泛函分析第3章連續(xù)線性算子與連續(xù)線性泛函

(a||| (a||||算子與有界線性算子在線性代數(shù)中，我們曾遇到過把一個(gè)n維向量空間En映射到另一個(gè)m維向量空間Em的運(yùn)算，就是借助于m行n列的矩陣AAaaaaaaaa)對En中的向量起作用來達(dá)到的。同樣，在數(shù)學(xué)分析中，我們也遇到過一個(gè)函數(shù)[定義3.1]由賦范線性空間X中的某子集D到賦范線性空間Y中的映射T算子的值域，記作T(D)或TD。稱T為線性算子。對線性算子，我們自然要求T(D)是X的子空間。特別地，如FTXa一給定的數(shù)，映射T:x)ax是X上的a由積分的線性知，T是C[a,b]到C[a,b]空間中的線性算子。若令f(x)=jbx(t)dta )連續(xù)的，是指若{x}=X,x)x，則Tx)Tx(n)w)；若T在X上每一點(diǎn)都連nnn0nnx-x+x)x(n)w)，由假設(shè)T在x點(diǎn)連續(xù)，所以)w時(shí)，有n000n0n00n地，線性算子的連續(xù)性可由零元的連續(xù)性來刻畫，即線性算子T連續(xù)等價(jià)于若x)9(X中零元)，則Tx)9(Y中零元)。nnnmjjj=1且x)9(m)w)，即x)0(m)w)，則mm(xm))2)0(m)w)從而x(m))0(j=1,2,3,n)(m)w)。于是j(m)w)jjmjjj=1jj=1m算子與連續(xù)線性泛函111時(shí)，對每個(gè)x=D(T),x豐9,x=B(9)，由M的定義有x1x11x=D(T),Tx共Mx，從而對x)x(n)w),{x}仁D(T)有n?nTx-Tx=T(x-x)共Mx-x)0(n)w)nnnTxTxnw所以，T是連續(xù)的。nnnnxnn，那么y=nnxnnnnnnnnnnxnnxnxnnnnx定理3.3說明，對于線性算子，連續(xù)性與有界性是兩個(gè)等價(jià)概念，今后用xXxXxX)數(shù)定義為xmaxxt，不難證明，微分算子d是把C10,1映入C0,1中的線dtxTxXx1xXxXxTsupTx……(3.2)xX根據(jù)T的定義，對于任給的0，存在非零xX，使0TxTx0x令x0x令x000x1xX0x1xXxX 子與連續(xù)線性泛函由式(3.2)和式(3.3)，便得x=Xx=Xxa(1)把T視為L1[a,b]到C[a,b]的算子，求T；(2)把T視為L1[a,b]到L1[a,b]的算子，求T。Cabb_af=jbf(t)dt=jb1dt=10a0ab_a(2)設(shè)T：L1[a,baan )(作函數(shù)f(x)=〈|n,n|0,nnannnaannaaaa+11n2nn2nn此例告訴我們，雖然形式上是一樣的算子，但由于視作不同空間的映射，一般說來，求一個(gè)具體算子的范數(shù)并不容易，因此，在很多場合，只能對aTLCabCab])，且aaaa由于證明要用到實(shí)分析知識，這里從略。 子與連續(xù)線性泛函 ( (i=1j=1ij) (i=1j=1ij)故故 (i=1j=1ij)(1)f是連續(xù)的充要條件是f的零空間N(f)={xf(x)=0,x=X}是X的(2)非零線性泛函f是不連續(xù)的充要條件是N(f)在X中稠密。{x}仁N(f),x)x(n)w)，由f的連續(xù)性可得f(x)=limf(x)=0。因此，nnn)wn充分性：設(shè)N(f)是閉集，如果f不是有界線性泛函，則對每個(gè)自然數(shù)n，nnn )yn-f)=-f)=f1(x)<)0(n)w)1nnnnn0充分性：假設(shè)f是連續(xù)的，由N(f)在X中稠密可知，對Vx=X，存在{x}亡N(f)，使x)x(n)w)，從而nnf(x)=limf(x)=0n)wn12121212 x1X(3)T+T(3)T+T 子與連續(xù)線性泛函(2)aT=supaTx=asupTx=aT；121212nT-T)0(n)w)nm則對Vx=X，必有T(x)-T(x)=(T-T)(x)共T-Tx)0(n,m)w)nmnmnmYn記為T(x)使得T(x))T(x)(n)w)。nn又由于T-T共T-T)0(n,m)w)nmnm因而知數(shù)列{T}收斂，即有數(shù)b使得supT=b，由此推得nnnnnn)wnnm00nmnmnmnnm0 )即T_T)0(n)w)，所以空間L(X,Y)是完備的。證畢。n0(1)問T與S可交換嗎？(即ST=TS是否成立？)4.設(shè)X為所有有界數(shù)列組成的線性空間，范數(shù)為iii給定無窮矩陣T=(t)，滿足supxwt<w，定義算子T:X)X為Tx=y，其中ijijij=1iiiijjj=1ijij=11iiinn 子與連續(xù)線性泛函i6.設(shè)f:R)R連續(xù)且可加，即對任意x,x=R有1212n且Tn)9(零算子)(n)w)。其應(yīng)用許多數(shù)學(xué)問題的研究都涉及有界線性算子列的收斂性與一致有界問題，nT_T)0(n)w)，即在算子范數(shù)意義下收斂記，為T)T(n)w)；稱{T}強(qiáng)nnn收斂于T，是指對Vx=X,T(x)_T(x))0(n)w)，記為T——S)T(n)w)。nn由定義易知，T)T(n)w)亭T——S)T(n)w)。但是，反之不成立。例nn12nnn+1n+2T——S)9(n)w)，但是，若記ni則Te=e，故nn+11個(gè)第i項(xiàng)) )nnnn+11所以對任意自然數(shù)n，有T=1，即T-9=1，故T)9(n)w)不成立。nnn容易證明，有界線性算子列{T}一致收斂于有界線性算子T的充要條件是nn12X=w{r}，而單點(diǎn)集{r}是X中的稀疏集。nnX，則X是第二綱的。證明：用反證法。若存在一列稀疏集{A}使X=wA，任取一個(gè)閉球nnr0001r000r1111r1r1r02r1101AAr2r2r1221rnn(1)B(x)事B(x)事B(x)事；r0r1r2012rnnn0<r<。n由條件(3)知，B(x)的直徑d(B(x))共2)0(n)wn由條件(3)知，rnnrnnn在x=X，且wB(x)={x}，但是從條件(2)中又有wB(x)=氣，矛盾，故rnrnnnnn=10 子與連續(xù)線性泛函入入入入驗(yàn)證p(x)滿足aF記nn首先證A是閉集。設(shè)x=A,x)x(k)w)，對每個(gè)入=^，因T是連續(xù)的，nknk入所以Tx_Tx)0(k)w)，更有Tx)Tx，又Tx共p(x)共n，故kkkkn0nr000n0r00n000nr00000000r00則000000prxp(x+rx)+p(_x+rx)0000000000r入r0意自然數(shù)p有)入一致有界原理解決了關(guān)于算子列的強(qiáng)收斂的有關(guān)問題，如算子列滿足什么LXYnn)wnn)wnn證明：由limTx在Y中存在，知supTx<+w。據(jù)定理3.8知，存在常數(shù)n)wnnnnnn(1){T}是有界數(shù)列；n(2)在X中某一稠密子集G中每個(gè)元素x,{Tx}收斂。nnn)wnnn{Ty}收斂，故存在自然數(shù)N，使對一切n>N以及任n 子與連續(xù)線性泛函npnTx-Tx共Tx-Tyn+pnn+pn+pn+pnnnn)wnnn)w則T是定義在X上而值域包含在Y中的線性算子。再由n)wn)n)wn)wn)w可知T有界，且nn)wnnnTxYnnnn和條件(2)，故{T}強(qiáng)收斂于某一有界線性算子T=L(X,Y)。n數(shù)2爪 )n2kk"-"n"-"n12sins2S=1j"注意到n2"-"sins2s=1j"s=1j"2"-2"-"22"2"-"s2"0A=1j2+1"sinAdA)w(n)"0A所以supS=+w,從而由共鳴定理，必存在某個(gè)周期為2"的連續(xù)函數(shù)x=C，n02"nn)wn0對每一固定點(diǎn)t，也必存在x=C，其Fourier級數(shù)在t=t點(diǎn)發(fā)散。證畢。00t2"00例3.10(Lagrange插值公式的發(fā)散性定理)給定區(qū)間[0，1]內(nèi)插入點(diǎn) 子與連續(xù)線性泛函ktn)kk其中(k1kk-1kk+1kn當(dāng)n)w時(shí)，不一致收斂(t)。nnkkT道nn8"n8"n0n00nn00akk01na )akka 1n需討論的使在什么條件下，當(dāng)n時(shí)，式(3.4)誤差趨向于0，這就是機(jī)械求現(xiàn)證明，機(jī)械求積公式(3.4)對于每一個(gè)連續(xù)函數(shù)xC[0,1]都收斂，即akka (1)(2)k公式(3.5)對于每個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)都是收斂的。nkknknknkkffxnAnnnnkfnAn(n1,2,)nkii算子與連續(xù)線性泛函nnnn0nnnnnnaK01nwkkkkk4．給定數(shù)列，若滿足對任意收斂數(shù)列{a}，級數(shù)xwab收斂，證明：級nnnnnn12nnnnn已知X是n維賦范線性空間，在X中取一組基{eeiiiii=1i=1n1,2,nf是X上的線性泛函，記 )iiiiiii這告訴我們n維賦范線性空間上的線性泛函與數(shù)組(aa,a)一一對應(yīng)，而且,2,nX性空間，稱p:X)R為次可加正齊次泛函，如果pxypxpy;注：這里所給出的“次可加，正齊次泛函”對我們并不陌生，實(shí)際上，在賦范線性空間中，元x的范數(shù)x就是這種泛函，一般說來，它未必是“加法”(1)F(m)=f(m)(m=M);(2)F(x)共p(x)(x=X).0這里x=X_M。000 子與連續(xù)線性泛函f(m)Cp(mx)0(1)f()Cp(x0)f()Cp(x0)00f(m)f(m)f(mm)00即(2)f(m)p(mx)p(mx)f(m)000Kinf{p(mx)f(m):mM}20據(jù)(2)式，KK，從而選取C[K,K2],則這樣的C滿足(1)式，121證明：因X{}，故X{}，任取xX{}，令M{x:R},又000f:xc,(f(x)c)0000顯然，f是M上的非零有界線性泛函，只要將定理3.12中p取為p(x)x，便012)子空間，f是M上的有界線性泛函，則存在X上的有界線性泛函F滿足：(1)F(m)=f(m),m=M；(2)F=fM。證明：由于f是M上的有界線性泛函，那么f(x)fxMMM上定義的次可加正齊次泛函，由式(3.6)對m=M，有f(m)p(m)。根據(jù)定理F(x)p(x)=fx=fxMMF(x)fxMx1x1M即F=f。證畢。MxxX212范線性空間。又設(shè)M={(x,0):x=R}，設(shè)f是定義在M上的連續(xù)線性泛函，00110Mf((x,x))=x+x,(x,x)=X都是f的延拓，由于12120f((x,x))=x+xx+x1212121 子與連續(xù)線性泛函0M0【推論3.1】設(shè)X是實(shí)賦范線性空間，M是X的一個(gè)真閉子空間，11dl0x仁Mnx一m)d=0(n)w)，即m)x(n)w)。而M是閉的，所以x仁M，這與nn111MxM則M可表示成111在M上定義泛函f(m+ax)=a，顯然，f是M上有界線性泛函，且1111a1f(m+ax)=a=a11aa11a1f共。M1dn1n11nf=11nf=MM1nM1dM1d1F=f，根據(jù)f得構(gòu)造，F(xiàn)顯然滿足M )0性泛函F滿足F(x)=x，且F=1。00證明：取X得一維子空間M={ax:a=R}，在M上定義有界線性泛函f為0f(ax)=ax，則f式M上線性泛函，且f(x)=x，又0000f(ax)=ax=ax000M00FxxF。證畢。00000推論3.3表明，當(dāng)X式無限維實(shí)賦范線性空間時(shí)，在c上必存在無限多個(gè)00滿足F(x)豐F(y)。 子與連續(xù)線性泛函0x=supf(x)00f=X*,f=1(X*為X上全體連續(xù)線性泛函組成的集合)。a000007.設(shè)f,f是線性空間X上的兩個(gè)線性泛函，且ker(f)=ker(f)，證明：存在常12X*。本節(jié)我們將研究X*空間的有關(guān)問題。iiii=1i>n)0iii0i0i)的iiiiiii=10證明：對于任一n==l1，定義c上線性泛函F為：i0nF(x)=F({a})=x的ab于是nniiii=1F(x)=F({a})=x的ab共supa(x的b)=nxnniiiiii=1ii=1所以，F(xiàn)共n,即F=(c)*。n0n第i個(gè)0iii0in)的in)的ii=1i=1n)的iiiii=1i=1nnl0n)的n0知共1，由式(3.7)x b xnnnnnnxNb<+的，又是得到n共F。根據(jù)上述兩步，定義nT:l1)(c)*為T(n)=F,n=l1，則T是線性算子，是滿射，而且T(n)=n(因0n 子與連續(xù)線性泛函而是一一映射)。這說明l1與(c)*是等距同構(gòu)的，即(c)*=l1。00kkkkk=1在M上kk,kkkkkkkkkkkck=f(e)共fe共fkk反之，對任意a=lw，a={c}，定義f=(l1)*如下ikk,k則kpq證明：對每個(gè)n==lq，由級數(shù)形式的Hlder不等式，對{a}=lp，有iiiiiii=1i=1i=1因此，定義lp上的線性泛函F為F({a})=xwab，那么由式(3.8)得nniii )F({a})共n{a}，即Fniqipni對每個(gè){a}=lp，由于ixnae-{a}=(xnap))0,(n)w)iiiippF是連續(xù)線性泛函，所以in)wiin)wiiiiii1i=1Niii|nn|nn|lnnnnF=PFbnp(q-1))p=FxNbq=nnnq由上述兩方面證明，定義線性算子T:lq)(lp)*為T(n)=F，則T是滿射，且nT(n)=n，故(lp)*=lq。證畢。qpa算子與連續(xù)線性泛函111)，滿足Fg，及F(x)bx(t)g(t)dt,xLp[a,b]。即pqa就有X的三次共軛空間X***(X**)*X**(f)fx(3.10)所以，X**是有界線性泛函，并且X**x，稱此泛函是由x生成的，又稱(1)xy**x**y**；(2)x**x。由定義可知，對任意fX*，有yf(x)f(y)x**(f)y**(f)(2)由式(3.10)知x**x,故只需證x**x。對任何x0，由xxx)x**x**(f)f(x)xxx0000nn若對fX*，有l(wèi)imf(x)f(x)，記為xx(n)。nnnnxynnxxnx有界；nn(4)若X是有限性的，則有xx可推得xx(n)。nn證明：(1)對每個(gè)fX*，由于f(x)f(x)fxx0(n)nn所以xx(n)；n(2)對每個(gè)fX*，由xx及xy(n)，得nnf(x)limf(x)f(y)n0f(xy)xy，故xy0，即xy。0nn 子與連續(xù)線性泛函nnnnnnnnnnn12dn成njjjjjj=1iijijl0i豐jx-x=niiie)0(n)的)e)0(n)的)iiii即x)x(n)的)。nnnnnn何f=(l2)*=l2,f=(n,n,innni(1)按范數(shù)收斂(一致收斂)，記為f)f(n)的)，即f-f)0(n)的)；nn(2)弱收斂，記為f—o—)f(n)的)，即對每個(gè)nx**=X**,x**(f))x**(f)(n)的)；n(3)弱*收斂，記為f——o*)f(n)的)，即對每個(gè)x=X,f(x))f(x)(n)的)。nnnnnn )nnn足：對任意x=X和任意的f=Y*,f(Tx))f(Tx)(n)w)，則稱{T}弱收斂于T。nn12n1,2這是一個(gè)平移算子，T顯然是線性算子，并且Tx=x，所以T=1，對任意nnnf=(n,n,nkk+nnkk+nkk+n=x(xwn2))0,(n)w)knn1n1m1n+1m+1證明：由于X*是可分的，所以在X*中由一列{f}，它在X*的單位球面上稠nnsupf(x)=f>nn2X在X的單位球面上必有一串x，滿足f(x)>1，這時(shí)，把{x}張成的X的線nnn2n 子與連續(xù)線性泛函000ff-f之f(x)-f(x)=f(x)>n0nn0nnn2這與{f}在X*的單位球面上稠密的假設(shè)矛盾。所以，X是可分的。n子fTxxXXf每個(gè)f=Y*，對應(yīng)惟一的f=X*，用T*記這個(gè)對應(yīng)關(guān)系，即T*f=f*，f*是Y*(2)(aT)*=aT*，這里a是實(shí)數(shù)；121212122112(6)T的共軛算子T*也有共軛算子(T*)*，我們將他簡記為T**，則性質(zhì)(2)，性質(zhì)(3)和性質(zhì)(4)由定義易證，現(xiàn)證性質(zhì)(1)、性質(zhì)(5)x**(f)=f(x) )0f(Tx)=Tx,f=10故Txf(Tx)=(T*f)(x)三T*fx三T*fx=T*x0000因x=X是任意的，即T三T*，故T=T*，即性質(zhì)(1)成立。X這里I*是X*中的恒同算子(單位算子)。XTT=I*YY由式(3.11)和式(3.12)可知，T*以(T-1)*為它的有界逆算子。 性質(zhì)(6)：T**=T，由性質(zhì)(1)立即導(dǎo)出。現(xiàn)證明T**是T的延拓。任 子與連續(xù)線性泛函故 在很多情況下，需要求出給定的有界線性算子的共軛算子的具體形式。ij算子Tiijij=112n12n由于歐幾里得空間的共軛空間就是它本身，故由共軛算子的定義可以知T*是由Rm到Rn中的有界線性算子。現(xiàn)在我們求出T*的具體形式。我們知道Rm上的每個(gè)有界線性泛函f可表示成iii故n12njijiTA置矩陣定義。 )aLp[a,b]到Lq[a,b]的有界線性算子?，F(xiàn)求*的具體表達(dá)形式。對每個(gè)f=(Lq[a,b])*，存在Lp[a,b]中元y，使對任何z=Lq[a,b]，有a Lq[a,b]是上有界線性泛函的具體表達(dá)形式)故aaaa故annnnn0nn 子與連續(xù)線性泛函0n0n)的nnnnnnn0n0)的n)的12121211221122T_1(ay+ay)=T_1(aTx+aTx)=T_1(T(ax+ax))112211221122=ax+ax