2023年初一數(shù)學競賽教程含例題練習及答案⑾

初一數(shù)學競賽講座第11講染色和賦值染色方法和賦值方法是解答數(shù)學競賽問題的兩種常用的方法。就其本質(zhì)而言,染色方法是一種對題目所研究的對象進行分類的一種形象化的方法。而凡是能用染色方法來解的題,一般地都可以用賦值方法來解，只需將染成某一種顏色的對象換成賦于其某一數(shù)值就行了。賦值方法的合用范圍要更廣泛一些，我們可將題目所研究的對象賦于適當?shù)臄?shù)值，然后運用這些數(shù)值的大小、正負、奇偶以及互相之間運算結(jié)果等來進行推證。一、染色法將問題中的對象適當進行染色，有助于我們觀測、分析對象之間的關(guān)系。像國際象棋的棋盤那樣,我們可以把被研究的對象染上不同的顏色,許多隱藏的關(guān)系會變得明朗，再通過對染色圖形的解決達成對原問題的解決，這種解題方法稱為染色法。常見的染色方式有：點染色、線段染色、小方格染色和對區(qū)域染色。例１用15個“Ｔ”字形紙片和1個“田”字形紙片（如下圖所示)，能否覆蓋一個8×8的棋盤?解:如下圖，將8×8的棋盤染成黑白相間的形狀。假如1５個“T”字形紙片和１個“田”字形紙片可以覆蓋一個8×8的棋盤,那么它們覆蓋住的白格數(shù)和黑格數(shù)都應(yīng)當是３2個，但是每個“T”字形紙片只能覆蓋1個或３個白格，而1和３都是奇數(shù)，因此15個“T”字形紙片覆蓋的白格數(shù)是一個奇數(shù)；又每個“田”字形紙片一定覆蓋２個白格，從而1５個“T”字形紙片與1個“田”字形紙片所覆蓋的白格數(shù)是奇數(shù),這與3２是偶數(shù)矛盾，因此，用它們不能覆蓋整個棋盤。例２如左下圖,把正方體分割成27個相等的小正方體，在中心的那個小正方體中有一只甲蟲,甲蟲能從每個小正方體走到與這個正方體相鄰的6個小正方體中的任何一個中去。假如規(guī)定甲蟲只能走到每個小正方體一次,那么甲蟲能走遍所有的正方體嗎?解：甲蟲不能走遍所有的正方體。我們?nèi)缬疑蠄D將正方體分割成２７個小正方體,涂上黑白相間的兩種顏色，使得中心的小正方體染成白色，再使兩個相鄰的小正方體染上不同的顏色。顯然，在２7個小正方體中,14個是黑的，13個是白的。甲蟲從中間的白色小正方體出發(fā)，每走一步，方格就改變一種顏色。故它走27步,應(yīng)當通過14個白色的小正方體、１3個黑色的小正方體。因此在27步中至少有一個小正方體，甲蟲進去過兩次。由此可見，假如規(guī)定甲蟲到每一個小正方體只去一次,那么甲蟲不能走遍所有的小正方體。例38×8的國際象棋棋盤能不能被剪成７個2×２的正方形和9個4×1的長方形?假如可以,請給出一種剪法；假如不行,請說明理由。解:如下圖,對8×8的棋盤染色，則每一個4×1的長方形能蓋住2白2黑小方格,每一個2×2的正方形能蓋住1白3黑或3白１黑小方格。推知7個正方形蓋住的黑格總數(shù)是一個奇數(shù),但圖中的黑格數(shù)為32，是一個偶數(shù),故這種剪法是不存在的。例４在平面上有一個２７×27的方格棋盤，在棋盤的正中間擺好81枚棋子，它們被擺成一個9×９的正方形。按下面的規(guī)則進行游戲:每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過相鄰的棋子，放進緊挨著這枚棋子的空格中,并把越過的這枚棋子取出來。問:是否存在一種走法，使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子？解：如下圖，將整個棋盤的每一格都分別染上紅、白、黑三種顏色，這種染色方式將棋盤按顏色提成了三個部分。按照游戲規(guī)則，每走一步，有兩部分中的棋子數(shù)各減少了一個,而第三部分的棋子數(shù)增長了一個。這表白每走一步,每個部分的棋子數(shù)的奇偶性都要改變。由于一開始時,81個棋子擺成一個9×9的正方形，顯然三個部分的棋子數(shù)是相同的,故每走一步,三部分中的棋子數(shù)的奇偶性是一致的。假如在走了若干步以后,棋盤上恰好剩下一枚棋子，則兩部分上的棋子數(shù)為偶數(shù)，而另一部分的棋子數(shù)為奇數(shù)，這種結(jié)局是不也許的，即不存在一種走法，使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子。例5圖1是由數(shù)字０,1交替構(gòu)成的，圖２是由圖1中任選減１，如此反復多次形成的。問:圖２中的A格上的數(shù)字是多少?解：如左下圖所示,將８×8方格黑白交替地染色。此題允許右上圖所示的6個操作,這6個操作無論實行在哪個位置上,白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和總是常數(shù)。所以圖1中白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和,與圖2中白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和相等，都等于32，由（31＋Ａ)-32=32，得出A=３3。例６有一批商品,每件都是長方體形狀，尺寸是１×2×4。現(xiàn)在有一批現(xiàn)成的木箱,內(nèi)空尺寸是6×６×6。問：能不能用這些商品將木箱填滿?解：我們用染色法來解決這個問題。先將6×6×６的木箱提成2１６個小正方體,這216個小正方體，可以組成27個棱長為2的正方體。我們將這些棱長為2的正方體按黑白相間涂上顏色（如下圖)。容易計算出，有14個黑色的，有１3個白色的?，F(xiàn)在將商品放入木箱內(nèi)，不管怎么放，每件商品要占據(jù)8個棱長為１的小正方體的空間,并且其中黑、白色的必須各占據(jù)4個。現(xiàn)在白色的小正方體共有８×１3=1０4（個),再配上104個黑色的小正方體,一共可以放２6件商品,這時木箱余下的是８個黑色小正方體所占據(jù)的空間。這8個黑色的小正方體的體積雖然與一件商品的體積相等，但是容不下這件商品。因此不能用這些商品剛好填滿。例７6個人參與一個集會，每兩個人或者互相結(jié)識或者互相不結(jié)識。證明:存在兩個“三人組”，在每一個“三人組”中的三個人,或者互相結(jié)識，或者互相不結(jié)識(這兩個“三人組”可以有公共成員）。證明:將每個人用一個點表達，假如兩人結(jié)識就在相應(yīng)的兩個點之間連一條紅色線段，否則就連一條藍色線段。本題即是要證明在所得的圖中存在兩個同色的三角形。設(shè)這六個點為Ａ,B,C，D，E，Ｆ。我們先證明存在一個同色的三角形:考慮由Ａ點引出的五條線段ＡB，AC，AD,AE，AＦ,其中必然有三條被染成了相同的顏色，不妨設(shè)AB，AC，AD同為紅色。再考慮△ＢＣD的三邊:若其中有一條是紅色,則存在一個紅色三角形;若這三條都不是紅色，則存在一個藍色三角形。下面再來證明有兩個同色三角形：不妨設(shè)△AＢＣ的三條邊都是紅色的。若△ＤEＦ也是三邊同為紅色的,則顯然就有兩個同色三角形；若△ＤEF三邊中有一條邊為藍色,設(shè)其為DE,再考慮DＡ,DB，DC三條線段:若其中有兩條為紅色，則顯然有一個紅色三角形；若其中有兩條是藍色的，則設(shè)其為DA,DB。此時在EA，EB中若有一邊為藍色,則存在一個藍色三角形；而若兩邊都是紅色,則又存在一個紅色三角形。故不管如何涂色，總可以找到兩個同色的三角形。二、賦值法將問題中的某些對象用適當?shù)臄?shù)表達之后，再進行運算、推理、解題的方法叫做賦值法。許多組合問題和非傳統(tǒng)的數(shù)論問題常用此法求解。常見的賦值方式有：對點賦值、對線段賦值、對區(qū)域賦值及對其他對象賦值。例8一群旅游者,從Ａ村走到Ｂ村,路線如下圖所示。如何走才干在最短時間內(nèi)到達B村?圖中的數(shù)字表達走這一段路程需要的時間（單位：分)。解：我們先把從A村到各村的最短時間標注在各村的旁邊，從左到右，一一標注,如下圖所示。由此不難看出，按圖中的粗黑線走就能在最短時間（６0分鐘)內(nèi)從A村走到B村。例9把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。問：有無也許使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)?請說明理由。解：假設(shè)題中所設(shè)想的染色方案可以實現(xiàn),那么每條直線上代表各點的數(shù)字之和便應(yīng)都是奇數(shù)。一共有五條直線，把這五條直線上代表各點的數(shù)字之和的這五個奇數(shù)再加起來，得到的總和數(shù)仍應(yīng)是一個奇數(shù)。但是,由觀測可見，圖中每個點都恰好同時位于兩條直線上，在求上述總和數(shù)時，代表各點的數(shù)字都恰被加過兩次,所以這個總和應(yīng)是一個偶數(shù)。這就導致矛盾,說明假設(shè)不成立，染色方案不能實現(xiàn)。例10平面上ｎ(n≥2)個點A１,A２,…,An順次排在同一條直線上，每點涂上黑白兩色中的某一種顏色。已知Ａ1和An涂上的顏色不同。證明:相鄰兩點間連接的線段中，其兩端點不同色的線段的條數(shù)必為奇數(shù)。證明:賦予黑點以整數(shù)值１,白點以整數(shù)值２,點Aｉ以整數(shù)值為aｉ,當Aｉ為黑點時,ai=1,當Ai為白點時,ai=２。再賦予線段ＡiＡｉ+１以整數(shù)值ai+ａi＋1,則兩端同色的線段具有的整數(shù)值為2或4，兩端異色的線段具有的整數(shù)值為3。所有線段相應(yīng)的整數(shù)值的總和為（a1+a2)+(a2＋a3)＋（a3＋a４)+…＋(aｎ-1＋an）＝a１+an+2(a2+a３+…+an-1)＝2+１＋2(ａ2+a３＋…＋an－１)＝奇數(shù)。設(shè)具有整數(shù)值2,3,４的線段的條數(shù)依次為l,m,n，則２ｌ＋ｍ+4n＝奇數(shù)。由上式推知,m必為奇數(shù),證明完畢。例11下面的表1是一個電子顯示盤,每一次操作可以使某一行四個字母同時改變,或者使某一列四個字母同時改變。改變的規(guī)則是按照英文字母的順序，每個英文字母變成它的下一個字母（即A變成B，B變成Ｃ……Z變成A）。問：能否通過若干次操作,使表1變?yōu)楸?？假如能,請寫出變化過程，假如不能,請說明理由。ＳOBRＫBDSTZFPHEXGHOCNＲＴBＳADVXCFYA表１表2解:不能。將表中的英文字母分別用它們在字母表中的序號代替（即Ａ用1，Ｂ用２……Z用26代替)。這樣表１和表2就分別變成了表3和表４。每一次操作中字母的置換相稱于下面的置換：１→2，２→3，…，２5→26，2６→1。１９１52182０26６１681531４１4２２24表３11２４19852471820219３6251表4容易看出,每次操作使四個數(shù)字改變了奇偶性,而１6個數(shù)字的和的奇偶性沒有改變。由于表3中１6個數(shù)字的和為21３，表4中16個數(shù)字的和為１7４,它們的奇偶性不同，所以表3不能變成表4，即表１不能變成表2。例1２如圖（1)～(６）所示的六種圖形拼成右下圖,假如圖(1）必須放在右下圖的中間一列，應(yīng)如何拼?解：把右上圖黑、白相間染色(見上圖)。其中有１1個白格和10個黑格，當圖形拼成后,圖形（２）(４)(５)(６）一定是黑、白各2格，而圖形（3)必須有３格是同一種顏色，另一種顏色1格。由于前四種圖形，黑、白已各占2×４=8（格），而黑格總共只有1０格，所以圖形（３)只能是３白1黑。由此知道圖(1）一定在中間一列的黑格，而上面的黑格不也許,所以圖(1)在中間一列下面的黑格中。那么其它圖形如何拼呢？為了說明方便，給每一格編一個數(shù)碼(見左下圖）。由于圖(3)是3白1黑，所認為使角上不空出一格，它只能放在(1，3,4,5）或（7，12,1３，1７）或（１１,15,16，21)這三個位置上。若放在（１,3，4，5)位置上,則圖（6)只能放在（7,12，１3，1８)或(15,16，19，20）或（2,7,8，13)這三個位置，但是前兩個位置是明顯不行的,否則角上會空出一格。若放在（2，7,8，1３）上,則圖（2）只能放在(1２,１7,18，19）位置上，此時不能同時放下圖(４）和圖(5）。若把圖(3）放在(7,1２,13,17）位置上,則方格１這一格只能由圖(2)或圖(６）來占據(jù)。假如圖（2)放在（1，2,3,４）,那么圖(6)無論放在何處都要出現(xiàn)孤立空格；假如把圖(6）放在（1,4,５,10),那么２,3這兩格放哪一圖形都不合適。因此，圖形(３）只能放在（１1，１5,16，21）。其余圖的拼法如右上圖。練習1１1.中國象棋盤的任意位置有一只馬，它跳了若干步正好回到本來的位置。問：馬所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？2．右圖是某展覽大廳的平面圖,每相鄰兩展覽室之間都有門相通。今有人想從進口進去,從出口出來，每間展覽廳都要走到，既不能反復也不能漏掉，應(yīng)如何走法？3.能否用下圖中各種形狀的紙片(不能剪開）拼成一個邊長為9９的正方形（圖中每個小方格的邊長為１）？請說明理由。4．用15個１×4的長方形和１個2×2的正方形，能否覆蓋８×8的棋盤?5.平面上不共線的五點,每兩點連一條線段,并將每條線段染成紅色或藍色。假如在這個圖形中沒有出現(xiàn)三邊同色的三角形,那么這個圖形一定可以找到一紅一藍兩個“圈”(即封閉回路)，每個圈恰好由五條線段組成。６.將正方形ABCD分割成ｎ2個相等的小正方格,把相對的頂點A,C染成紅色，B，D染成藍色,其他交點任意染成紅、藍兩種顏色之一。試說明：恰有三個頂點同色的小方格的數(shù)目是偶數(shù)。7.已知△AＢＣ內(nèi)有ｎ個點,連同A，B,Ｃ三點一共(n＋3)個點。以這些點為頂點將△ABＣ提成若干個互不重疊的小三角形。將Ａ,B,C三點分別染成紅色、藍色和黃色。而三角形內(nèi)的n個點,每個點任意染成紅色、藍色和黃色三色之一。問：三個頂點顏色都不同的三角形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？8.從10個英文字母A，B，C,D，Ｅ,F，Ｇ,X,Y,Z中任意選5個字母(字母允許反復）組成一個“詞”，將所有也許的“詞”按“字典順序”(即英漢辭典中英語詞匯排列的順序)排列，得到一個“詞表”:AAAAA,ＡAAAB,…,AAＡＡZ，ＡAABA，ＡAABＢ，…,ZＺＺZY，ＺZZＺＺ。設(shè)位于“詞”ＣＹＺGB與“詞”XEFDＡ之間(這兩個詞除外）的“詞”的個數(shù)是k，試寫出“詞表”中的第ｋ個“詞”。練習1１答案：１.偶數(shù)。解：把棋盤上各點按黑白色間隔進行染色（圖略）。馬如從黑點出發(fā)，一步只能跳到白點,下一步再從白點跳到黑點,因此，從原始位置起相繼通過:白、黑、白、黑……要想回到黑點,必須黑、白成對，即通過偶數(shù)步,回到本來的位置。２.不能。解:用白、黑相間的方法對方格進行染色(如圖)。若滿足題設(shè)規(guī)定的走法存在，必然從白色的展室走到黑色的展室,再從黑色的展室走到白色的展室，如此循環(huán)往復?，F(xiàn)共有36間展室，從白色展室開始,最后應(yīng)當是黑色展室。但右圖中出口處的展室是白色的，矛盾。由此可以鑒定符合規(guī)定的走法不存在。3.不能。解:我們將99×99的正方形中每個單位正方形方格染上黑色或白色，使每兩個相鄰的方格顏色不同，由于99×99為奇數(shù),兩種顏色的方格數(shù)相差為1。而每一種紙片中,兩種顏色的方格數(shù)相差數(shù)為0或3,假如它們能拼成一個大正方形，那么其中兩種顏色之差必為3的倍數(shù)。矛盾?。?不能。解:如圖，給８×８的方格棋盤涂上4種不同的顏色(用數(shù)字1,2，3，4表達)。顯然標有1,2,3,４的小方格各有16個。每個1×4的長方形恰好蓋住標有1,２,３,4的小方格各一個，但一個２×2的正方形只能蓋住有三種數(shù)字的方格,故無法將每個方格蓋住，即不也許有題目規(guī)定的覆蓋。5.證:設(shè)五點為Ａ，B,C，D，Ｅ?？紤]從Ａ點引出的四條線段:假如其中有三條是同色的，如AＢ，AC，ＡＤ同為紅色，那么△ＢCＤ的三邊中，若有一條是紅色，則有一個三邊同為紅色的三角形;若三邊都不是紅色，則存在一個三邊同為藍色的三角形。這與已知條件是矛盾的。所以，從A點出發(fā)的四條線段,有兩條是紅色的，也有兩條是藍色的。當然,從其余四點引出的四條線段也恰有兩條紅色、兩條藍色，整個圖中恰有五條紅色線段和五條藍色線段。下面只看紅色線段，設(shè)從A點出發(fā)的兩條是AB,AE。再考慮從B點出發(fā)的另一條紅色線段,它不應(yīng)是BE,否則就有一個三邊同為紅色的三角形。不妨設(shè)其為BD。再考慮從D點出發(fā)的另一條紅色線段,它不應(yīng)是ＤE，否則從C引出的兩條紅色線段就要與另一條紅色線段圍成一個紅色三角形，故它是DＣ。最后一條紅色線段顯然是CＥ