確的打“√”，錯誤的打“×”，并說明理由。（1）符號相反的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。（）（2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)不一定一個是正數(shù)，一個是負數(shù)。（）（3）相反數(shù)和我們以前學(xué)過的倒數(shù)是一樣的。（）分析：本例要求準確理解相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)。其中“只有”指的是除了符號不同以外完全相同。解：（1）（×）。符號相反的兩個數(shù)不一定互為相反數(shù)，如“－3”和“+5”雖然符號相反，但它們不是互為相反數(shù)。（2）（√）。因為0的相反數(shù)是0，但0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。（3）（×）。相反數(shù)和我們以前學(xué)過的倒數(shù)是兩種絕然不同的意義，互為相反數(shù)對符號提出了要求，但倒數(shù)并沒有此限定。說明：對類似于本例的說理判斷題，應(yīng)注意特殊的數(shù)0，注意0的相反數(shù)是本身。例8.化簡下列各數(shù)的符號，并回答后面的問題。（1）________________（2）___________________（3）________________（4）________________（5）_____________（6）_____________（7）+2前面有2000個正號，2001個負號?；喓蟮慕Y(jié)果是_____________，符號化簡的規(guī)律為___________________。分析：某數(shù)的相反數(shù)在形式上表現(xiàn)為在該數(shù)前面添加“－”號，本例應(yīng)從相反數(shù)本身出發(fā)，總結(jié)化簡規(guī)律。解：（1）； （2）；（3）； （4）（5）3； （6）（7）+2前面有2000個正號，2001個負號，化簡的結(jié)果是－2。符號化簡的規(guī)律是：一個數(shù)符號的改變與它前面的正號無關(guān)，與負號的個數(shù)有關(guān)。當(dāng)負號的個數(shù)為奇數(shù)時，這個數(shù)的符號改變，正的變?yōu)樨摰?，負的變?yōu)檎?。?dāng)負號的個數(shù)為偶數(shù)時，這個數(shù)的符號不變。例9.已知a和b互為相反數(shù)，m、n互為倒數(shù)，，求：的值。分析：相反數(shù)有一個很重要的性質(zhì)，若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的和為零；倒數(shù)也有一個很重要的性質(zhì)，若兩個非零的數(shù)互為倒數(shù)，則這兩個數(shù)的積為1。解：根據(jù)題意知：又例10.有理數(shù)a、b、c的位置如圖（1）所示，試確定下列各組數(shù)之間的大小關(guān)系。圖（1）（1）a與b （2）與（3）與 （4）與（5）與 （6）與分析：把a、b、c的相反數(shù)在數(shù)軸上表示出來。因為在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總是比左邊的大，我們就可以比較出以上各組數(shù)的大小。解：把表示在數(shù)軸上，如圖（2）所示，由圖可知：圖（2）（1） （2）（3） （4）（5） （6）【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一.選擇題1.正整數(shù)集合和負整數(shù)集合合在一起，構(gòu)成數(shù)的集合是（）A.整數(shù)集合B.有理數(shù)集合C.自然數(shù)集合D.非零整數(shù)集合2.下列說法：（1）零是正數(shù)；（2）零是整數(shù)；（3）零是最小的有理數(shù)；（4）零是非負數(shù)；（5）零是偶數(shù)。其中正確說法的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.53.下列說法正確的是（）A.有理數(shù)是指整數(shù)、分數(shù)、正有理數(shù)、零、負有理數(shù)這五類數(shù)B.一個有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)C.一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)D.以上說法都正確4.如圖所示，根據(jù)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置，下列關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.5.若有理數(shù)，在數(shù)軸上點M表示數(shù)m，點N表示數(shù)n，那么下面說法正確的是（）A.點M在點N的右邊B.點M在點N的左邊C.點M在原點右邊，點N在原點的左邊D.點M和點N都在原點的右邊6.數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長2000厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點共有（）個。A.1998或1999B.1999或2000C.2000或2001D.2001或20027.數(shù)軸上點A、B、C、D分別表示數(shù)a、b、c、d，已知A在B的右側(cè)。C在B的左側(cè)，D在B、C之間，則下列式子成立的是（）A.B.C.D.8.一個數(shù)大于它的相反數(shù)，那么這個數(shù)是（）A.負數(shù) B.正數(shù)C.非負數(shù) D.非正數(shù)9.下列說法：（1）－3是相反數(shù)；（2）－3和+3都是相反數(shù)；（3）－3是+3的相反數(shù)；（4）－3和+3互為相反數(shù)；（5）+3是－3的相反數(shù)；（6）一個數(shù)的相反數(shù)必定是另一個數(shù)。其中正確的為（）A.（1）（3）（5）B.（2）（4）（6）C.（2）（3）（4）D.（3）（4）（5）二.填空1.設(shè)向東走為正，向東30米，記作____________，向西走20米記作___________，原地不動記作________________，記作－25米表示向______________走25米，記作+16米表示向_____________走16米。2.把下列各數(shù)：，分別填在相應(yīng)的大括號里。正有理數(shù)集合：{……}；非負有理數(shù)集合：{……}；整數(shù)集合：{……}；負分數(shù)集合：{……}。3.數(shù)軸上點M表示2，點N表示－，點A表示－1，點M和點N中，距離點A較遠的是___________________。4.若點P在數(shù)軸上原點的右邊，則點P表示的是_______________數(shù)，－3在數(shù)軸上原點的_________________邊，表示－3的點距離原點_________________個單位長度，距離原點3個單位長度的點表示的有理數(shù)是____________________。5.閱讀下面的文字并回答問題：1的相反數(shù)是－1，則。0的相反數(shù)是0，則的相反數(shù)是，則。故a、b互為相反數(shù)，則，若，則a、b互為相反數(shù)。說明了_________________________________________，相反_____________________也成立。三.計算1.張金同學(xué)給自己的壓歲錢記了流水賬，大姑給+50元，二姑給+30元，三叔給+20元，去動物園花了10元，記為－10元，買文具用品花了15元，記為－15元，他的賬上余額為多少元？2.工廠生產(chǎn)乒乓球的重量是規(guī)定的，但實際生產(chǎn)出的乒乓球，可能重一點或輕一點，比標準重量重克，記克；比標準重量輕克，記作－克，恰好等于標準重量記作0克，現(xiàn)有10個乒乓球，稱得它們的重量比標準重量重克，克，0克，－克，－克，克，0克，克，0克，－克，產(chǎn)品規(guī)定最重不超過克，最輕不少于克為合格，這10個乒乓球中合格的有幾個？3.一個負有理數(shù)a在數(shù)軸上的位置為A，那么在數(shù)軸上與A相距d個單位（d>0）的點中，與原點距離最遠的點所對應(yīng)的數(shù)是多少？4.數(shù)軸上離開原點距離小于2的整數(shù)點的個數(shù)為x，不大于2的整數(shù)點的個數(shù)為y，等于2的整數(shù)點的個數(shù)為z，求x+y+z的值。5.已知數(shù)軸上點A和B分別表示互