2023屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺提分作業(yè)第三篇多維特色練大題標(biāo)準(zhǔn)練壓軸解答題（二）理

壓軸解答題(二)時(shí)間:30分鐘分值:50分1.點(diǎn)M在橢圓G:+=1(a>b>0)上,且點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓G的方程;(2)假設(shè)斜率為1的直線l與橢圓G交于A,B兩點(diǎn),以AB為底作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(-3,2),求△PAB的面積.2.函數(shù)f(x)=xlnx+ax,a∈R,函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直.(1)求a的值和函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求證:ex>f’(x).3.F1,F2為橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓E上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求橢圓E的方程;(2)過F1的直線l1,l2分別交橢圓E于A,C和B,D,且l1⊥l2,問是否存在常數(shù)λ,使得,λ,成等差數(shù)列?假設(shè)存在,求出λ的值,假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由.4.函數(shù)f(x)=+alnx.(1)當(dāng)a>0時(shí),假設(shè)曲線f(x)在點(diǎn)(2a,f(2a))處的切線過原點(diǎn),求a的值;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在其定義域上不是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;(3)求證:當(dāng)a=1時(shí),ln(n+1)>++…+(n∈N*).答案精解精析1.解析(1)∵2a=4,∴a=2.又點(diǎn)M在橢圓上,∴+=1,解得b2=4,∴橢圓G的方程為+=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=0.①設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中點(diǎn)為E(x0,y0),那么x0==-,y0=x0+m=.∵AB是等腰△PAB的底邊,∴PE⊥AB.∴PE的斜率k==-1,解得m=2.此時(shí)方程①為4x2+12x=0,解得x1=-3,x2=0,∴y1=-1,y2=2,∴|AB|=3.此時(shí),點(diǎn)P(-3,2)到直線AB:x-y+2=0的距離d==,∴△PAB的面積S=|AB|·d=.2.解析(1)由題意知,f'(x)=lnx+1+a,且f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率k=2,∴f'(1)=ln1+1+a=2,∴a=1.∴f'(x)=lnx+2,當(dāng)x>e-2時(shí),f'(x)>0,當(dāng)0<x<e-2時(shí),f'(x)<0,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e-2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e-2).(2)設(shè)g(x)=ex-f'(x)=ex-lnx-2,x>0,∵g'(x)=ex-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g'(1)=e-1>0,g'=-2<0,∴g'(x)在上存在唯一的零點(diǎn)t,使得g'(t)=et-=0,即et=.當(dāng)0<x<t時(shí),g'(x)<g'(t)=0,當(dāng)x>t時(shí),g'(x)>g'(t)=0,∴g(x)在(0,t)上單調(diào)遞減,在(t,+∞)上單調(diào)遞增,∴x>0時(shí),g(x)≥g(t)=et-lnt-2=-ln-2=t+-2≥2-2=0,又<t<1,∴上式等號(hào)取不到,∴g(x)>0,即ex>f'(x).3.解析(1)∵|PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,a=2,∴橢圓E:+=1.將P代入可得b2=3,∴橢圓E的方程為+=1.(2)①當(dāng)AC的斜率為零或斜率不存在時(shí),+=+=;②當(dāng)AC的斜率k存在且k≠0時(shí),AC的方程為y=k(x+1),代入橢圓方程+=1,并化簡(jiǎn)得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),那么x1+x2=-,x1·x2=.|AC|=|x1-x2|==.∵直線BD的斜率為-,∴|BD|==.∴+=+=.綜上,2λ=+=,∴λ=.故存在常數(shù)λ=,使得,λ,成等差數(shù)列.4.解析(1)解法一:因?yàn)閒'(x)=-+(x>0),所以f'(2a)=.又f(2a)=+aln2a=a,故切線方程為y-a=(x-2a).又切線過原點(diǎn),所以-a=×(-2a),即ln2a=0,解得a=.解法二:因?yàn)閒'(x)=-+(x>0),所以f'(2a)=.又切線過原點(diǎn),所以切線方程為y=x.當(dāng)x=2a時(shí),y=.把點(diǎn)代入函數(shù)f(x)=+alnx,得=+aln2a,解得a=.(2)因?yàn)閒'(x)=-+=(x>0),當(dāng)a=0時(shí),f'(x)=0,此時(shí)f(x)=0,顯然f(x)在(0,+∞)上不是單調(diào)函數(shù);當(dāng)a<0時(shí),因?yàn)閤>0,所以x-a>0,故f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)>0得x-a>0,即x>a.故f(x)在(0,a)上是單調(diào)遞減函數(shù),在(a,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),即f(x)在(0,+∞)上不是單調(diào)函數(shù),綜上可知a的取值范圍是[0,+∞).(3)證明:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=+lnx,由(2)知f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),所以當(dāng)x>1時(shí),f(x)=+lnx