時(shí)頻分析方法綜述

..幾種時(shí)頻分析方法簡介傅里葉變換〔FourierTransform小波變換〔WaveletTransform由傅里葉變換到窗口傅里葉變換〔GaborTransform<ShortTimeFourierTransform>/從傅里葉變換的定義可知,時(shí)域函數(shù)h<t>的傅里葉變換H<f>只能反映其在整個(gè)實(shí)軸的性態(tài),不能反映h〔t在特定時(shí)間區(qū)段內(nèi)的頻率變化情況。如果要考察h<t>在特定時(shí)域區(qū)間〔比如：t∈[a,b]內(nèi)的頻率成分,很直觀的做法是將h<t>在區(qū)間t∈[a,b]與函數(shù),然后考察傅里葉變換。但是由于在t=a,b處突然截?cái)?導(dǎo)致中出現(xiàn)了原來h〔t中不存在的不連續(xù),這樣會(huì)使得的傅里葉變化中附件新的高頻成分。為克服這一缺點(diǎn),D.Gabor在1944年引入了"窗口"傅里葉變換的概念,他的做法是,取一個(gè)光滑的函數(shù)g<t>,稱為窗口函數(shù),它在有限的區(qū)間外等于0或者很快地趨于0,然后將窗口函數(shù)與h<t>相乘得到的短時(shí)時(shí)域函數(shù)進(jìn)行FT變換以考察h<t>在特定時(shí)域內(nèi)的頻域情況。圖：STFT示意圖STFT算例圖：四個(gè)余弦分量的STFT窗口傅里葉變換〔Gabor到小波變換〔WaveletTransform圖：小波變換定義滿足條件：的平方可積函數(shù)ψ<t><即ψ<t>∈L2〔—∞,+∞>為——基本小波或小波母函數(shù)。Haar小波函數(shù)db3小波函數(shù)db4小波函數(shù)db5小波函數(shù)mexh小波函數(shù)圖：幾種常用的小波函數(shù)令,a、b為實(shí)數(shù),且a≠0,稱ψab為由母函數(shù)生成的有賴于參數(shù)a,b的連續(xù)小波函數(shù)。設(shè)f<t>∈L2〔—∞,+∞,定義其小波變換為：與Fourier類似,小波變化也具有反演公式：,以及Parseval等式：小波變換雖然具有頻率愈高相應(yīng)時(shí)間或空間分辨率愈高的優(yōu)點(diǎn),但其在頻率域上的分辨率卻相應(yīng)降低。這是小波變換的弱點(diǎn),使它只能部分地克服Fourier變換的局限性。小波包變換將在一定程度上彌補(bǔ)小波變換的這一缺陷。圖：FT變換、STFT變換及WaveletAnalysis比較圖：Wavelet應(yīng)用1——探測數(shù)據(jù)突變點(diǎn)圖：Wavelet應(yīng)用1——探測數(shù)據(jù)突變點(diǎn)〔樹狀顯示圖：Wavelet應(yīng)用2——探測數(shù)據(jù)整體變化趨勢圖：Wavelet應(yīng)用2——探測數(shù)據(jù)中的頻率成分圖：Wavelet應(yīng)用3——壓縮數(shù)據(jù)圖：Wavelet應(yīng)用3——壓縮數(shù)據(jù)希爾伯特—黃變換〔Hilbert-HuangTransform3.1希爾伯特與瞬時(shí)頻率〔HilbertTransformandinstantaneousfrequency對于任意一個(gè)時(shí)間序列X<t>,它的希爾伯特變換具有如下形式：其中,P——積分的柯西主值；希爾伯特變換對于任何屬于Lp空間中的函數(shù)都存立,即上式中X<t>∈Lp〔—∞,+∞。通過上述定義,X<t>和Y<t>成為一組復(fù)共軛對,同時(shí)能夠構(gòu)造一個(gè)實(shí)部和虛部分為X<t>和Y<t>的解析信號<AnalyticSignal>Z<t>,Z<t>表示為：其中,理論上講有無數(shù)種方式去定義虛部,但是希爾伯特變換是唯一能夠得到解析信號結(jié)果的方法。X<t>的Hilbert變換實(shí)質(zhì)上是將X<t>與函數(shù)1/t在時(shí)域上做卷積,這就決定了通過X<t>的Hilbert變換能夠考察其局部特性。得到X<t>的瞬時(shí)相位函數(shù)后,其瞬時(shí)頻率為：圖：原始信號〔三個(gè)正弦波圖：Hilbert變換后解析信號的復(fù)平面圖圖：三個(gè)正弦信號的瞬時(shí)頻率3.2經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解與固有模態(tài)函數(shù)〔Empiricalmodedecomposition/EMDandIntrinsicmodefunction/IMF固有模態(tài)函數(shù)需要滿足兩個(gè)條件：〔1極值與零點(diǎn)的數(shù)量必須相等或最多相差一個(gè)；〔2由局部極大值包絡(luò)和局部極小值包絡(luò)定義的平均包絡(luò)曲線上任何一點(diǎn)的值為0；EMD—篩選過程〔Siftingprocess圖：原始數(shù)據(jù)圖：極值包絡(luò)與均值m1圖：h1與原始數(shù)據(jù)圖：h1與m2圖：h3與m4圖：h4與m53.3Hilbert譜與Hilbert邊際譜經(jīng)過篩選過程后,X<t>可以表示為IMF與殘差量的和：對X<t>的每一個(gè)IMF進(jìn)行Hilbert變換可以得到X<t>的Hilbert譜：得到Hilbert譜后可以進(jìn)一步定義Hilbert邊際譜：算例1：一個(gè)有跳變的余弦信號圖1:跳變信號及其分量圖2:跳變信號EMD分量的瞬時(shí)相位與頻率算例2：頻率發(fā)生改變的余弦信號圖3:頻率改變余弦信號及其EMD分解分量圖4:頻率改變余弦信號IMF分量瞬時(shí)相位與瞬時(shí)頻率算例3：余弦掃頻信號圖5：余弦掃頻信號及其EMD分解分量圖6：余弦掃頻信號IMF分量瞬時(shí)相位與瞬時(shí)頻率算例4：兩個(gè)不同頻率的正弦信號的疊加圖7：兩個(gè)不同頻率疊加的正弦信號及其IMF分量圖8：兩個(gè)不同頻率疊加的正弦信號IMF1分量瞬時(shí)相位與瞬時(shí)頻率圖9：兩個(gè)不同頻率疊加的正弦信號IMF2分量瞬時(shí)相位與瞬時(shí)頻率非線性問題求解Duffingequation熟悉NCUMatlabHHT程序：Functionfa.mInputfa<data,dt,ifmethod,normmethod,nfilter>;data<n,k>其中n為數(shù)據(jù)長度,k為IMF個(gè)數(shù)。Output[freq,am];freq,am均為n×k矩陣ThespecificationsofthecalculatingmethodsoftheinstantaneousfrequencyifmethodCalculatingmethodsFunctionfileThenormalizationofinputdata‘hilbert’HilberttransformFAhilbert.mRecommendedNotrequired‘hilbtm’HilberttransformFAimphilbert.mRecommendedNotrequired‘a(chǎn)cos’ArcosmethodFAcos.mRequired‘zc’Generalizedzero-crossingmethodFAzc.mNotrecommended‘quad’QuadraturemethodFAquadrature.mRequired‘cosfor’CosineformulamethodFAcosfor.mRequiredThenormalizedmethodsoptions‘normmethod’NormalizationmethodsFunctionfileRecommendhowtouseReason‘none’NoneNoneFor‘zc’option‘spline’Splinenormalizationsplinenormalize.mNotforensembleEMDmethodPossibleovershot‘splineEP’Splinenormalizationwithseveralendprocesssplinenormalizeep.mFor‘hilbert’or‘a(chǎn)cos’optionNotforensembleEMDmethodPossibleovershot‘hilbert’Hilbertamplitudenormalizationhilbertnormalize.mWhenusingEnsembleEMDmethoddefault‘linear’Linearnormaliztionlinearnormalize.mWhenusingEnsembleEMDmethod‘pchip’Cubichermitesplinenormalizationpchipnormalize.mWhenusingEnsembleEMDmethod‘block’Blocknormalizationblocknormalize.mNottouse算例1：〔參見：ex2012104.m理論解推導(dǎo)過程如下：解析信號對比可知：AM〔amplitudemodulation：Phaseangle：FM<frequencymodulation>:圖：原始信號圖：各種方法得到的解析信號與理論解析信號的復(fù)平面對比圖：三種不同方法得到的瞬時(shí)頻率〔IF與理論瞬時(shí)頻率對比圖：三種不同方法得到的瞬時(shí)頻率〔FM與理論瞬時(shí)頻率對比〔細(xì)節(jié)圖圖：三種不同方法得到的解析信號虛部值與理論虛部分值對比圖：三種不同方法得到的解析信號包絡(luò)值〔AM與理論包絡(luò)值對比結(jié)論：計(jì)算信號IM