基于新知識背景的2022高考數(shù)學(xué)試題研析

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課標(biāo)課程背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)日益提防思維才能的培養(yǎng)和思想方法的滲透.為了測驗學(xué)生數(shù)學(xué)才能以及學(xué)習(xí)潛能，高考數(shù)學(xué)試題越來越提防以“新學(xué)識”為背景來命制試題.2022年的高考試題中不乏基于“新學(xué)識”為背景的試題.這類試題通過創(chuàng)設(shè)別致的學(xué)識情境測驗學(xué)識遷移才能，通常沒有固定形式化的解法，強(qiáng)調(diào)多思少算，以學(xué)識為載體側(cè)重測驗思維才能和思想方法，突出試題“立意鮮明，背景別致，設(shè)問生動，層次明顯”的特色．

本文將對新學(xué)識背景下的2022高考數(shù)學(xué)試題舉行一些初步的研析．

1基于圖論學(xué)識的高考試題研析

例1（2022高考福建卷·文16）某地圖規(guī)劃道路創(chuàng)辦，考慮道路鋪設(shè)方案，方案設(shè)計圖中，點表示城市，兩點之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費用，要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費用最小.例如：在三個城市道路設(shè)計中，若城市間可鋪設(shè)道路的路線圖如圖1，那么最優(yōu)設(shè)計方案如圖2，此時鋪設(shè)道路的最小總費用為10．

現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖3，那么鋪設(shè)道路的最小總費用為．

評析試題命制背景源于數(shù)學(xué)的一個分支——圖論.圖論以圖為研究對象.其中的圖是由若干給定的點及連結(jié)兩點的線所構(gòu)成的圖形，這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關(guān)系，用點代表事物，用連接兩點的線表示相應(yīng)兩個事物間具有這種關(guān)系．

此題以實際問題為背景測驗學(xué)生應(yīng)用意識，以圖論學(xué)識為載體測驗學(xué)生分析問題和解決問題的才能.該題內(nèi)涵深刻，思想豐富.它既測驗了學(xué)生自然語言與數(shù)學(xué)語言的互譯才能，又測驗了學(xué)生合情揣摩與推理才能．

2基于分析學(xué)學(xué)識的高考試題研析

例2（2022高考福建卷·理7）設(shè)函數(shù)D（x）=1，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)，那么以下結(jié)論錯誤的是（）

A.D（x）的值域為｛0，1｝

B.D（x）是偶函數(shù)

C.D（x）不是周期函數(shù)

D.D（x）不是單調(diào)函數(shù)

評析此題以分析學(xué)學(xué)識——狄利克雷函數(shù)為背景來命制.試題以“新函數(shù)”為媒介，以函數(shù)相關(guān)學(xué)識為依托，在測驗學(xué)識的同時側(cè)重測驗才能.它要求學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性和周期性等根本性質(zhì)有較深刻的熟悉，在理解的根基上分析“目生”函數(shù)并解決問題.此題側(cè)重測驗對學(xué)識的理解、應(yīng)用以及分析解決問題的才能，從而檢測學(xué)生個體思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能．

例3（2022高考福建卷·理10）函數(shù)f（x）在［a，b］上有定義，若對任意x1，x2∈［a，b］，有f（x1+x22）≤12［f（x1）+f（x2）］，那么稱f（x）在［a，b］上具有性質(zhì)P．設(shè)f（x）在［1，3］上具有性質(zhì)P．現(xiàn)給出如下命題：

①f（x）在［1，3］上的圖像是連續(xù)不斷的；

②f（x2）在［1，3］上具有性質(zhì)P；

③若f（x）在x=2處取得最大值1，那么f（x）=1，x∈［1，3］；

④對任對意x1，x2，x3，x4∈［1，3］，有f（x1+x2+x3+x44）≤14［f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）］．

其中真命題的序號是

A.①②B.①③C.②④D.③④

評析試題背景源于分析學(xué)學(xué)識中凸函數(shù)的定義.設(shè)f為定義在區(qū)間I的函數(shù)，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數(shù)λ∈（0，1）總有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），那么稱f為I上的凸函數(shù).題中性質(zhì)P就是當(dāng)λ=12時的凸函數(shù)性質(zhì)．

此題主要以函數(shù)相關(guān)學(xué)識為載體來測驗學(xué)生的各種數(shù)學(xué)才能，充分表達(dá)了高考命題“以才能立意”的指導(dǎo)思想.它通過較長的題干測驗閱讀理解才能，憑借“新性質(zhì)P”創(chuàng)設(shè)別致情境測驗學(xué)識遷移及應(yīng)用才能，借助函數(shù)學(xué)識以及“新性質(zhì)P”測驗學(xué)生的分析和推理才能．

例4（2022高考湖北卷·理22）

（1）已知函數(shù)f（x）=rx-xr+（1+r）（x>0），其中r為有理數(shù)，且00（i=1，2，…，n），∑ni=1λi=1，有f（∑ni=1λixi）≤∑ni=1λif（xi）（f（∑ni=1λixi）≥∑ni=1λif（xi））．

此題主要測驗多項式函數(shù)的求導(dǎo)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，證明不等式等學(xué)識.它從學(xué)科整體意義和思想價值立意，側(cè)重測驗對學(xué)識的理解和綜合生動應(yīng)用，在學(xué)識理解應(yīng)用過程中測驗學(xué)生運算求解才能、推理論證才能以及分類議論的思想方法.對數(shù)學(xué)才能和思想方法的測驗務(wù)必以數(shù)學(xué)學(xué)識為載體.因此，試題暗藏在測驗學(xué)識的表象下，其實是著重測驗蘊涵在數(shù)學(xué)學(xué)識應(yīng)用過程中的思維才能和思想方法．

3基于數(shù)論學(xué)識的高考試題研析

例5（2022高考湖北·文17）傳聞古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如下圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列｛an｝，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的依次組成一個新數(shù)列｛bn｝．可以揣測：

（Ⅰ）b2022是數(shù)列｛an｝中的第______項；

（Ⅱ）b2k-1=______．（用k表示）

評析試題設(shè)計背景源于出名的三角形數(shù).此題主要測驗數(shù)列學(xué)識，要求學(xué)生能在概括的問題情境中識別數(shù)列的遞推關(guān)系并能用相關(guān)學(xué)識解決相應(yīng)問題.此題分外符合“立意鮮明，背景別致，設(shè)問生動，層次明顯”的特色.它將學(xué)識置于新情境中，側(cè)重測驗抽象概括才能、歸納推理才能以及特殊與一般的思想方法.這樣將學(xué)識、才能以及思想方法融入一題舉行測驗便于有效地檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

例6（2022高考湖北卷·理13）回文數(shù)是指從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等.鮮明2位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99．3位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999．那么

（Ⅰ）4位回文數(shù)有＿＿＿＿個；

（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文數(shù)有_______個．

評析試題以好玩的回文數(shù)為背景來舉行命制.此題通過直接給出回文數(shù)概念來測驗排列組合學(xué)識以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和理解才能，側(cè)重測驗學(xué)生利用排列組合學(xué)識分析解決問題的才能.它通過創(chuàng)設(shè)別致好玩的背景，進(jìn)而在新的學(xué)識背景中測驗排列組合學(xué)識的掌管以及應(yīng)用，使得對相關(guān)學(xué)識的測驗變得更加深入．

4基于新定義學(xué)識的高考試題研析

例7（2022高考福建卷·理15）對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b=a2-ab，a≤b

b2-ab，a>b，設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R），恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，那么x1x2x3的取值范圍是_______．

評析試題背景源于抽象的代數(shù)運算.此題主要測驗函數(shù)綜合學(xué)識及應(yīng)用，以學(xué)識為載體測驗思維才能以及蘊含于其中的思想方法.它通過定義新運算“*”，測驗數(shù)學(xué)符號的理解運用才能和學(xué)識遷移才能；通過在分析解決問題中測驗運算求解才能以及分類議論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，從而檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)識中所蘊涵的思想方法的掌管程度．

例8（2022高考江西卷·理21）若函數(shù)h（x）得志：

（1）h（0）=1，h（1）=0；

（2）對任意a∈［0，1］，有h（h（a））=a；

（3）在（0，1）上單調(diào)遞減．

那么稱h（x）為補(bǔ)函數(shù).已知函數(shù)h（x）=（1-xp1+λxp）1p（λ>-1，p>0）．

（1）判斷h（x）是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（2）若存在m∈［0，1］，使得h（m）=m，若m是函數(shù)h（x）的中介元，記p=1n（n∈N+）時h（x）的中介元為xn，且Sn=∑ni=1xi，若對任意的n∈N+，都有Sn<12，求λ的取值范圍；

（3）當(dāng)λ=0，x∈（0，1）時，函數(shù)y=h（x）的圖像總在直線y=1-x的上方，求p的取值范圍．

評析試題通過直接給出補(bǔ)函數(shù)的概念，賦予背景別致性.此題主要測驗利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等相關(guān)學(xué)識解決問題的才能以及函數(shù)與方程、分類與議論和等價與轉(zhuǎn)化的思想方法.它提防數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和學(xué)識綜合性，在函數(shù)與不等式交匯處設(shè)計試題，使對數(shù)學(xué)學(xué)識的測驗達(dá)成必要的深度．

縱觀2022年高考數(shù)學(xué)試題，可謂精彩紛呈.以新學(xué)識為背景的高考試題為高考添加了新的血液，使高考試題更加豐富多樣，更具創(chuàng)新性.別致獨特的試題不僅是甄別學(xué)生數(shù)學(xué)才能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效工具，同時也是測驗學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的有力手段.因此，命制與研析以新學(xué)識為背景命制的試題具有確