優(yōu)選課件：人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)221 直線的傾斜角與斜率

人教2019B版選擇性必修第一冊(cè)2.2.1直線的傾斜角與斜率第二章平面解析幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線的傾斜角和斜率的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解用代數(shù)的方法探索直線斜率的過程.(邏輯推理)3.掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式并能解決相關(guān)的實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.初步理解直線的方向向量和法向量的概念,并能找出其與直線斜率和傾斜角的內(nèi)在聯(lián)系.(直觀想象,邏輯推理)

嘗試與發(fā)現(xiàn)1.直線的傾斜角一般地,給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線,如果這條直線與x軸相交,將x軸繞著它們的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為θ,則稱θ為這條直線的傾斜角;如果這條直線與x軸平行或重合,則規(guī)定這條直線的傾斜角為0°.這樣直線傾斜角的取值范圍為[0°,180°)(即[0,π)).概念解析1.平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都有唯一的傾斜角.(

)小試牛刀2.直線x=0的傾斜角為

.

答案:90°答案:√

嘗試與發(fā)現(xiàn)2.直線的斜率(1)一般地,如果直線l的傾斜角為θ,則當(dāng)θ≠90°時(shí),稱k=tanθ為直線l的斜率;當(dāng)θ=90°時(shí),稱直線l的斜率不存在.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直線l上兩個(gè)不同的點(diǎn),則當(dāng)x1≠x2時(shí),直線l的當(dāng)x1=x2時(shí),直線l的斜率不存在.概念解析斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系

3.判斷(1)任何一條直線都有傾斜角,都存在斜率.(

)(2)任何一條直線有且只有一個(gè)斜率和它對(duì)應(yīng).(

)(3)一個(gè)傾斜角α不能確定一條直線.(

)(4)兩條直線的傾斜角相等,它們的斜率也相等.(

)小試牛刀解析:選項(xiàng)D中,因?yàn)閤1=x2=-2,所以直線垂直于x軸,傾斜角為90°,即斜率不存在.答案:D4.下面選項(xiàng)中,兩點(diǎn)確定的直線的斜率不存在的是(

)A.(4,2)與(-4,1)

B.(0,3)與(3,0)C.(3,-1)與(2,-1) D.(-2,2)與(-2,5)答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×提示:不對(duì),它們之間的變化規(guī)律如下:①當(dāng)0°≤α<90°時(shí),隨α的增大,斜率k在[0,+∞)范圍內(nèi)增大;②當(dāng)α=90°時(shí),斜率不存在;③當(dāng)90°<α<180°時(shí),隨α的增大,斜率k在(-∞,0)范圍內(nèi)增大.5.直線的斜率越大,傾斜角越大,對(duì)嗎?3.直線的方向向量和直線的法向量

定義符號(hào)表示方向向量如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合,則稱向量a為直線l的一個(gè)方向向量a∥l法向量如果表示非零向量v的有向線段所在直線與直線l垂直,則稱向量v為直線l的一個(gè)法向量v⊥l概念解析6.已知直線l:y=3x+1,你能給出這條直線的方向向量a和法向量v嗎?該直線的斜率是多少?小試牛刀提示:(1)先在直線上取兩點(diǎn)A(1,4),B(2,7),則可令a==(1,3),那么v=(3,-1).因此,(1,3)是直線l的一個(gè)方向向量,(3,-1)是直線l的一個(gè)法向量.例1(1)直線x=-1的傾斜角為(

)A.135° B.90° C.45° D.0°(2)下列說法正確的是(

)A.一條直線和x軸的正方向所成的角,叫做這條直線的傾斜角B.直線的傾斜角α在第一或第二象限C.和x軸平行的直線,它的傾斜角為0°D.不是每一條直線都有傾斜角(3)已知直線l經(jīng)過第二、四象限,則直線l的傾斜角α的取值范圍是(

)A.[0°,90°) B.[90°,180°)C.(90°,180°) D.(0°,180°)典例解析解析:(1)因?yàn)橹本€與x軸垂直,所以傾斜角為90°.(2)由傾斜角的定義可知,A錯(cuò)誤;傾斜角的范圍是[0°,180°),故B錯(cuò)誤;和x軸平行的直線的傾斜角是0°,故C正確;每條直線都有傾斜角,故D錯(cuò)誤.(3)直線傾斜角的取值范圍是[0°,180°),又直線l經(jīng)過第二、四象限,所以直線l的傾斜角α的取值范圍是(90°,180°).答案:(1)B

(2)C

(3)C求直線的傾斜角的方法及注意點(diǎn)(1)方法:結(jié)合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)兩點(diǎn)注意:①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),傾斜角為0°;當(dāng)直線與x軸垂直時(shí),傾斜角為90°;②注意直線傾斜角的取值范圍.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l的傾斜角為θ-25°,則角θ的取值范圍為(

)A.[25°,155°)

B.[-25°,155°)C.[0°,180°)

D.[25°,205°)(2)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°,則直線l的傾斜角為

.

跟蹤訓(xùn)練解析:(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為θ-25°,所以θ-25°∈[0°,180°),所以θ∈[25°,205°).(2)有兩種情況:如圖①,直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°,即直線l的傾斜角為60°;如圖②,直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°,即直線l的傾斜角為120°.答案:(1)D

(2)60°或120°例2已知直線l過點(diǎn)M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)當(dāng)m為何值時(shí),直線l的斜率是1?(2)當(dāng)m為何值時(shí),直線l的傾斜角為90°?典例解析分析(1)根據(jù)斜率公式列出關(guān)于m的方程即可;(2)當(dāng)直線傾斜角為90°時(shí),利用直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等這一特征列等式即可.(2)因?yàn)橹本€l的傾斜角為90°,所以直線l的斜率不存在,所以m+1=2m,所以m=1.變式：

(1)本例條件不變,試求直線l的傾斜角為銳角時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)若將本例中的“N(2m,1)”改為“N(3m,2m)”,其他條件不變,結(jié)果如何?

通過本例的求解,一定要熟練地掌握直線的斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系,若直線斜率存在,則除了斜率公式之外還可以應(yīng)用k=tan

α(其中α為直線的傾斜角,k為直線的斜率),斜率為零和斜率不存在時(shí)對(duì)應(yīng)的情況要引起重視.歸納總結(jié)得θ=45°.綜上可知,該直線的一個(gè)方向向量為(4,4),法向量為(4,-4),斜率為1,傾斜角為45°.例3已知直線過點(diǎn)A(-1,-2),B(3,2),試求:直線的一個(gè)方向向量a,法向量v,斜率k與傾斜角θ.典例解析1.求解一條直線的方向向量、法向量、斜率、傾斜角問題,首先明確其定義.2.利用相應(yīng)的計(jì)算公式以及理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,尤其是可以根據(jù)方向向量進(jìn)而得出法向量,也可以根據(jù)方向向量求斜率.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練2請(qǐng)寫出法向量為(1,2)的一個(gè)一次函數(shù)(答案不唯一).跟蹤訓(xùn)練典例解析跟蹤訓(xùn)練3求證A(1,5),B(0,2),C(2,8)三點(diǎn)共線.跟蹤訓(xùn)練金題典例

設(shè)直線l過點(diǎn)A(7,12),B(m,13),求直線l的斜率k,并說明傾斜角α的取值范圍.錯(cuò)因分析上述產(chǎn)生錯(cuò)誤的根源是沒有討論m=7這種斜率不存在的情形.正解:當(dāng)m=7時(shí),直線l與x軸垂直,斜率不存在,傾斜角α=90°;金題典例點(diǎn)睛：要明確直線的斜率公式是在x1≠x2的條件下才成立的,當(dāng)x1=x2時(shí)斜率是不存在的.因此在遇到點(diǎn)的坐標(biāo)有參數(shù)存在時(shí),要注意參數(shù)的取值范圍,若不能排除斜率不存在的情形,則需要進(jìn)行分類討論.變式若直線l的斜率k≤1,求傾斜角α的取值范圍.解:當(dāng)k≥0時(shí),∵tan

45°=1,∴當(dāng)0≤k≤1時(shí),0°≤α≤45°;當(dāng)k<0時(shí),90°<α<180°.∴當(dāng)k≤1時(shí),傾斜角α的取值范圍是[0°,45°]∪(90°,180°).當(dāng)堂達(dá)標(biāo)答案:A1.過點(diǎn)P(-2,m)和點(diǎn)Q(m,4)的直線的斜率為1,則m的值為(

)A.1 B.4 C.1或3 D.1或42.(多選)若兩直線l1,l2的傾斜角分別為α1,α2,則下列四個(gè)命題是假命題的有(

)A.若α1<α2,則兩直線的斜率k1<k2B.若α1=α2,則兩直線的斜率k1=k2C.若兩直線的斜率k1<k2,則α1<α2D.若兩直線的斜率k1=k2