河北省唐山市司各莊高級(jí)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

河北省唐山市司各莊高級(jí)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）A．2，

B．4，3

C．4，

D．2，1參考答案：B2.已知a∈R，則“a＞2”是“a≥1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可．【解答】解：∵集合A=（2，+∞）?B=[1，+∞），∴“a＞2”是“a≥1”的充分不必要條件，故選：A．3.（概率）抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則與A的互斥的事件為（

）A．恰有兩件次品

B．恰有一件次品

C．恰有兩件正品

D．至少兩件正品

參考答案：B略4.如圖，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D5.在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中,若,則（）A． B． C． D．參考答案：A略6.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A.1 B.9 C.10 D.11參考答案：D【分析】根據(jù)組合的知識(shí)可求展開(kāi)式的含和的項(xiàng)，分別乘以的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為,含項(xiàng)的系數(shù)為,乘以后含項(xiàng)的系數(shù)為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了用組合知識(shí)研究二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題.7.圓心在曲線上，且與直線2x+y+1=0相切的面積最小的圓的方程為（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25參考答案：A【考點(diǎn)】圓的切線方程；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，求出圓心到直線的距離的表達(dá)式，求出表達(dá)式的最小值，即可得到圓的半徑長(zhǎng)，得到圓的方程，推出選項(xiàng)．【解答】解：設(shè)圓心為，則，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)r最小時(shí)，圓的面積S=πr2最小，此時(shí)圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查圓的方程的求法，點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．8.雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且一條漸近線方程是，則此雙曲線方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.如果函數(shù)的最小正周期為，則的值為(

)A．4

B．8

C．1

D．2參考答案：A10.已知，則函數(shù)的最大值是()A．2

B．1

C．－1

D．－2參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和滿足,則=

．參考答案：；解析：由得，∴，∴，；∴=；12.設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB面積的最小值為

．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即和x軸垂直時(shí)，面積最小，代值計(jì)算即可．【解答】解：拋物線焦點(diǎn)為（，0），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即和x軸垂直時(shí)，面積最小，將x=代入y2=3x，解得y=±，故S△OAB=××2×=．故答案為：13.有4雙不同的手套，從中任取4只，至少有兩只是一雙的不同取法共有

種.(用數(shù)字作答)參考答案：54略14.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________.參考答案：{x|x≥且x≠2}.15.將4個(gè)相同的白球、5個(gè)相同的黑球、6個(gè)相同的紅球放入4個(gè)不同盒子中的3個(gè)中，使得有1個(gè)空盒且其他3個(gè)盒子中球的顏色齊全的不同放法共有

種.（用數(shù)字作答）參考答案：72016.函數(shù)f（x）=x﹣3lnx的單調(diào)減區(qū)間為．參考答案：（0，3）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)小于0求x的范圍即可．【解答】解：∵f（x）=x﹣3lnx，x＞0，∴f'（x）=1﹣=，令＜0，則0＜x＜3，故答案為：（0，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．17.與圓外切且與圓內(nèi)切的動(dòng)圓圓心軌跡方程為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜邊BC上的高，沿AD將△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如圖2．（1）證明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在圖2中，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求異面直線AE與BD所成的角．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出AD⊥CD，AD⊥BD，從而AD⊥平面BCD，由此能證明平面ABD⊥平面BCD．（2）取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，由EF∥BD，∠AEF是異面直線AE與BD所成角，由此能求出異面直線AE與BD所成的角．【解答】證明：（1）∵折起前AD是BC邊上的高，∴當(dāng)折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，∵AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．解：（2）取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，由EF∥BD，∴∠AEF是異面直線AE與BD所成角，連結(jié)AF、DE，設(shè)BD=2，則EF=1，AD=2，CD=6，DF=3，在Rt△ADF中，AF==，在△BCD中，由題設(shè)知∠BDC=60°，則BC2=BD2+CD2﹣2BD?CD?cos60°=28，∴BC=2，∴BE=，∴cos，在△BDE中，DE2=BD2+BE2﹣2BD?BE?cos∠CBD=13，在Rt△ADE中，cos∠AEF===，∴∠AEF=60°，'∴異面直線AE與BD所成的角為60°．19.（本小題滿分14分）已知橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)為,而且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),若直線與過(guò)點(diǎn)的圓相切,切點(diǎn)為.證明：線段的長(zhǎng)為定值,并求出該定值.參考答案：（1）解法一:由題意得,,解得,

所以橢圓的方程為.

解法二:橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為,ks5u

由橢圓的定義可得,所以,,

所以橢圓的方程為.

（2）解法一:由（Ⅰ）可知,設(shè),

直線:,令,得;直線:,令,得;

設(shè)圓的圓心為,則,而,所以,所以,所以,即線段的長(zhǎng)度為定值.解法二:由（Ⅰ）可知,設(shè),

直線:,令,得;直線:,令,得;則,而,所以,所以,由切割線定理得所以,即線段的長(zhǎng)度為定值.略20.如圖所示，在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)10米后到達(dá)點(diǎn)B，又從點(diǎn)B測(cè)得斜度為，建筑物的高CD為5米．（1）若，求AC的長(zhǎng)；（2）若，求此山對(duì)于地平面的傾斜角的余弦值．參考答案：（1）；（2）．（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，由余弦定理得：，故．（2）當(dāng)，在中，由正弦定理有，在中，，又．21.已知圓C的極坐標(biāo)方程：直線l的極坐標(biāo)方程：(1)求圓心C到直線l的距離；(2)若直線l在矩陣

的交換下得到直線m，求直線m的直角坐標(biāo)方程.參考答案：（1）；（2）.試題分析：（1）求得圓的普通方程為，直線的普通方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可求得距離；（2），，，，.試題解析：圓，直線.（1）（2）考點(diǎn)：極坐標(biāo)與普通方程的轉(zhuǎn)化、點(diǎn)到直線的距離公式、矩陣的運(yùn)算.22.（本小題滿分12分）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，于，延長(zhǎng)AE交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示.（Ⅰ）求二面角A–DC–B的余弦值．（Ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn)使得平面？若存在,請(qǐng)指明點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案：（Ⅰ）因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，又在中，于，平面

所以平面

.…………………2分

由題意可知，又.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系

不妨設(shè)，則.

由圖1條件計(jì)算得，，，

則

.由平面可知平面DCB的法向量為.設(shè)平面的法向量為，則

即

……………4分

令，則，所以.

平面DCB的法向量為，

所以，

所以二面角的余弦值為

…………………6分（Ⅱ）設(shè)，其中.由于，所以，其中

所以

……………10分由，即

解得.所以在線段上存在點(diǎn)使，且.………12分方法