2019年安徽中考數(shù)學(xué)第23題的“不同”策略與感悟

2019年安徽中考數(shù)學(xué)第23題的“不同”策略與感悟2019年安徽中考數(shù)學(xué)第23題仍然遵循題目與問(wèn)題的簡(jiǎn)潔，三個(gè)問(wèn)題的設(shè)置也是由易到難，并且每個(gè)問(wèn)題彼此聯(lián)系，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣。命題人也充分考慮到學(xué)生的差異性和升學(xué)考試的選拔性，重點(diǎn)考查基礎(chǔ)（第（1）問(wèn)和第（2）問(wèn)），也注重邏輯思維的拓寬和知識(shí)間的遷移，第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)方法多樣是本題的亮點(diǎn)?？碱}表現(xiàn)（2019年安徽）如圖，RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,PABC內(nèi)部一點(diǎn)，且ZAPB=ZBPC=135°.（1）求證：△PABs^pbc；（2）求證：PA=2PC；解析：參考答案方法略解析：第（2）問(wèn)，解法1,如圖1,在線段AP上取一點(diǎn),C',使得PC'=PC,連接CC',證明△PCC'是等腰直角三角形，得出ZPC'C=45°,ZAC'C==ZBPC=135°，而ZCAP=ZPCB,PC'=PC,能夠證明厶AC'C^ACPB（AAS）,得出AC'=CP,因?yàn)镻C'=PC,所以AC'=PC',則AP=2PC'=2PC；此解法也能夠這樣說(shuō)，將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交PA于C'.解法2,如圖1,在線段AP上取一點(diǎn)C',使得AC'=PC,連接CC'，而ZCAP=ZPCB,PC'=PC,能夠證明厶AC'C^ACPB（SAS）,得ZAC'C==ZBPC=135°,得出ZPC'C=45證明△PCC'是等腰直角三角形，因?yàn)镻C'=PC,所以AC'=PC'，則AP=2AC'=2PC.圖1圖2解法3,如圖2,延長(zhǎng)AP交BC于D,則ZCPD=90°,???ZCPB=135°,.\ZDPB=45°,.\ZDPB=ZDBA又???ZPDB=ZBDA,???△PDBs^BDA???PD：BD=DB：DABD2=PD?DA又???ZCPD=ZACD=90°,ZCDP=ZADC???△PCDs^CAD.'.PD：CD=CD：AD???CD2=AD?PD???BD2=CD2???BD=CD.\CD=1/2BC=1/2AC易證AAPCsACPD???AP：CP=AC：CD,AAP：CP=AC：1/2AC=2得AP=2PC.解法4,作BG丄CP交CP延長(zhǎng)線于G,易知Z1=Z2,而ZAPC=ZBGC=90°,AC=BC,可證△APC9ACGB,.?.AP=CG,PC=BG，又VZBPC=135°,AZBPG=ZPBG=45°,A^BPG是等腰直角三角形，???PG=BG,???PG=BG=PC，即PA=2PC.解析：第（3）問(wèn)，解法1,過(guò)P作PE丄AB,PF丄BC,PG丄AC于E,F,G,PE=g,PF=h2,PG=h，由（2）得，PA=2PC,VZAPB=ZBPC=135°,AZCPA==360°-135°-135°=90°,在RtAAPC中，tanZCAP=CP：AP=1/2,ZCAB=45°,ZCAP+ZPAB=45°，由矩形大法

知，知，tanZPAB=l/3，在RtAPAE中，PE=h,AE=PE/tanZPAB=3h,11???AP=yPE2+AE2=J1Oh，在RtAAPG中，AP=J10h,tanZPAG=l/2=tanZCAP

11則AG=2PG=2h，.:AP=yAG2+PG2=、：5h，:.、5h=、10h，所以h二丫2h，333131◎由（1）已證△ABPs^bpc,相似比為v2：1，所以h=y2h，h=h，12221所以h3-h2注釋：矩形大法（選自高中教材正切和差公式）??S=2S△APC△CPB解法2,如圖，由（2）知，△ADC9ACPB,則2AC.h3=2X2BC?h2：?S=S,TAD=PD,：?S=S=S△ADC△CPB△ADC△PDC△CPB而AC二BC,：?h=2h，由h=x：2h得3212h2=2h2=h.2h=h.h122223題目來(lái)源（滬科版教材九上P92）已知：在厶ABC中，AC=BC,ZC=90°，點(diǎn)P在三角形內(nèi)，且ZPAB=ZPBC=ZPCA.求證：S=2S.△PAB△PCA教學(xué)建議幾何教學(xué)是從數(shù)到形的轉(zhuǎn)變，由計(jì)算到推理的轉(zhuǎn)變，學(xué)生的理解和掌握，甚至到使用需要一定的過(guò)程，還要去適合老師的教學(xué)方法等等，所以教學(xué)中應(yīng)該：根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，制定教學(xué)計(jì)劃和措施，選擇符合學(xué)生從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由淺入難，逐步教學(xué)，并多鉆研教材，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，強(qiáng)化訓(xùn)練。教師在講解時(shí)要抓住重點(diǎn)，關(guān)鍵點(diǎn)，本質(zhì)屬性，提出的問(wèn)題要多讓學(xué)生總結(jié)，教師糾正和規(guī)范，真正的做到教與學(xué)同步。增強(qiáng)學(xué)生的幾何語(yǔ)言訓(xùn)練和幾何推理論證，多讓學(xué)生“說(shuō)”和“畫(huà)”，讓他們根據(jù)問(wèn)題能夠領(lǐng)會(huì)和使用。培養(yǎng)學(xué)生的探究水平，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，指導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)的方向和思考的途徑，引導(dǎo)拓寬思路，培養(yǎng)發(fā)散思維水平。結(jié)束語(yǔ)2019年安徽中考數(shù)學(xué)第23題以等腰直角三角形為載體，考查學(xué)生的綜合使用水平，題目本身?xiàng)l件簡(jiǎn)潔簡(jiǎn)單，但作為我們應(yīng)該深挖題目的背景和生長(zhǎng)過(guò)程，注重幾何基本圖形，聯(lián)系常講的模型，探究題目的內(nèi)在關(guān)系。作為中考題都有很好的價(jià)值，更是眾多命題人智慧的凝結(jié)。我們?cè)谒伎冀鉀Q問(wèn)題的同時(shí)，要突破思路，尋求其他方法，才能更好的傳授給優(yōu)秀的不同學(xué)生。對(duì)提升學(xué)生知識(shí)掌握、理解、使用才有