2023年八年級數(shù)學(xué)學(xué)案圖形的平移與旋轉(zhuǎn)知識點考點

第三講:圖形的平移與旋轉(zhuǎn)【知識精講】知識點1平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系(1)區(qū)別。①三者概念的區(qū)別：在平面內(nèi),將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,這樣的圖形運動稱為平移;在平面內(nèi),將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)；在平面內(nèi)，將一個圖形沿著某條直線折疊。假如它可以與另一個圖形重合，那么這兩個圖形成軸對稱。②三者運動方式不同:平移是將圖形沿某個方向移動一定的距離。旋轉(zhuǎn)是將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度；軸對稱是將圖形沿著某一條直線折疊。③相應(yīng)線段、相應(yīng)角之間的關(guān)系不同：平移變換前后圖形的相應(yīng)線段平行(或共線）且相等；相應(yīng)點所連的線段平行且相等；相應(yīng)角的兩邊分別平行且相應(yīng)角的方向一致。軸對稱的相應(yīng)線段或延長線相交，交點在對稱軸上：相應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分。旋轉(zhuǎn)變換前后圖形的任意一對相應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角是旋轉(zhuǎn)角。④三者作圖所需的條件不同:平移要有平移的方向和平移的距離,旋轉(zhuǎn)要有旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角:軸對稱要有對稱軸。(2)聯(lián)系。①它們都在平面內(nèi)進(jìn)行圖形變換②它們都只改變圖形的位置不改變圖形的形狀和大小，因此變換前后的兩個圖形全等。③都要借助尺規(guī)作圖及全等三角形的知識作圖。知識點2組合圖案的形成(1)擬定圖案中的“基本圖案”。（2）發(fā)現(xiàn)該圖案各組成部分之間的內(nèi)在聯(lián)系。(3）探索該圖案的形成過程:運用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱分析各個組成部分如何通過“基本圖案”演變成“形”的。要用運動的觀點、整體的思想分析“組合圖案”的形成過程。運動的觀點就是規(guī)定我們不能靜止地挖掘“基本圖案”與“組合圖案”的內(nèi)在聯(lián)系，頭腦中應(yīng)想象、再現(xiàn)圖案形成的過程,做到心中有數(shù),特別是有的圖案具有不同的“基本圖案”其形成的方式也多種多樣,可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變換中的一種或兩種變換方式來實現(xiàn),也可以通過同一種變換方式的反復(fù)使用來實現(xiàn)。整體的思想涉及整體的構(gòu)思和“基本圖案”的組合。知識點3運用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的知識解決幾何問題在幾何題或代數(shù)幾何綜合題的解證過程中,經(jīng)常會使用幾何變換的觀點來解決問題。從圖形的特點出發(fā)，運用幾何變換，可將圖形的所有或一部分移動到一個新的位置,構(gòu)成一個新的關(guān)系,從而使問題獲得解決。這種幾何變換不改變被移動部分圖形的形狀和大小,而只是它的位置發(fā)生了變化,這種移動有助于找出圖形之間的關(guān)系,從而使解題更為簡捷。移動圖形一般有三種方法:（1）平移法。（２)旋轉(zhuǎn)法:運用旋轉(zhuǎn)變換。（3)對稱：可運用中心對稱和軸對稱。知識點4欣賞現(xiàn)實生活中的一些精美圖案通過欣賞現(xiàn)實生活中的一些精美圖案,引起學(xué)生的愛好。通過度析它們的形成過程,為此后進(jìn)行圖案設(shè)計提供素材。知識點5圖案設(shè)計的環(huán)節(jié)1、整體構(gòu)思（1)圖案的設(shè)計要突出“主題”，即設(shè)計圖案的意圖，規(guī)定簡捷、自然、別致，具有一定的意義,例如，奧運會徽是由五個兩兩相聯(lián)的圓環(huán)組成的,分別代表世界上五大洲的人民熱愛體育運動，攜手共創(chuàng)美好的未來。(２)擬定整幅圖案的形狀（如圓形或正方形)和“基本圖案”（不宜太復(fù)雜）。（３)構(gòu)思圖案的形成過程:一方面構(gòu)思該圖案由哪幾部分構(gòu)成。再構(gòu)思如何運用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等方法實現(xiàn)由“基本圖案”到各部分圖案的組合，并作出草圖。２、具體作圖根據(jù)草圖，運用尺規(guī)作圖的方法準(zhǔn)確地作出圖案。有條件的同學(xué)可用幾何畫板畫出滿意的圖案?！镜湫屠}】例１．如圖所示,A、Ｂ兩村之間有一條河，河寬為ａ，現(xiàn)要在河上修一座垂直于河岸的橋，要使AB兩村路程最近，請擬定修橋的地點。分析:假設(shè)橋為MN，從A→Ｂ要走的路程為ＡMNB，要使路程最近,只需AM+NB最小即可。例２.在△ＡBC的邊BC上,取兩點Ｄ、E,使BD＝CE，觀測AＢ+AC與AD＋AE的大小關(guān)系。分析：四條線段ＡＢ、AC、ＡD、AE比較分散,可運用平移的方法將它們集中到一起,即可求出大小關(guān)系。證明：將△AEC沿EB的方向平移到△FBD位置∴FB＝AE，F(xiàn)D＝AC設(shè)FD與AB的交點為O在△ＡＯD中，AO＋OD>AD在△ＦOB中，ＦO＋OＢ＞FB例3.已知:AＢ=CＤ=1，AB與CD交于O點,∠ＤOB=６0°,比較ＡC+BD與1的大小。分析:運用平移將ＡＣ與BD集中,再運用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行比較大小。解：證明：過C作CＥ∥AB，過B作BE∥AC，連結(jié)DE∴四邊形AＢEC為平行四邊形∴AC=BE,AB＝CE∵∠DOB＝60°，AB∥CＥ∴∠DCE=６0°∵AB＝ＣＤ=1∴CE＝CＤ＝1∴△DCE為等邊三角形∴DＥ=1在△ＤEB中，DB+BＥ>DE即DＢ+ＡＣ>1例4.已知:如圖,E是正方形ABCＤ的邊ＢＣ上一點，AF平分∠ＥＡD交CD于點F，說明AE=BE＋DＦ的理由。分析:由于要證的３條線段AB、BE、ＤF分散在兩個三角形中,可運用旋轉(zhuǎn)變換，將其放到一個三角形中。解：把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,則點D轉(zhuǎn)到了點B的位置，點Ｆ轉(zhuǎn)到了點F'的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:∠3＝∠１，F(xiàn)'Ｂ=ＦＤ，∠AＦ'Ｂ=∠AＦD∵AＢCD為正方形∴∠Ｄ=∠ＡBF＇=90°∴Ｆ'、B、E、C在一條直線上又∵∠1＋∠2＋∠EAＢ=90°∴∠３＋∠２+∠ＥAB=９0°∴∠F＇AE+∠2=９０°又∵∠AＦD+∠1=90°∴∠ＡF＇B+∠１＝9０°∵∠1＝∠2∴∠F＇AE=∠AＦ'Ｂ∴AＥ＝F'E=F'Ｂ+BＥ=FD＋BＥ例5．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點,將△ABＰ繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與CB重合，BP到達(dá)BP'處，AP到達(dá)ＣＰ'處，若AP的延長線正好通過P'，求∠ＡPB的度數(shù)。分析:此題運用旋轉(zhuǎn)將△AＢP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)9０°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出∠BＰ＇C的度數(shù)即可。而∠BP'C又是∠BP＇P與∠CP＇Ｐ之和，可各個擊破，從而得解。解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及特性可知:∠PBP'＝90°，AP⊥Ｐ'C,BＰ=ＢP'∴在△BPP'中,又∵ＡP的延長線正好通過P'點∴∠ＡP＇C＝90°∴∠BP'Ｃ=∠ＡP'C+∠BP'P＝１35°從而可得∠APＢ=13５°例６．已知：如圖，E、Ｆ、G分別是正方形ABCＤ中BC、AB、CD上的點，且AE⊥FG。求證：ＡE=FG分析：AE、ＦＧ所在位置不易證明相等,可將其一改變位置，如可用平移、旋轉(zhuǎn)將其位置改變后再進(jìn)行證明。證明:延長AB至F'使BＦ＇=ＢE，連結(jié)CF'∵正方形ABＣD∴AB＝ＣB,∠ABC＝90°又∵∠CBF'=９0°,ＢE＝BF＇∴△ＡBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)９０°可得△CBF'∴AＥ=CＦ'，AE⊥CＦ＇∵FＧ⊥AＥ∴FG∥CF'又∵正方形ABCＤ,ＡB∥ＣD∴四邊形ＧFＦ'C為平行四邊形∴CF'=FG∴AＥ＝FＧ例7.如圖,P是正方形ABCＤ中AC上一點，ＰE⊥AD于E，PF⊥ＣD于F。求證:（１)OE⊥OF(2）ＯE=OF分析:充足運用正方形的中心對稱性及旋轉(zhuǎn)變換。證明:∵正方形ABＣD∴∠ADC＝9０°,∠DAＣ=4５°∵DE⊥AD,∴∠PEＤ＝９0°∵PＦ⊥CD,∴∠PFD=9０°∴四邊形ＥPFD為矩形∴PE＝ＤF又∵∠PＥD=９0°,∠DＡC＝45°∴∠ＡＰE＝45°∴△AEP中，AE＝PＥ∴AE＝ＤＦ∵正方形ABCD為中心對稱圖形∴△ＡＯD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)9０°與△ＤOC重合∴A與D為相應(yīng)點又∵ＡE=DF∴E與F為相應(yīng)點由旋轉(zhuǎn)變換的特性知:ＯE⊥ＯF,OE＝OＦ例8.△ABC為等邊三角形，點Ｄ、E、Ｆ分別在邊AC、AB、ＢC上,且AE＝BF＝CD，連結(jié)AF、ＢD、CＥ,分別交于點G、H、M。（1）求∠1的度數(shù);（2）判斷△GMH的形狀。分析：等邊三角形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且每個角都是６０°,∠１是△ＢCH的外角，可知∠1＝∠２+∠3。而∠2=∠４∴∠1＝∠4＋∠3＝60°,從而得證。解：（１）∵等邊△ABC是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,且ＡE＝BF=CD所以，△ABC繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)120°后，△AＥＣ、△ＢFA、△CDＢ可以重合∴∠2=∠4由∠1=∠2＋∠3∴∠1=∠4+∠3=６０°（2)同理可得：∠GMH=∠MＧH=6０°∴△GMH是等邊三角形【同步拓展訓(xùn)練】1.兩個長為１2cm的線段AB與ＣＤ相交于點O，∠AOD＝１20°，判斷AＣ+BＤ的最小值。２.如圖△AＢＣ中,∠BＡＣ＝9０°，P是△ABＣ內(nèi)一點,將△ＡBP繞點Ａ逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后能與△ACQ重合，假如AＰ＝３，那么△AＰQ的面積是多少?3.△ＡBC是等邊三角形,Ｄ為BC邊上一點,△CDE也為等邊三角形,請你畫出將△ACD以C點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后的三角形,并說明AD與BE的關(guān)系。４.在四邊形ＡBCＤ中，∠AＤＣ=∠AＢC＝90°，ＡD=CD，DＰ⊥AB于Ｐ，若,求DP的長。5.△AＢC中,∠ＢＡＣ=12０°,以BC為邊向形外作等邊△BCD，把△ABD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△EＣＤ的位置,若ＡB＝3,AC＝２。（1)求∠BＡD的度數(shù)；(2)求AD的長?！灸M試題】(答題時間：40分鐘）A卷一、選擇題1.國旗上的四個小五角星,通過如何的移動可以互相得到(）A.軸對稱 ??B．平移? ??C.旋轉(zhuǎn) ? D．平移和旋轉(zhuǎn)2．起重機將重物垂直提起，這可以看作為數(shù)學(xué)上的()A．軸對稱???B.平移 ? C.旋轉(zhuǎn) ? Ｄ．變形二、填空題3.廣告設(shè)計人員進(jìn)行圖案設(shè)計,經(jīng)常將一個基本圖案進(jìn)行軸對稱、平移和____＿_(dá)_等。4.將點A繞另一個點O旋轉(zhuǎn)一周，點Ａ在旋轉(zhuǎn)過程中所通過的路線是＿_(dá)＿_(dá)___。５.以等腰直角△AＢC的斜邊AB所在的直線為對稱軸，作這個△ABＣ的對稱圖形△,則所得到的四邊形ACBC′一定是_______。6.國際奧委會會旗上的五環(huán)圖案可以看作一個基本圖案______通過＿_(dá)＿＿＿_(dá)運動得到。7.運用電腦，在同一頁面上對某圖形進(jìn)行復(fù)制，得到一組圖案,這一組圖案可以看作是一個基本圖形通過__＿_(dá)__＿得到的。三、解答題8.如圖,是一個可以自由轉(zhuǎn)動的圓盤,圓盤被提成6個全等的扇形.它可以看作是由什么“基本圖案”通過如何的旋轉(zhuǎn)得到的？９．如圖,一柵欄頂部是由全等的三角形組成，下部分是由全等的矩形組成.請你運用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱分析說明這個圖形的形成過程。10.請你分析下面圖案的形成過程。11.下圖是兩個全等的直角三角形,請問如何將△ＢＣＤ變成△EＡB?12.以一直角三角形為“基本圖形”，運用旋轉(zhuǎn)而得到一個風(fēng)車風(fēng)輪圖案.你能設(shè)計出幾種風(fēng)車風(fēng)輪圖案呢?請將你的圖案畫出來,完畢后與同學(xué)進(jìn)行交流。13.將底邊水平放置的等腰三角形沿底邊的垂直平分線分別向上、向下平移1厘米,得到一組等腰三角形,連同垂直平分線形成的圖案你能給出它的含義嗎？將得到的圖案作為“基本圖案”作兩次適當(dāng)?shù)钠揭菩纬梢唤M圖案。這一組圖案又有什么意義呢?14.請充足發(fā)揮你的想象力，任意設(shè)計一個故意義的圖案,完畢后與同學(xué)交流你的作品。15.下列三幅圖案分別是由什么“基本圖形”通過平移或旋轉(zhuǎn)而得到的?（1)（2)（3)16．如何將下圖中的甲圖變成乙圖？1７.如圖①,在正方形AＢCD中,Ｅ是AD的中點，F(xiàn)是BＡ延長線上的一點，AＦ=AB,（１)求證:△ABＥ≌△AＤF。（2）閱讀下列材料：如圖②，把△AＢC沿直線平移線段BＣ的長度,可以變到△ECD的位置；如圖③，以BC為軸把△ABＣ翻折１8０°，可以變到△ＤBC的位置；如圖④，以點A為中心,把△ABC旋轉(zhuǎn)18０°，可以變到△AED的位置,像這樣其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的,這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫做三角形的全等變換。請回答下列問題：<1>在圖①中,可以通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使△AＢＥ變到△ADF的位置？<2>指出圖①中線段ＢＥ與DF之間的關(guān)系.B卷1、將如圖1所示的Rt△ABC繞直角邊BC旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的左視圖是()DDABCCBA圖1?2、如圖，正方形AＢＣＤ和CEFＧ的邊長分別為m、n，那么?ＡＥＧ的面積的值(）ABCDGEF第3題圖A.與m、ｎ的大小都有關(guān)ABCDGEF第3題圖C．只與ｍ的大小有關(guān)D.只與n的大小有關(guān)3、如圖，線段AＢ=CＤ,ＡB與CＤ相交于點O,且,CE由AB平移所得,則ＡＣ+BD與AB的大小關(guān)系是：（）A、B、Ｃ、D、無法擬定(第4題圖）(第5題圖）（第6題圖）4、如圖，邊長為１的正方形ＡＢCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到正方形，則圖中陰影部分面積為（)Ａ、B、C、D、5、如圖,點P是等邊三角形ＡＢＣ內(nèi)部一點，,則以PA、PB、PＣ為邊的三角形的三內(nèi)角之比為(）A、２:3:4Ｂ、3：４：5C、4：５：6D、不能擬定６、如圖，正方形網(wǎng)格中,△ABC為格點三角形（頂點都是格點）,將△ＡＢC繞點Ａ按逆時針方向旋轉(zhuǎn)9０°得到.（1)在正方形網(wǎng)格中,作出;(不規(guī)定寫作法)BCA(2)設(shè)網(wǎng)格小正方形的邊長為1ｃｍ,用陰影表達(dá)出旋轉(zhuǎn)過程中線段BC所掃過的圖形,然后求出它的面積.(結(jié)果保存BCA第7題圖第7題圖7、已知：正方形ABCD中,∠MAN=４5°，∠ＭAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB，ＤC（或它們的延長線)于點M，Ｎ．當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BＭ=DN時（如圖１)，易證BM+DN=MN．（1)當(dāng)∠MAＮ繞點Ａ旋轉(zhuǎn)到ＢＭ≠DN時（如圖2），線段ＢM,DＮ和ＭN之間有如何的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．MBCN圖3AD（2)當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段MBCN圖3ADBCBCNM圖2ADBCNM圖1AD8、如圖，正方形ＡBCＤ的邊長為1,ＡB、AD上各有一點Ｐ、Q,假如的周長為２,求的度數(shù)。圖乙圖甲圖乙圖甲9、有兩張完全重合的矩形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖甲)，連結(jié)ＢD、MF,若此時他測得ＢD＝8cm,∠ADＢ=３０°．⑴試探究線段BD與線段MＦ的關(guān)系,并簡要說明理由;?⑵小紅同學(xué)用剪刀將△BＣＤ與△MEF剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ＡBD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得△AＢ1D１，AD1交FＭ于點K(如圖乙）,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°＜β＜9０°),當(dāng)△AＦ