中考數(shù)學(xué)試題按知識點(diǎn)分類匯編（二次函數(shù)和拋物線概念描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)和對稱軸）

知識點(diǎn)7：二次函數(shù)和拋物線有關(guān)概念,

描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，拋物線頂點(diǎn)和

對稱軸

一、選擇題

1.(20XX年浙江省衢州市)把拋物線y=x?向右平移2個單位得到的拋物線是()

A、y=x2+2B、y=x2-2C>y=(x+2)2D、y=(x-2)2

答案：D

2.(08浙江溫州)拋物線y=(x-+3的對稱軸是O

A.直線x=lB.直線x=3C.直線x=—1

D.直線x=-3

答案：A

3.Q0XX年沈陽市)二次函數(shù)y=2(”I)?+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(-1,-3)

答案：A

4.(20XX年陜西省)已知二次函數(shù)y=ax2+&r+c(其中點(diǎn)>0,5>0,c<0),關(guān)于這

個二次函數(shù)的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點(diǎn)一定在第四象限：③

圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個在y軸的右側(cè).以上說法正確的個數(shù)為O

A.0B.1C.2D.3

答案：C

5.(20XX年吉林省長春市)拋物線丁=卜+2?+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是【】

A.(-2,3)B.(2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)

答案：A

6.(2008湖北荊門)把拋物線)，=/+fov+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，

所得圖象的解析式為廣——3x+5,則()

(A)Z?=3,c=7.(B)/?=6,c=3.(C)/;=-9,c=-5.(D)Z?=-9,c=21.

答案：A

7.(2008河北)如圖，正方形力58的邊長為10,四個全等的小正方形的對稱中心分別在

正方形工58的頂點(diǎn)上，且它們的各邊與正方形R58各邊平行或垂直.若小正方形的邊

長為x，且0<x410,陰影部分的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象

是()

答案：D

8.(2008江西)函數(shù)y=x2-4x+3化成1y=a(x-/j)2+上的形式是()

A.y=(x-2)2-1B.y=(x+2)2-1

C.y=(x-2)2+7D._y=(x+2)2+7

答案：A

9.(2008佳木斯市)對于拋物線y=—；(X-5)2+3,下列說法正確的是()

A.開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)(5,3)B.開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)(5,3)

C.開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)(一5,3)D.開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)(一5⑶

答案：A

10..(2008貴州貴陽)二次函數(shù)y=(x-1尸+2的最小值是()

A.-2B.2C.-1D.1

答案：B

1L.(2008資陽市)在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線y=2%2不動，而把x軸、)，軸分別向

上、向右平移2個單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是()

A.)，=2(X-2)2+2B.y=2(x+2產(chǎn)一2

C.y=2(x-2了-2D.y=2(x+2)2+2

答案：B

12.(2008泰州市)二次函數(shù)丁=，+4*+3的圖像可以由二次函數(shù)丁=/的圖像

平移而得到，下列平移正確的是

A.先向左平移2個單位,再向上平移1個單位

B.先向左平移2個單位,再向下平移I個單位

C.先向右平移2個單位,再向上平移1個單位

D.先向右平移2個單位,再向下平移I個單位

答案：B

13.(2008山西省)拋物線丁=-2/-43一5經(jīng)過平移得到y(tǒng)=-2，，平移方法是()

A.向左平移1個單位，再向下平移3個單位

B.向左平移1個單位，再向上平移3個單位

C.向右平移1個單位，再向下平移3個單位

D.向右平移1個單位，再向上平移3個單位

答案：D

14..將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)

表

達(dá)式是（）

A.y=（x—l）2+2B.丁=（工+1尸+2

C.y=（x-1）2—2D.y=（x+1）2—2

答案：A

15.（2008湖北武漢）函數(shù)^=石二5的自變量x的取值范圍（）.

A.x>5B.x<5C.x>5D.x<5.

答案：C

16.（2008湖北孝感）把拋物線1y=--向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平

移后拋物線的解析式為（）

A.丁=一"一1）2—3B.y=-（x+l）2—3C.y=-（x—l）2+3D.,y=-（x+l）2+3

答案：D

17.（2008臺灣）如圖坐標(biāo)平面上有一透明片，透明片上有一拋物線及一點(diǎn)P,且

拋物線為二次函數(shù)）=#的圖形，P的坐標(biāo)（2,4）。若將此透明片向右、向上移動

后，得拋物線的頂點(diǎn)座標(biāo)為（7,2）,則此時P的坐標(biāo)為何？（）

答案：B

18.（2008甘肅蘭州）下列表格是二次函數(shù)y=a/+5x+c的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)

值，判斷方程ax2+"+c=0（4。0,a,b,c為常數(shù)）的一個解工的范圍是（）

X96.20

y=ax2+8x+c-0.03-0.010.020.04

A.6<x<6,17B.6,17<x<6,18C.6.18<x<6,19

D.6.19<x<6,20

答案：C

（2008江蘇鎮(zhèn)江）福娃們在一起探討研究下面的題目:

函數(shù)丁=/一升+根（也為常數(shù)）的圖象如左圖,

如果x=a時，丁<°；那么x=a-l時，函數(shù)值（）

A,?。肌鉈,0＜?。ㄙ?/p>

c.y*D.丫=加

參考下面福娃們的討論，請你解該題，你選擇的答案是（）

貝貝:我注意到當(dāng)x=0時,y=m＞0-

晶晶：我發(fā)現(xiàn)圖象的對稱軸為x=」.

2

歡歡：我判斷出X]<a<今?

迎迎：我認(rèn)為關(guān)鍵要判斷a-1的符號.

妮妮：施可以取一個特殊的值.

答案：C

20.（2008湖北仙桃等）如圖，拋物線y=ax2+以+c（a>0）的對稱軸是直線x=l，且

經(jīng)過點(diǎn)尸（3,0）,則a-8+c的值為（）

A.0B.-1C.1D.2

答案：A

21.（2008齊齊哈爾）.對于拋物線y=5>+3,下列說法正確的是（）

A.開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（5,3）B.開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)（5,3）

C.開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（-5,3）D.開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)（一5,3）

答案：A

22.（2008齊齊哈爾）.對于拋物線y=-go—5）2+3,下列說法正確的是（）

A.開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（5,3）B.開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)（5,3）

C.開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（一5,3）D,開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)（一5,3）

答案：A

二、填空題

1.（2008湖北黃岡）若點(diǎn)尸（2,上一1）在第一象限，則后的取值范圍是；直線y=2x+B經(jīng)

過點(diǎn)Q3）,則5=；拋物線y=2。-2）2+3的對稱軸為直線.

答案：K>1；1；x=2

2.（20XX年天津市）已知拋物線『=/-2x-3,若點(diǎn)F（-2,5）與點(diǎn)0關(guān)于該拋物線的對

稱軸對稱，則點(diǎn)2的坐標(biāo)是.

答案：（4,5）

3.C20XX年天津市）已知關(guān)于x的函數(shù)同時滿足下列三個條件：

①函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限；

②當(dāng)x<2時，對應(yīng)的函數(shù)值『<0；

③當(dāng)X<2時，函數(shù)值y隨x的增大而增大.

你認(rèn)為符合要求的函數(shù)的解析式可以是：（寫出一個即可）.

答案：y=x-2（提示：答案不惟一，如『=-尸+51-6等）

4.（20XX年大慶市）拋物線y=-3?+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

答案：（0,1）

5.（20XX年四川省南充市）根據(jù)下面的運(yùn)算程序，若輸入x=l-J5時，輸出的結(jié)果y=.

答案：一1一心

6.（20XX年吉林省長春市）將拋物線丁=數(shù)2+以+。（a。0）向下平移3個單位，再向左

平移4個單位得到拋物線y=-2/-4工+5,則原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是。

答案：（3,10）

7.初三數(shù)學(xué)課本上，用“描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)yuaV+Zw+c的圖象時，列了如下表格:

.?????

X-2-1012

-61-21-21

y???-4-2???

222

根據(jù)表格上的信息回答問題：該二次函數(shù)yuaV+Z?+c在x=3時.，y=.

答案：一4

8.（2008江西南昌）將拋物線y=-3/向上平移一個單位后，得到的拋物線解析式是.

答案：y=-3x2+l

9.（2008山西?。┒魏瘮?shù)y=x2+2x—3的圖象的對稱軸是直線。

答案：X=-1

10.（2008山西太原）拋物線y=2/-4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是。

答案：（1,1）

11.（2008湖北襄樊）如圖7,一名男生男生鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離

19S

x（單位:m）之間的關(guān)系是y=-+￡為+三,則他將3將推出的距離是.

1233

答案：10

12.（2008河南實(shí)驗區(qū)）如圖是二次函數(shù)丁=a（x+1）?+2圖像的一部分，該圖在y軸右側(cè)與

x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是

答案：（1,0）

13.（2008湖北省咸寧）拋物線+8x+加與x軸只有一個公共點(diǎn)，則修的

值為.

答案：8

13.（20XX年白銀）拋物線y=x?+x-4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

答案：（0,-4）

14.（2008甘肅蘭州）在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，下列4個函數(shù)①丁=2（x+l）2-1,②y=2/+3，

③丁=-2--1,④^=（一一1的圖象不可電由函數(shù)1y=2/+1的圖象通過平移變換、軸

對稱變換得到的函數(shù)是（填序號）.

答案：④

=、簡答題

1.（2008淅江寧波）如圖，YRBCZ）中，43=4,點(diǎn)￡?的坐標(biāo)是（0,8）,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋

物線y=ax?+^x+c經(jīng)過x軸上的點(diǎn)AB-

（1）求點(diǎn)AB,C的坐標(biāo).

（2）若拋物線向上平移后恰好經(jīng)過點(diǎn)。，求平移后拋物線的解析式.

解：(1)在Y/5CZ)中，CD"工8且CD=4B=4,

1點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,8).....................................................1分

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)H，

則?=8夕=2,.......................................................2分

1點(diǎn)48的坐標(biāo)為工(2,0),5(6,0).......................................4分

(2)由拋物線丁=。/+占x+c的頂點(diǎn)為C(4,8),

可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-4)2+8,....................................5分

把4(2,0)代入上式，

解得a=-2............................................................6分

設(shè)平移后拋物線的解析式為1y=-2(x-4>+8+上

把(0,8)代入上式得上=32.................................................7分

：,平移后拋物線的解析式為y=_2(x_4)2+40..............................8分

2

即1y=-2x+16x+8.

2.(2008湖南益陽)我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如

果一條直線與“蛋圓”只有一個交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.

如圖12,點(diǎn)A、B、C、。分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-3),

48為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為(1,0),半圓半徑為2.

(1)請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；

(2)你能求出經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；

(3)開動腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過點(diǎn)。的“蛋圓”切線的解析式.

c

AB*

0M

D

圖12

解：(1)解法1：根據(jù)題意可得:A(-1,O),8(3,0)；

則設(shè)拋物線的解析式為y=<x+l)(x-3)(4W0)

又點(diǎn)。(0,-3)在拋物線上，...a(0+l)(0-3)=-3,解之得：a=l

.*.y=x-2x-3............................................................3分

自變量范圍：TWxW3..................................................4分

解法2：設(shè)拋物線的解析式為"以2+M+CQWO)

根據(jù)題意可知，A(-1,0),8(3,0),。(0,-3)三點(diǎn)都在拋物線上

4一H+c=0\a=1

9a+3b+c=0,解之得：［b=-2

c=-3=-3

.".y=xi-2x-3..............................................3分

自變量范圍：TWxW3....................................4分

(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C“蛋圓”的切線CE交x軸于點(diǎn)E,連結(jié)CM,

在RfZiMOC中，VOM=1,CM=2,：.ZCMO=GOQ,0C=43

在心△MCE中，V0C=2,ZCM0=(50°,：.ME=4

.?.點(diǎn)C、E的坐標(biāo)分別為(0,招)，(-3,0).............6分.,.切線CE的解析式為y=^x+后8分

(3)設(shè)過點(diǎn)。(0,-3),“蛋圓”切線的解析式為：產(chǎn)履-3(%W0)...................................................9分

y=kx-3口+

由題意可知方程組,只有一組解

y=X2-2X-3

即比X-3=/-2X-3有兩個相等實(shí)根，二七-2........................................................11分

過點(diǎn)。“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=-2x-3..................................................................12分

3.(2008浙江杭州)在直角坐標(biāo)系X。中，設(shè)點(diǎn)工(0,。，點(diǎn)B).平移二次函數(shù)y=T/

的圖象，得到的拋物線?滿足兩個條件：①頂點(diǎn)為。；②與x軸相交于員C兩點(diǎn)

(|05|<|0C|).連接

(1)是否存在這樣的拋物線尸，使得|Q4f=|O3￡OC|?請你作出判斷，并說明理由;

4

(2)如果幺?！?C,且tanN/80=］，求拋物線F對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.

解：(1)這樣的拋物線F是不存在的。

假定這樣的拋物線F存在，因為頂點(diǎn)為Q,而且F是由1y=-&2平移的得到的，所以F的關(guān)

2223

系式為y=-t(x-t)+b,化簡得1y=-tx+2ix-t+5

根據(jù)二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，函數(shù)y圖像與x軸的交點(diǎn)B.C的橫坐標(biāo)等于方程

-tx'+Zdx-F+Zju。的兩個根，設(shè)這兩個根為Xi,Xz,則Xi?X2=—=------=￡?,

att

IOAI2=t2,|OB|?|OCI=t2--,若二者相等的話，b=0,這樣Q就在x軸上，拋物線

t

F不可能與x軸有兩個交點(diǎn)B,C.和假定產(chǎn)生矛盾，所以這樣的拋物線F是不存在的。

(2)?.?AQ〃BC

AQ點(diǎn)縱坐標(biāo)和A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同。

即Q(t,t)

3

VtanZAB0=—.OA=t

2

AB2

0B=--------------=—t

tanAABO3

F是由丁=-飲2平移得到，頂點(diǎn)為Q(t,t),所以關(guān)系式為1y=-t(x-t)2+f

22

把B點(diǎn)坐標(biāo)(］￡，o)代入關(guān)系式得，-t(gt-t)2+￡=0,解得ti=o(舍去)，

t2=-3(舍去)，t3=3,把t=3代入原關(guān)系式得拋物線F的關(guān)系式為y=-3『+18x—24

4.(20XX年浙江省紹興市)定義［p,g］為一次函數(shù)y+g的特征數(shù).

(1)若特征數(shù)是［2,左-2］的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求化的值；

(2)設(shè)點(diǎn)4B分別為拋物線y=(x+㈤(x-2)與x,y軸的交點(diǎn)，其中於＞0,且

的面積為4,。為原點(diǎn)，求圖象過A￡兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù).

解：(1)Q特征數(shù)為［2,上一2］的一次函數(shù)為y=2x+上一2,

..匯-2=0，

k=2■

(2)Q拋物線與X軸的交點(diǎn)為4(-掰，0)，4(20)，

與1y軸的交點(diǎn)為8(0,-2冽).

若$4。即=4，則1的率也=4,w=2；

若$AQ即=4，則；庫庫加=4>m=2-

:當(dāng)用=2時，滿足題設(shè)條件.

此時拋物線為y=(x+2)(x-2).

它與x軸的交點(diǎn)為(一2,0),(2,0),

與y軸的交點(diǎn)為(0,-4),

一次函數(shù)為y=-2x-4或y=2x-4,

：,特征數(shù)為［-2,-4］或［2,-4］.

5.(20XX年四川巴中市)王強(qiáng)在一次高爾夫球的練習(xí)中，在某處擊球，其飛行路

1O

線滿足拋物線^=一3/+2工，其中y(m)是球的飛行高度，X(m)是球飛出的水平距

離，結(jié)果球離球洞的水平距離還有2m.

(1)請寫出拋物線的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸.

(2)請求出球飛行的最大水平距離.

(3)若王強(qiáng)再一次從此處擊球，要想讓球飛行的最大高度不變且球剛好進(jìn)洞，則球飛行路

線應(yīng)滿足怎樣的拋物線，求出其解析式.

y(m)

而“⑺

圖13

解：(1)J=--x2+—X

,55

拋物線y=—開口向下，頂點(diǎn)為（4,白）對稱軸為x=4............3分

(2)令y=0,得:

.....................................................4分

55

解得：應(yīng)=0,x2=8................................................5分

?..球飛行的最大水平距離是8m.........................................6分

（3）要讓球剛好進(jìn)洞而飛行最大高度不變，則球飛行的最大水平距離為10m

拋物線的對稱軸為x=5,頂點(diǎn)為（5,晟）......................................7分

設(shè)此時對應(yīng)的拋物線解析式為y=a(x-5)2+y............................8分

又Q點(diǎn)(0,0)在此拋物線上，：.25a+￡=0

16

a=..........................................9分

125

16,八21616232

..y—~—(x—5)+—V----x4-x10分

125512525

6.（20XX年江蘇省南通市）已知點(diǎn)A（—2,-c）向右平移8個單位得到點(diǎn)A',A與A'

兩點(diǎn)均在拋物線丁=。/+占x+c上，且這條拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一6,求這條拋

物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

解：由拋物線y=+小x+c與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一6,得c=-6.

:.A（-2,6）,點(diǎn)A向右平移8個單位得到點(diǎn)A'（6,6）

?.?A與A'兩點(diǎn)均在拋物線上，

4a—28—6=6f（2=1

：.\,解這個方程組，得4

36以+63-6=6[b=-4

故拋物線的解析式是丁=/一4*一6=（工一2）2-10

???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-10）

7.（20XX年山東省棗莊市）在直角坐標(biāo)平面中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)

7=-?+伊-1次+4的圖象與〉軸交于點(diǎn)4,與工軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)8,且跖60=6.

（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求此二次函數(shù)的解析式：

（3）如果點(diǎn)P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：（1）由解析式可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）..............................1分

：*aiB=gxSO*4=6，.??80=3.

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3,0）..............................................2分

（2）把點(diǎn)8的坐標(biāo)（-3,0）代入y=-/+（比-1〃+4,得

-(-3)2+(i-l)x(-3)+4=0.解得j=_g..........................4分

所求二次函數(shù)的解析式為y=-/-gx+4..........................5分

（3）因為△A8P是等腰三角形，所以

①當(dāng)AB=AP時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,0）..............................................6分

②當(dāng)尸時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,0）或（-8,0）..................................8分

③當(dāng)AP=BP時，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,0）.根據(jù)題意，得Jx2+M=卜+31

77

解得天=2.，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（,，（））.......................10分

66

7

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,0)、(2,0)、(-8,0)、(-,0).

6

4

8.(2008河南)如圖，直線y=--x+4和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B,C。點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一

3

2,0)

(1)試說明AABC是等腰三角形；

(2)動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動,

運(yùn)動的速度均為每秒1個單位長度，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，它們都停止運(yùn)動,

設(shè)點(diǎn)運(yùn)動t秒時，△M0N的面積為s。

①求s與t的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)點(diǎn)M在線段0B上運(yùn)動時，是否存在s=4的情形？若存在，求出對應(yīng)的t值；若不存

在，說明理由；

③在運(yùn)動過程中，當(dāng)為直角三角形時，求t的值。

4

解：(1)將y=0代入y=--x+4,得到x=3,...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)；

3

,4,「，,

將x=0,代入y=-----x+4,得到y(tǒng)=4,.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4)................2分

3

在RtZ\0BC中，；0C=4,0B=3,；.BC=5。

又A(—2,0),/.AB=5,.1.AB=BC,.,.△ABC是等腰三角形。............4分

(2)VAB=BC=5,故點(diǎn)M、N同時開始運(yùn)動，同時停止運(yùn)動。

過點(diǎn)N作NDLx軸于D,

4

貝ljND=NB?sinNOBC=-￡,

5

①當(dāng)0VtV2時(如圖甲)

0M=2-t,

114

???s=±0M?ND=±(2—Z)?二￡

225

當(dāng)2<tW5時（如圖乙），0M=t-2,

114

225

（注：若將t的取值范圍分別寫為0WtW2和2WtW5,不扣分）

②存在s=4的情形。

當(dāng)s=4時，_2?c一4_￡=4

55

解得3=i+jn,t2=-jn秒。.....................io分

③當(dāng)MN_Lx軸時，△MON為直角三角形，

3

MB=NB.COSNMBN=_￡,又MB=5-t.

5

—八

...-3/=5-t,...t=——25............]]分

58

當(dāng)點(diǎn)M,N分別運(yùn)動到點(diǎn)B,C時，為直角三角形，t=5.

故aMON為直角三角形時，t=二25秒或t=5秒........12

8

9.（2008湖北十堰）已知拋物線y=-d+2"+g與x軸的一個交點(diǎn)為4-1,0）,與

y軸的正半軸交于點(diǎn)C.

⑴直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的。尸上時，求拋物線的解析式；

⑶坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)使得以點(diǎn)M和⑵中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)般的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

解：⑴對稱軸是直線：x=l，點(diǎn)8的坐標(biāo)是(3,0).

⑵如圖，連接PC,???點(diǎn)46的坐標(biāo)分別是4(-1,0)、B(3,0),

.?.四=4.APC=-J1B=-X4=2.

22

在Rt4產(chǎn)況'中，"：OP=PA-OA=2-\=\,

???oc=VPC2-PO1=V22-12=、區(qū)

?*-b=-J3.

當(dāng)x=-1,y=0時，

-a-2a+—0,

.?々二---.

3

?書…乖上萬

??y=-——xH------x+V3.

33

理由：如圖，連接4aBC.設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為舷（xj）.

①當(dāng)以/或a'為對角線時，點(diǎn)材在X軸上方，此時CM//AB,且CM=AB.

由⑵知，AB=4,：.\x\=4,y=OC=幣.

.??x=±4..?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為舷（4,后）或（-4,回.

②當(dāng)以四為對角線時，點(diǎn)〃在x軸下方.

過“作物5力6于爪則乙也奶=N/OC=90°.

?四邊形AMBC是平行四邊形，圾且AC〃MB.

：.ACAO=AMBN.：.AAOC^ABNM.：.BN=AO=1,MN=CO=-Jj.

,：0B=3,仁3—1=2.

.?.點(diǎn)"的坐標(biāo)為

綜上所述，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)使得以點(diǎn)4、8、CM為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.其

坐標(biāo)為峪（4,g）,%（T,g）,腸3（2,一招）

10.（2008湖南懷化）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過原點(diǎn)O,且與x軸、1y軸分別

相交于金（一8,0）、8（0,-6）兩點(diǎn).

（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；

（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點(diǎn)M,頂點(diǎn)C在。M上，開口向下，且

經(jīng)過點(diǎn)B,求此拋物線的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得

SAME若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由?

圖13

解：（1）設(shè)AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.

,r3

v4-8,0）15（0-6）,…A4

1-6=5J7.

3

，直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=—；x-6.

（2）設(shè)拋物線的對稱軸與。M相交于一點(diǎn)，依題意知這一點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)C。又設(shè)對

稱軸與X軸相交于點(diǎn)N,在直角三角形AOB中，AB=^AO2+OB2=7S2+62=10.

因為。M經(jīng)過0、A、B三點(diǎn)，且乙408=90°,：.為。M的直徑，，半徑MA=5,r.N

為AO的中點(diǎn)AN=NO=4,；.MN=3...CN=MC-MN=5-3=2,；.C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,2）.

設(shè)所求的拋物線為y=ax2+bx+c

1

3-4以=一一

2a2

則42=16a-4b+c,：.<5=T

-6=c.c=-6.

所求拋物線為y=-g/一4x-6

（3）令一）一一4x-6.=0,得D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)為D（-6,0）、E（-2,0）,所以DE=4.

2

又AC=2、5,8C=4而一直角三角形的面積相皿=：?2、傷?4/=20.

假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)p（用,膜得S心口='S.c，即;?DE?切=A?20,.:y=±1.

當(dāng)y=l時，x=-4±、泛當(dāng)y=-1時，x=T±?.故滿足條件的存在.它們是

耳卜4+虎,1）,鳥（Y-￡1）用-4+瘋-1）,巴「4-夜-1）.

11.（2008四川廣安）如圖，已知拋物線y=/+Bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1,-5）和（-2,4）

（1）求這條拋物線的解析式.

（2）設(shè)此拋物線與直線y=x相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），平行于y軸的直線

x=冽（0＜冽（4+1）與拋物線交于點(diǎn)M，與直線y=x交于點(diǎn)M交大軸于點(diǎn)尸，求

線段MN的長（用含附的代數(shù)式表示）.

（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM,是否存在活的值，使△BOM的面積S最大？

若存在，請求出泓的值，若不存在，請說明理由.

解：(1)由題意得|"+'=-6解得b=-2,c=-4

―23+c=0

???此拋物線的解析式為：y=x2-2x-4

y=x

2(2)由題意得，、

y=x24

彳［=-1x?！?4

解得《12

=-1卜2=4

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4)

將x=m代入y=x條件得y=m

.?.點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,m)

同理點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m.n?—2m—4)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0)

PN=ImI,MP=|m2—2m—4|

VQ<W<75+1

，MN=PN+MP=-加2+3溶+4

⑶作BCJ_MN于點(diǎn)C,則BC=4-m,OP=m

+BC=2(,-^+3m+4)=-2(m-^+12^

,：-2<0

3

.?.當(dāng)搐=一時，s有最大值

2

12.(2008湖北荊門)已知拋物線產(chǎn)a?+bx+c的頂點(diǎn)4在x軸上，與y軸的交點(diǎn)為B(0,1),

且b=~4ac.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)C,使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)A?若不存在說

明理由；若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出此時圓的圓心點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)(2)小題的結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)P、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)之間分別有何關(guān)系?

解：⑴由拋物線過B(0,l)得c=l.

又b=~4ac,頂點(diǎn)4(-巨，0),

2a

bAac八八.“公小

—=------=2c=2.??A(2,0)?

2a2a

將力點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得4〃+291二0,

.Jb=-4a,解得片J_,6=T.

\4a+2b+l=0.4

故拋物線的解析式為/1.

4

另解：由拋物線過8(0,1)得c=l.又/-44c=0,b=~4ac,

a-L,故尸-x+1.

4'4

(2)假設(shè)符合題意的點(diǎn)。存在，其坐標(biāo)為C(x,y),

作CQ_Lx軸于D,連接A3、AC.

〈A在以8C為直徑的圓上，???NB4O90°.

J/\AOB^/\CDA.

：.OB?CD=OA?AD.

即l-y=2(x-2),Ay=2x-4.

由［0t=2X-4…,

解得X|=10,X2-2.

,符合題意的點(diǎn)C存在，且坐標(biāo)為(10,16),或(2,0).

為圓心，，尸為BC中點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為(10,16)時，取OD中點(diǎn)P\,連PPi，則PP|為梯形OBCD中位線.

：.PPX=L(OB+CD)=YL.(10,0),，PI(5,0),.?.尸(5,1Z).

222

當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,0)時，取OA中點(diǎn)尸2，連則P2為△OAB的中位線.

PPFLOB=L.,：A(2,0),二P2(1,0),二P(1,L).

222

故點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,E),sg(l,l).

22

(3)設(shè)8、P、C三點(diǎn)的坐標(biāo)為B(X|,yD，P(X2,y2),C(X3j3)，由(2)可知：

司+口力+力

“丁，力=-^-

13.(2008北京)在平面直角坐標(biāo)系X。/中，拋物線與x軸交于AB兩點(diǎn)

(點(diǎn)乂在點(diǎn)B的左側(cè))，與丁軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)3的坐標(biāo)為(3,0),將直線^=履沿y軸向

上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B,C兩點(diǎn).

(1)求直線及拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為少，點(diǎn)尸在拋物線的對稱軸上，且乙4尸少=乙4CB,求點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；

(3)連結(jié)8,求NOC4與NOCO兩角和的度數(shù).

解：(1)、丁二人沿丁軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過V軸上的點(diǎn)C,：C(0,3)

設(shè)直線BC的解析式為丁=辰+3.Q3(3,0)在直線BC上,

-3^+3=0.解得上=—1.:直線BC的解析式為y=—x+3.

9+劭+。=0,(b=-4,

Q拋物線y=?+尿+C過點(diǎn)氏c,1c=3.解得［c=3.

.-■拋物線的解析式為V=--4x+3.

(2)由y=x、4x+3.可得￡)(2,-1)，2(1,0).：.。=3,OC=3,04=1,AB=2

可得△O8C是等腰直角三角形.NO3C=45°,05=372.

AF—J__i

如圖1,設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)?，一一5一.

過點(diǎn)工作AS_LBC于點(diǎn)E...乙AEB=90°.

可得BE=AE=^,CE=2y/2.

在△絲C與△工郎中，ZAEC=AAFP=90°,ZACE=ZAPF,

,AE_CEV2_2A/2

:./\AEC<^^\AFP.7F~PF,~~~PF,解得產(chǎn)F=2,

Q點(diǎn)尸在拋物線的對稱軸上，二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2).

(3)如圖2,作點(diǎn)工(1°)關(guān)于丁軸的對稱點(diǎn)從，則4(一1，0).

連結(jié)HC,AD,可得HC=5C=而，ZOCA'=^OCA.

由勾股定理可得82=20,力7?2=10又4c2=10,..△4ZX7是等腰直角三角形,

ZCS4,Z)=90o,

..ZDCZI,=45O.ZOCA'+z：OCD=4^.AOCA+AOCD=45°,

即NOC4與NOS兩角和的度數(shù)為45°.

14.(08廈門市)已知：拋物線y=/+(8—l)x+c經(jīng)過點(diǎn)產(chǎn)(―1,一2小).

(1)求1+c的值;

(2)若3=3,求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)若5>3，過點(diǎn)產(chǎn)作直線24JLy軸，交尸軸于點(diǎn)工，交拋物線于另一點(diǎn)且

BP=2PA,求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式.(提示：請畫示意圖思考)

解：(1)依題意得：(-iy+3-l)(-l)+c=-2力，..............................2分

b+c=-2-......................................................3分

(2)當(dāng)8=3時，。=一5,............................................4分

y=x2+2x-5=(x+1)2-6

二.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一1,一6)........................................6分

(3)當(dāng)8>3時，拋物線對稱軸x=-七二<一1,

2

對稱軸在點(diǎn)尸的左側(cè).

因為拋物線是軸對稱圖形，尸幼且3F=2PA.

5(-3,-26)................................9分

.b-\

..-----=一/?

2

..b=5...................................10分

又8+。=-2,c=-7.............................................11分

二.拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式丁=/+4%一7.........................12分

A-1

解法2：(3)當(dāng)5>3時，x=<一1,

2

：,對稱軸在點(diǎn)尸的左側(cè).因為拋物線是軸對稱圖形，

Q產(chǎn)(一1,一2i),且3產(chǎn)=2融…B(-3,-2b)...............................9分

.(一3/-3(8-2)+c=-2b..........................................10分

又3+c=-2,解得：b=5,c=-7....................................11分

這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式是丁=/+4工一7......................12分

解法3：(3)QB+c=—2，c=-b—2>

y=x2+(b-l)x-b-2..............................................7分

3尸1工軸，：/+。一1欠一專一2=-23........................................8分

即：/+9-1?+8-2=0.

解得：Xj=-1,x2=-(b-2)>BPx￡=-(b-2)................................10分

由3產(chǎn)=2以，：-l+0-2)=2xl.

..b=5,c=-7..............................................................H分

這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/+4x-7.............................12分

15.(2008佛山)如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對稱的一部分和矩形的一

部分構(gòu)成，最大高度為6米，底部寬度為12米.現(xiàn)以。點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建

立直角坐標(biāo)系.

(1)直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求出這條拋物線的函數(shù)解析式；

(3)若要搭建一個矩形“支撐架"A。-OC-使C、。點(diǎn)在拋物線上，A、B點(diǎn)

在地面OM上，則