極限的概念與性質

極限的概念與性質第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術運算是計算不出來的，而必須通過分析一個無限變化趨勢才能求得結果，這正是極限概念和極限方法產生的客觀基礎。引言第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積說明：劉徽從圓內接正六邊形，逐次邊數加倍到正3072邊形得到圓周率的近似值為3.1416割圓術割圓術就是極限思想在幾何上的應用第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日微積分是一門以變量為研究對象、應用極限方法研究各類變化率問題應用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到以極限方法作為研究工具的數學學科：曲線的切線問題，微小量無窮積累的問題，和幾何學中就產生了微分學；就產生了積分學。第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、數列極限的定義按照一定規(guī)律排列的一列數數列可視為定義在自然數集上的函數：稱為一個數列。稱為數列通項，數列簡記為。第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日趨向于某個確定的數xyO...........不趨向于某個確定的數第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日定義：設數列極限存在的數列稱為收斂數列。極限不存在的數列稱為發(fā)散數列。如果通項記作當項數無限增大時，則稱的極限。為數列或無限趨近于某個常數第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日例如,趨勢不定收斂發(fā)散第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日若數列及常數a有下列關系:當n>

N

時,總有記作即或則稱該數列的極限為a,幾何解釋:只有有限項(至多N項)在鄰域之外。數學定義：

ε英文注音epsilon中文注音伊普西龍第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日例1.已知證明數列的極限為1.

證明:欲使即只要因此,取則當時,就有故第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日例2.已知證明證:欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由1.N與有關,但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取2.利用不等式的放縮.第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日例3.設證明等比數列證:欲使只要即亦即因此,取,則當n>N時,就有故的極限為0.第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例4.證明：記易知當時，取則當時，有由于故時，當正整數于是正整數第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日所以第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數學家.他撰寫的《重差》對《九章算術》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數學方法和數學理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術”求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.的方法:第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日柯西(1789–1857)法國數學家,他對數學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.對數學的影他是經典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎推動了分析的發(fā)展.復變函數和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日第一章1、自變量趨于有限值時函數的極限自變量變化過程的六種形式:2、左極限、右極限主要內容:二、函數的極限3、自變量趨于無窮大時函數的極限第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日定義1.

在點的某去心鄰域內有定義,當時,有則稱常數A為函數當時的極限,或即當時,有若記作幾何解釋:1、自變量趨于有限值時函數的極限設函數()第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日例1.

證明證:故取當時,必有因此(注意x=1無定義)第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日例2.

證明:當證:欲使且而可用因此只要時故取則當時,保證.必有第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日2.左極限與右極限(單側極限)左極限:當時,有右極限:當時,有定理1.第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日例3.

給定函數討論時的極限是否存在.解:利用定理1.因為顯然所以不存在.第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例4.

求解:因為所以設第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日定義2

.設函數大于某一正數時有定義,若則稱常數時的極限,幾何解釋:記作直線y=A為曲線的水平漸近線.A為函數3、自變量趨于無窮大時函數的極限第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日例5.

證明證:取因此注:就有故欲使只要第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日直線y=A仍是曲線y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當時,有當時,有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日三、函數極限的性質1.唯一性類似于數列極限的唯一性（反證法）2.局部有界性(性質適用于函數的所有極限過程)若函數極限存在，則函數極限唯一。第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日3.局部保號性定理2.若且A>0,證:已知即當時,有當A>0時,取正數則在對應的鄰域上(<0)則存在(A<0)第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日若取則在對應的鄰域上若則存在使當時,有推論1.分析:第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日推論2.

若在的某去心鄰域內,且則思考:

若定理2中的條件改為是否必有不能!如(反證法,證明略)第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日4.

函數極限的兩邊夾定理定理3.且(仿照數列極限的兩邊夾定理證明)第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日5.函數極限與數列極限的關系定理4.有定義,有說明:此定理常用于判斷函數極限不存在.法1找一個數列不存在.法2找兩個趨于的不同數列及使第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例6.

證明不存在.證:取兩個趨于0的數列及有由定理4知不存在.第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日思考與練習1.若極限存在,2.設函數且存在,則是否一定有第四節(jié)？第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日內容小